Самосопряженные гамильтонианы Дирака с сингулярными внешними потенциалами в 2 1 измерениях (1104744), страница 3

Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла (страница 3)

для µ > 0. Для µ > 0 основное состояние фермиона (т.е.частицы с зарядом e) есть состояние с s = 1 и энергиейs2Egab(β + 1/2)2 − a2ab−. (16)=+m(β + 1/2)2 + b2(β + 1/2)2 + b2 (β + 1/2)2 + b2Спектр сгущается в точке E = m, и его асимптотический вид при n → ∞дается нерелятивистской формулойm(a + b)2.(17)ǫn = m − En =2n2Эта формула совпадает с формулой, описывающей нерелятивистский дискретный спектр энергий связанных состояний фермиона в чисто кулоновском векторном потенциале a/r, в которую вместо a входит сумма a + b.Глава 2. Самосопряженные расширения гамильтониана Дирака в векторном кулоновском и Ааронова-Бома потенциалах в 2+1измерениях посвящена анализу движения заряженного фермиона в двумерном векторном кулоновском и Ааронова-Бома потенциалах, построению всех самосопряженных гамильтонианов для этих комбинации полей ианализу их спектров.В первой некритической области эффективных зарядов дискретныйспектр энергий частиц определяется формулой (15), где нужно положить9b = 0.

Спектр сгущается в точке E = m, и его асимптотический вид приn → ∞ дается нерелятивистской формулойma2.(18)ǫn = m − En =2n2Во второй некритической области эффективных зарядов уравнение длядискретного спектра энергий принимает видΓ(2γ)Γ (−γ + (1 − s)/2 − aE/λ) (2λ)−2γ [ν + a(m + E)/λ + sγ]= −ξ. (19)Γ(−2γ)Γ (γ + (1 − s)/2 − aE/λ) m−2γ [ν + a(m + E)/λ − sγ]Спектр также сгущается в точке E = m и описывается той же асимптотической формулой (18), не зависящей от ξ. Уже в этой области эффективныхзарядов при 0 < γ ≪ 1 основное состояние фермионов может достичь границы нижнего континуума энергий E = −m при значениях ξ:ξ=−Γ(2γ)(ν + sγ)(2a)−2γ .Γ(−2γ)(ν − sγ)(20)В области эффективных зарядов qu < q < qc низший уровень энергииэлектрона может достичь границы нижнего континуума энергий, но приэтом не погружается в нижний континуум.В области критических эффективных зарядов q = qc дискретный спектрэнергий определяется уравнением 2λ1 − s aEsa(m + E)ln+ψ −+ 2C + 2−= −ξ,(21)m2λν λ + νa(m + E)где C = 0.57721 – постоянная Эйлера.

Спектр сгущается в точке E = mи описывается асимптотической формулой (18). Низший уровень энергиидостигает границы нижнего континуума энергий при −ξ0 ∼= ln 2a + 2C, ноне пересекает границу нижнего континуума энергий E = −m.В сверхкритической области эффективных зарядов условие существования дискретного спектра энергий связанных состояний фермионов определяется формулойΓ(2iσ)Γ(−iσ + (1 − s)/2 − aE/λ)(2λ)−2iσ×Γ(−2iσ)Γ(iσ + (1 − s)/2 − aE/λ)m−2iσν + a(m + E)/λ + isσ= e−2iθ+2iπn .×ν + a(m + E)/λ − isσ(22)Как и в предыдущем случае, точка E = m является точкой сгущенияспектра, и при n ≫ 1 спектр описывается асимптотической формулой (18).10√Случай γs+ = iσ = i a2 − ν 2 существенно отличается от других областейэффективного заряда тем, что при сверхкритических зарядах низший уровень фермиона достигает границы нижнего континуума энергий −m прилюбых (а не при определенных или фиксированных) значениях параметрасамосопряженного расширения θ (в сверхкритической области эффективных зарядов 0 ≤ θ ≤ π).

Рассматриваемая квантовая система становитсяболее стабильной в присутствии магнитного потока Ааронова-Бома который входит в σ через величину µ.Глава 3. Самосопряженные расширения гамильтониана Дирака в скалярном кулоновском и Ааронова-Бома потенциалах в 2+1измерениях посвящена описанию движения заряженного фермиона в двумерном скалярном кулоновском и Ааронова-Бома потенциалах. Построенывсе самосопряженные гамильтонианы для этих комбинации полей, и проанализированы их спектры.

Здесь также рассматривается задача рассеяниярелятивистских фермионов потенциалом Ааронова-Бома в 2+1 измерениях, и изучается влияние параметра самосопряженного расширения и спинафермиона на амплитуду и сечение рассеяния.В присутствии только скалярного кулоновского и Ааронова-Бома потенциалов эффективный заряд q может принимать только некритическиезначения q < qc , и при ξ = 0 дискретный спектр энергий определяетсявыражениемs(n + γ + (1 − s)/2)2 − b2En = ±m,n = 0, 1, 2...(23)(n + γ + (1 − s)/2)2Спектр гамильтониана Дирака имеет две ветви энергий (частиц и античастиц), и эти ветви симметричны относительно горизонтальной прямойE = 0.

Из соображений непрерывности, состояния частиц (античастиц) –это состояния, которые при бесконечно медленном выключении внешнегополя примыкают к границе непрерывного спектра E = m (соответственно к границе спектра E = −m). Известно, что в зарядово-симметричнойтеории в 1+1 измерениях, вследствие существования фермионных состояний с нулевой энергией, вакуум может приобретать дробный фермионныйзаряд.

Однако в рассматриваемой здесь квантовой системе изолированныеневырожденные решения уравнения Дирака (частицы и античастицы) снулевой энергией не являются зарядово-сопряженными, поэтому дробныйфермионный заряд не возникает.В присутствии только потенциала Ааронова-Бома эффективный зарядq = qc = |ν|. При этом в области |ν| ≥ 1/2 существуют только решения11уравнения (1), принадлежащие к непрерывному спектру энергий. Если же0 < |ν| < 1/2, то условие существования дискретного спектра энергийсвязанных состояний фермионов принимает следующий видΓ(2|ν|)Γ (−|ν| + (1 − s)/2) (2λ)−2|ν|= −ξ.Γ(−2|ν|)Γ (|ν| + (1 − s)/2) m−2|ν|(24)Отсюда следует, что связанные состояния существуют только при отрицательных значениях ξ (или 2π > θ > π). Из уравнения (24) можнополучить, что при l + N = −1 и µ = β > 0 связанные состояния будутсуществовать только при s = 1, что обусловлено дополнительным потенциалом взаимодействия спина с магнитным полем −sµδ(r)/r, имеющегохарактер притяжения при s = 1 (sµ > 0).

Таким образом, полезно переписать (24) для s = 1 в следующем виде2β−1Γ(2β − 1)Γ(1/2 − β)m√= −ξ,(25)Γ(1 − 2β)Γ(−1/2 + β) 2 m2 − E 2и рассматривать только уровни энергии частицы. При адиабатическом увеличении параметра β от 0 до 1 уровни энергии частиц, определенные формально уравнением (25), понижаются от E = m до E = −m, а уровниэнергии античастиц поднимаются от E = −m до E = m, поэтому нет такназываемого уровня Ферми EF , который отделяет состояния частиц и античастиц. Но из формулы (25) видно, что для ξ = −1 (или θ = 3π/2) можноввести энергию Ферми EF = 0, определив состояния частиц как состояния сположительными энергиями E ≥ 0, а состояния античастиц как состоянияс отрицательными энергиями E ≤ 0. При таком определении ветви энергийчастиц и античастиц как функции β пересекают в точке β = 1/2 горизонталь E = 0 и симметричны по отношению к этой точке. Следовательно, приадиабатическом изменении параметра β от 0 до 1/2 энергетическая щельмежду связанными состояниями частиц и античастиц исчезает, и задачао поведении уровней энергий связанных состояний при β > 1/2 не можетбыть решена в рамках одночастичной квантовой механики.В разделе 3.4 решается задача рассеяния фермионов на потенциалеАаронова-Бома, с учетом ориентации спина фермиона и параметра самосопряженного расширения.

Амплитуда рассеяния определяется выражениемi(−1)n e−i[n+(1+s)/2]ϕ h isϕ/2isπβ−iπαf (ϕ) = √esin(πβ) − (e+ se) sin(ϕ/2) , (26)2πk sin(ϕ/2)12√(1 + ξ) sin(π(1 + s)/4 − πβ/2)и мы поло(1 − ξ) cos(π(1 + s)/4 − πβ/2)жили µ = N + β ≡ n + β. Отсюда при ξ = 0, ∞ (θ = 0, π) можно получитьсечение рассеяния в зависимости от β, которое совпадает с известной формулой Ааронова-Бома (случаи ξ = 0, ∞ эквивалентны)где k =E 2 − m2 , tg(πα/2) = ssin2 (πβ)dσ = |f (ϕ)| dϕ =dϕ ≡ dσAB .2πk sin2 (ϕ/2)2(27)Интересно, что связанные состояния явно проявляются в рассеянии фермиона.

Действительно, при β → 0 сечение рассеяния при ξ = −1 (θ = 3π/2)(1 + s)2dϕ(28)2πkобращается в нуль при s = −1, и оно изотропно и равно dσ = 2dϕ/(πk)при s = 1. Мы видим, что различные граничные условия, наложенные наспинорные волновые функции в источнике, приводят к неэквивалентнымфизическим случаям в соответствующем двумерном пространстве.В разделе 3.5 полученные результаты для амплитуды и сечения рассеяния обобщены на случай трех пространственных измерений, что имеетместо в реальных физических экспериментах. Вектор z ≡ n можно положить направленным вдоль оси соленоида в трехмерном пространстве, тогда, рассматривая рассеяние электрона в плоскости xy, перпендикулярнойоси соленоида, мы получим полное сечение в виде (ξ = 0, ∞)dσ =dσ =dσAB{cos2 (ϕ/2)(1 + s · s′ ) + sin2 (ϕ/2)[(1 − s · s′ ) + 2(sn)(s′ n)] −2− sin ϕ(n[s′ × s])}. (29)Скалярное произведение векторов a и b обозначено как a · b или (ab), авекторное произведение векторов a и b обозначено как [a × b]. Вектор nявляется трехмерным единичным вектором, перпендикулярным к плоскости рассеяния и s (s′ ) характеризует трехмерный вектор спина электронав начальном (конечном) состоянии.Глава 4.

Характеристики

Список файлов диссертации