Применение конформных преобразований к расчетам распределений токов, температур и магнитных полей двумерных проводников (1104479), страница 3
Текст из файла (страница 3)
Примеры линий тока в проводниках со скругленным углом.для проводников, изогнутых под углом и√z1 − aπ(1 + 2γ)√√√J(z1) =hz1 − 1 + γ z1 − 1 + δ1 + γ z1 − 1 − δ2для полосы с уступом.Целью главы 3 является исследование распределений температуры,возникающих в проводниках, плотность тока в которых существенно неоднородна. Для этого в разделе 3.1 рассматривается модельная задача ораспределении тока в тонком проводящем диске радиуса A, нагреваемомпостоянным током. Предполагается, что ток силой J0 подводится тонкимпроводом радиуса a ≪ A.
Предполагается также, что температура на границе диска совпадает с температурой окружающей среды, и нет теплообмена между подводящим проводом и диском. Решение такой задачи имеетвид:u(r) =αK0(κr)βZκrκaI0(x)dx − I0(κr)xZκrκaK0(x) dx − C1I0 (κr) + C2 K0(κr),x(4)где u(r) — разность между температурой диска и температуройокружаюpщей среды, r — радиус диска, α = J02 ρ/(4π 2), κ = hT /β, β — коэффициент теплопроводности, hT — коэффициент теплоотдачи с поверхности, ρ —удельное сопротивление (β и ρ пересчитаны на единицу площади поверх-14ности),C1 = −α I0 ξ − K0 ηk1 ,β K 0 i1 + I 0 k 1ZκAK0(x)dx ≡ ξ,xκaKn (κA) ≡ Kn ,Kn(κa) ≡ kn,C2 =ZκAα I0 ξ − K0 ηi1 ,β K 0 i1 + I 0 k 1I0(x)dx ≡ η,xκaIn (κA) ≡ In ,In (κa) ≡ in .Исследованы предельные случаи, соответствующие преобладанию различных механизмов отвода тепла от наиболее нагретых участков проводника.В случае преобладания теплоотвода а счет теплопроводности вдоль дискаасимптотика выражения (4) имеет вид:α2 r2 Au(r) ≈− lnln2βaaв нулевом порядке по κ и κ2 a2 A 2 A κ2 r2α 12 r2 r2 A2 A− lnln ln+− lnln+ln−u(r) ≈β 2aa4ra8aa2 2rA3Aκaκ2ln + κ2 (A2 − r2 )A2 ln − r2 ln−4aa8r16во 2-м порядке (слагаемые первого порядка отсутствуют).В случае преобладания механизма теплоотдачи с поверхности, асимптотика следующая:rrαα sh(κ(A − r)) aα sh(κ(r − a)) Au(r) ≈ 2 + u0 − 2−,hrha sh(κ(A − a)) r hA2 sh(κ(A − a)) rгде u0 — разница между температурой в центре проводника и температурой окружающей среды.
В последнем случае видно, что распределениетемпературы зависит от радиуса так же, как распределение источниковтепла, однако, для реальных металлов реализуется первый случай, когдараспределение температуры существенно сглаживается по сравнению распределением тепловых источников.В разделе 3.2 решаются задачи о распределении тепла в проводниках, рассмотренных в главе 2. Предполагается, что сопротивление линейнозависит от температуры и отсутствует теплоотвод через боковые границыпроводников.
Задачи решаются численно, в связи с этим в проводниках выделяется некоторая конечная область. Она выбирается так, что ее границы15перпендикулярны границам проводника и находятся на таких расстояниях от угла, где распределение тока уже можно считать однородным. Этопозволяет предположить, что в силу равномерности распределения тока,а следовательно, и источников тепла, градиент температуры на границахможно считать пренебрежимо малым. Т.е.
на всей границе заданы условияНеймана. Окончательно задача записывается в следующем виде:∆u(x, y) − [κ2 − f (x, y)α]u(x, y) = −f (x, y), при (x, y) ∈ Ω,(5) ∂u(x, y) = 0, при (x, y) ∈ ∂Ω.∂nЗдесь Ω — рассматриваемый участок проводника иj 2 (x, y)ρθ .f (x, y) =βДля решения этой задачи используется метод конечных элементов.При этом учитывается тот факт, что все рассматриваемые области получены из верхней комплексной полуплоскости с помощью конформных преобразований. Это позволяет задавать узлы триангуляции в верхней комплексной полуплоскости и сразу ставить им в соответствие функцию правой части.
Такой подход дает возможность избежать трудоемкой процедуры задания границ области из геометрических соображений и автоматически дает сгущение узлов вблизи внутренних углов, где функция правойчасти может сильно возрастать. Подраздел 3.2.1 посвящен получениюсистемы уравнений метода конечных элементов для рассматриваемой задачи. В подразделе 3.2.2 описана техническая реализация используемогоалгоритма.В разделе 3.3 исследуются размерные эффекты в двумерных проводниках. Установлено, что распределения температур в геометрически подобных проводниках с равными плотностями тока будут физически подобными лишь в том случае, когда у этих проводников совпадают следующиепараметры, являющиеся критериями подобия:L2 hTΠ1 =,τβL2 j 2 ρθΠ2 =,TβΠα = αT ,где L — характерный линейный размер в системе, T — характерный масштаб температуры, α — температурный коэффициент сопротивления.Примеры распределений температуры в геометрически подобных проводниках, по которым течет ток равной плотности приведены на рис.
7.Раздел 3.4 посвящен экспериментальной проверке некоторых из полученных результатов. В качестве образцов для измерения использовались16ts1041.860-141.84-241.82-241.80-3-30123y, смy, мм41.88L = 1 см444342-144140393801x, мм234L = 5 см5y, смL = 1 мм160050-540-1030-15200x, см5101520x, смРис. 7. Распределения температуры в геометрически подобных алюминиевых проводниках.проводники двух типов: проводник с прямоугольным вырезом размерамиh = 1, 5 см, k = 2 мм, l = 2 мм и проводник, изогнутый под прямым угломс h = k = 1 см.
Проводники были изготовлены из алюминиевой фольгитолщиной 10 мкм.16014012010080604020(b)T, CT, C(a)6560555045403530250 1 2 3 4 5 6 71 2 3 4 5 6 7 8I, AI, AРис. 8. Зависимость температуры перемычки (a) и температуры вблизивнутреннего угла (b) от пропускаемого тока. Точками отмечены экспериментальные данные, сплошная линия — результаты расчета.Нагрев производился постоянным электрическим током, распределение температуры по поверхности образцов определялось оптическим методом при помощи ИК-термографа SAT-S160, позволяющим получать каккартину распределения температуры, так и температуру в отдельных точках проводника.
На рисунке 8 приведены экспериментальные и теоретические зависимости температуры перемычки и температуры вблизи внутрен-17него угла проводника от пропускаемого тока.Эксперимент ставил своей целью проверку качественного соответствия реальных распределений температуры с теорией, однако было установлено, что имеет место также и количественное в пределах 30% совпадение теоретических результатов с экспериментом.Глава 4 посвящена расчету магнитных полей, создаваемых двумерными проводниками. В разделе 4.1 описан общий подход к расчету магнитного поля от рассмотренных проводников. Суть его заключается в том,чтобы, как и в главе 3, отделить ту область проводника, в которой происходит перераспределение плотности тока, от полубесконечных полос, вкоторых плотность тока однородна. Магнитное поле от конечной части проводника рассчитывается численно с помощью закона Био–Савара–Лапласа.При этом вновь используется тот факт, что выделенная область проводникаполучена известным отображением из полукольца в верхней комплекснойполуплоскости.
Поэтому интегрирование велось в переменных (v, ϕ), гдеv = ln r, r и ϕ — модуль и аргумент комплексной переменной в исходномполукольце (рис. 9). Модуль якобиана преобразования (x, y) → (v, ϕ) имеетРис. 9. Преобразование области интегрирования.видA2|J(v, ϕ)| = 2,j (v, ϕ)где A = J/(πτ ). Магнитное поле конечного участка проводника вычисляется как:1H(ξ, η, ζ) =cZv2 Zπv1[j(v, ϕ), R(v, ϕ)] A2dvdϕ,R3(v, ϕ)j 2(v, ϕ)0где (ξ, η, ζ) — координаты точки наблюдения.
Такой переход позволяет избежать необходимости задавать сетку в области сложной формы и даетвозможность использовать один и тот же алгоритм для всех рассматриваемых проводников.18Поле от полубесконечных полос рассчитывалось аналитически виде.Пример расчета магнитного поля от проводника, изогнутого под углом 60◦,приведен на рис. 10Hy , Э6543210-1-2-310-1-2-3-4-5-6Hz , Э0-1-2-3-4-5-6-7y, мм10-1-2-3-4-5-6y, ммy, ммHx , Э10-1-2-3-4-5-66420-2-4-6-8-10-1 0 1 2 3 4 5 6-1 0 1 2 3 4 5 6-1 0 1 2 3 4 5 6x, ммx, ммx, ммРис. 10. Компоненты поля проводника, изогнутого под углом 60◦ с параметрами h = k = 1 мм, по которому течет ток 1 А, на высоте 100 мкм надпроводником.Раздел 4.2 посвящен приложению полученных результатов к задачеоб управлении магнитными микрогранулами.
Уравнение движения магнитной микрогранулы в вязкой жидкости:4Ma = Mg − πr3 ρf g − 6πηrv + Fpond ,3где M — масса микрогранулы, r — ее радиус, v и a — скорость ее движения и ускорение, соответственно, ρf — плотность жидкости, в которуюпомещена микрогранула, η — динамическая вязкость этой жидкости. Пондеромоторная сила, действующая на микрогранулу во внешнем магнитномполе, имеет вид [Кузьменков, Харабадзе, 2004]:Fjpond = mi ∂j Bi,где m — магнитный момент гранулы. В связи с этим важным этапом врешении задач о движении магнитной микрогранулы является расчет магнитного поля управляющей системы и его производных. Методика расчетаописанная в разделе 4.1 позволила рассчитать поле сил, действующихна микрогранулу в поле прямоугольного витка с током, рассмотренного вглаве 2.
На рис. 11 приведены картины этих полей на различных высоткахнад витком. Из них видно, что точка, в которой окажется микрогранула,зависит от высоты подложки над ловушкой.19Рис. 11. Силовое поле в плоскости xy на высотах 5 cм (a), 5 мм (b) и 500 мкм(c) над ловушкой размерами 10×10 мм.Системы токов требуемых размеров не способны создать большихмагнитных полей, поэтому пондеромоторная сила, создаваемая ими оказывает заметное влияние на микрогранулу лишь на небольших (порядкаширины проводника) расстояниях от провода.
Для того, чтобы получитьвозможность влиять на движение микрогранул на больших расстоянияхиспользуются постоянные магниты. В связи с этим в подразделе 4.2.1рассматривается принципиальная возможность усиления внешнего магнитного поля полем постоянного магнита. Демонстрируется, что с помощьютонкой ферромагнитной пластинки среднее по объему датчика значение напряженности поля может быть усилено в 18-19 раз. Такие концентраторымогут быть использованы в первую очередь для регистрации микрогранулпосле того, как они попали в нужную точку над датчиком.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
