Самосопряженные гамильтонианы Дирака с сингулярными внешними потенциалами в 2 1 измерениях (1104744), страница 2

Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла (страница 2)

построены самосопряженные дираковские гамильтонианы для фермиона нулевой массы в кулоновских и Ааронова-Бома потенциалах в2+1 измерениях. Показано, что при сверхкритических значениях заряда кулоновского поля в системе возникает бесконечное число виртуальных (квазистационарных) связанных состояний. Экспериментально проверяемой физической величиной является локальная плотностьсостояний (ЛПС) как функция энергии и параметров задачи; ЛПС исследованы как аналитически, так и графически. Показано, что значение спина фермиона и параметра самосопряженного расширения может существенно влиять на ЛПС.Практическая ценность диссертации.• Теоретические результаты, полученные в диссертационной работе могут быть использованы для описания фермиона в однослойном и двухслойном графене с кулоновской примесью в поле тонкого соленоида,а также для исследования влияния спина частицы и параметра самосопряженного расширения на спектр энергий и другие физическиевеличины упомянутых систем.• Полученные выражения для амплитуды и сечения рассеяния спинполяризованных электронов на тонком магнитном соленоиде в плоскости перпендикулярной оси соленоида для случая трех пространственных измерений могут быть применены для описания фермионов в полекосмической струны в 3+1 измерениях.Апробация диссертации.Основные результаты, вошедшие в диссертацию, докладывались наXVIII международной конференции студентов, аспирантов и молодых ученых “Ломоносов–2011” (МГУ, Москва, 2011) и на научном семинаре кафедры теоретической физики МГУ имени М.В.

Ломоносова.Публикации.Основные результаты диссертации изложены в 4 опубликованных работах, список которых приводится в конце автореферата.4Структура и объем диссертации.Диссертация состоит из введения, четырех глав, заключения, двух приложений и списка цитируемой литературы, содержащего 101 наименований. Диссертация содержит 20 рисунков.

Общий объем 102 страниц.СОДЕРЖАНИЕ ДИССЕРТАЦИИВо Введении обоснована актуальность темы диссертации, сформулированы цели и задачи исследования, а также излагается краткое содержаниеработы. В конце введения представлен список публикаций, в которых изложены основные результаты исследований.Глава 1. Сингулярный дираковский гамильтониан в кулоновских и Ааронова-Бома потенциалах в 2+1 измерениях посвященаизложению основных сведений и формул, поясняющих постановку задачи, приведены выражения для общего и частного решений радиальныхуравнений Дирака.

Здесь же изложена математически строгая процедурапостроения самосопряженных расширений дираковского гамильтониана вкулоновских и Ааронова-Бома потенциалах и процедура их спектральногоанализа.Радиальное уравнение Дирака в кулоновских (векторном и скалярном):A0 (r) = a/(e0 r), Ar = 0, Aϕ = 0, U (r) = −b/r и Ааронова-Бома потенциалах:A0 = 0, Ar = 0, Aϕ = B/r, для дублета F (r) можно записать какf1 (r)ȟF (r) = EF (r),F (r) =,(1)f2 (r)pгде r = x2 + y 2 , ϕ = arctg(y/x), E – энергия фермиона и ȟ – радиальныйгамильтонианdν abȟ = isσ2 + σ1 − + σ3 m −.(2)drr rrЗдесь ν = l + µ + s/2, µ = e0 B и l = 0, ±1, ±2, ...

– целое число, s = ±1– спин фермиона, m и e = −e0 < 0 – масса и заряд фермиона, a и b –положительные постоянные, σi – матрицы Паули.Ввиду громоздкости общего решения уравнения (1), в автореферате мыих не приводим, отсылая к тексту диссертации. Здесь же приведем тольконекоторые частные решения уравнения (1), которые будут использоватьсяв дальнейшем. Такими решениями являютсяU1 (r; E) = Y (r, γs , E)|γs =γs+ ,U2 (r; E) = Y (r, γs , E)|γs =−γs+ ,5(3)где дублетs(mr)γs0m+EΦ+ (r, γs , E)+Φ− (r, γs , E) u± , (4)Y (r, γs , E)=02λ m−E ±pp(sγs + ν)/(a + b)u±=, λ = m2 − E 2 , γs = ± ν 2 − (a2 − b2 ) ≡ γs± (5)1и Φ± (r, γs , E) – линейная комбинация вырожденной гипергеометрической∞ (p) xnPnфункции Φ(p, q; x) =, (p)n = p(p + 1)...(p + n − 1).

В дальнейшемn=0 (q)n n!мы будем обозначать√ p 22 − b2 ) ≡ γ, при22ν−(ap√a − b ≤ |ν|,γs+ =(6)i (a2 − b2 ) − ν 2 ≡ iσ, при a2 − b2 > |ν|.Мы будем различать так называемые дифференциальные выражения ǩи операторы k и будем называть k оператором, ассоциированным с дифференциальным выражением ǩ.

Пусть H = L2 (0, ∞) — гильбертово пространство дублетов F (r) и G(r) со скалярным произведением(F, G) =Z∞0Z∞F † (r)G(r)dr = [f¯1 (r)g1 (r) + f¯2 (r)g2 (r)]dr,(7)0так что L2 (0, ∞) = L2 (0, ∞) ⊕ L2 (0, ∞).Оператор h будет симметрическим операторм, если для любых дублетовF (r) и G(r)Z∞0Z∞G† (r)hF (r)rdr = [hG(r)]† F (r)rdr.(8)0Область определения сопряженного оператора D(h∗ ) представляет собойтак называемую естественную область для дифференциального выражения ȟ. Оказывается, что для любого дублета F (r) из области определениясопряженного оператора D(h∗ ) lim F (r) = 0, поэтому, интегрируя по чаr→∞стям выражение (8), можно получить граничное условиеlim G† (r)iσ2 F (r) = 0.r→0(9)Если условие (9) удовлетворяется для любых дублетов из D(h∗ ), то h∗является симметрическим и поэтому самосопряженным оператором.

Если6условие (9) не удовлетворяется, самосопряженный оператор h = h† находится как сужение оператора h∗ на так называемую максимальную областьD(h) ⊂ D(h∗ ). Для дублета F (r) условие (9) принимает следующий вид(F † (r)iσ2 F (r))|r=0 = (f¯1 f2 − f¯2 f1 )|r=0 = 0,(10)откуда видно, что условие выполнения (10) определяется асимптотическимповедением дублета F (r) при r → 0.Решение радиального уравнения Дирака (1), представимо в видеF (r) = c1 U1 (r) + c2 U2 (r) + I1 (r) + I2 (r),(11)где c1 и c2 – некоторые константы, I1 (r) и I2 (r) – выражены через интегралыот тензорных произведений частных решений уравнения (1).

В диссертации показывается, что асимптотическое поведение дублета F (r) при r → 0определяется двумя первыми членами F (r) и тем самым существенно зависит от значения γs+ .pПредставим γs+ в форме q = ν 2 − (γs+ )2 и введемpqu = ν 2 − 1/4 ⇔ γs+ = 1/2,qc = |ν| ⇔ γs+ = 0.(12)Величина q играет роль некоторого эффективного заряда. Анализ асимптотического поведения дублета F (r) при r → 0 в зависимости от γs+ естественным образом выделяет четыре области эффективного заряда q:• Первая некритическая область 0 < q ≤ qu ⇔ γs+ = γ ≥ 1/2;• Вторая некритическая область qu < q < qc ⇔ 0 < γs+ = γ < 1/2;• Область критических эффективных зарядов q = qc = |ν| ⇔ γs+ = γ = 0;• Область сверхкритических эффективных зарядов q > qc ⇔ γs+ = iσ.В первой некритической области эффективных зарядов только функцияU1 (r)∝rγ квадратично интегрируема в точке r = 0, а интегралы I1 (r)∝r1/2и I2 (r)∝r1/2 .

Для принадлежности дублета F (r) гильбертову пространствуL2 (0, ∞) необходимо, чтобы c2 = 0:F (r) = c1 U1 (r) + I1 (r) + I2 (r) = O(r1/2 ) → 0,r → 0,(13)тогда F ∈D(h∗ ) и удовлетворяет условию (10). Это означает, что в первойнекритической области эффективных зарядов оператор h является существенно самосопряженным: h = h† . Область его определения D(h) есть7пространство абсолютно непрерывных дублетов F (r), исчезающих в точкеr = 0; дублет ȟF (r) также принадлежит L2 (0, ∞).Оказывается, что неединственность самосопряженного гамильтонианаДирака проявляется уже во второй некритической области эффективныхзарядов.

Переход от второй некритической к критической и сверкхритической области не приводит к качественному изменению в математическомописании системы. Поэтому здесь приведем только результаты из диссертации для второй некритической области эффективных зарядов.В этой области при r → 0 обе функции U1 (r)∝rγ и U2 (r)∝r−γ квадратично интегрируемы в точке r = 0, а интегралы I1 (r)∝r1/2 и I2 (r)∝r1/2 ,поэтому дублет F ∈ D(h∗ ) ведет себя при r → 0 какF (r) = c1 (mr)γ u+ + c2 (mr)−γ u− + O(r1/2 ).(14)Однако дублет с таким поведением не удовлетворяет условию (10). Этоозначает, что оператор h∗ не является симметрическим, и необходимо построить нетривиальные самосопряженные расширения исходного симметрического оператора.Условие (10) будет удовлетворяться, если положить c2 = −ξc1 , гдеξ = tan(θ/2) и 0 ≤ θ ≤ 2π. Угол θ параметризует самосопряженные расширения hθ исходного симметрического оператора, которые различны дляразных θ за исключением двух эквивалентных значений: θ = 0 и θ = 2π.Следовательно, в области 0 < γ < 1/2 можно определить однопараметрическое U (1)-семейство самосопряженных операторов hθ ≡ hξ с областьюопределения DξF(r):F(r)абсолютнонепрерывнывобласти(0,∞),2F, ȟF ∈ L (0, ∞),Dξ =F (r) = c[(mr)γ u+ − ξ(mr)−γ u− ] + O(r1/2 ), r → 0, |ξ| < ∞,hξ :−γ1/2F(r)=c(mr)u+O(r),r→0,ξ=∞,−hξ F = ȟF,где c - произвольная постоянная.

Проделав подобный анализ в остальныхобластях эффективного заряда, можно установить, что при любых значениях q самосопряженные расширения гамильтониана Дирака являютсяоднопараметрическими.В разделе 1.4 на примере первой некритической области эффективныхзарядов изложена процедура нахождения спектра самосопряженных дираковских гамильтонианов с помощью метода направляющих функционалов8Крейна. Дискретный спектр энергий в области малых зарядов q < qu определяется выражениемs2abz 2 − b2En,lab−,(15)=+mz 2 + a2z 2 + a2 z 2 + a2где z = n + γ + (1 − s)/2 и n = 0, 1, 2, ..., s = ±1 для ν > 0, а такжеn = 1, 2, ..., s = 1 и n = 0, 1, 2, ..., s = −1 для ν < 0.

Магнитный потоквлияет на спектр энергий фермиона через величину µ, которая входит в γ.Все уровни энергии, за исключением основного (низшего) уровня, дважды вырождены по s. Основное состояние фермиона в рассматриваемойконфигурации полей не вырождено; это состояние с n = 0, s = 1 для ν > 0,что при заданном заряде e = −e0 < 0 означает µ > 0 (B > 0), т.е. sµ > 0.В основном состоянии, как в состоянии с наименьшей энергией, потенциальная энергия взаимодействия спинового магнитного момента фермионас магнитным полем, задаваемая выражением −sµδ(r)/r, должна быть минимальной, поэтому sµ > 0. Если представить магнитный поток µ в формеµ = [µ] + β ≡ N + β, где [µ] ≡ N – целое число (≤ µ) и 1 > β ≥ 0, тоN = 0, 1, 2, ...

Характеристики

Список файлов диссертации