Применение конформных преобразований к расчетам распределений токов, температур и магнитных полей двумерных проводников (1104479), страница 2
Текст из файла (страница 2)
Приведены примеры возникновения сингулярностей в распределении плотности тока в различных проводниках.Раздел 1.3 посвящен описанию возможных приложений решениязадач о распределении плотности тока. Рассмотрены задачи о нагреве тонкопленочных проводников и описаны возможные сложности при их численном решении. Описан ряд проблем, связанных с возникновением и обнаружением дефектов в проводниках, в частности, продемонстрировананеобходимость вычисления магнитного поля проводника с дефектом приприменении устройств с перемещаемыми зондами.Описана концепция устройств на чипах (lab-on-a-chip) и свойства широко применяемых в них магнитных микро и наногранул. Записаны выражения для магнитного момента микрогранул и уравнение движения микрогранулы в вязкой жидкости под действием магнитного поля.
Описаныпрактические приложения таких микро и наногранул и способы управления ими с помощью магнитных полей плоских проводников и постоянныхмагнитов.В разделе 1.4 сформулирована цель диссертационной работы и описана ее структура. В конце главы 1 приведен список публикаций, в которыхизложены основные результаты исследований.Целью Главы 2 является поиск распределений комплексного потенциала и тока в плоских проводниках различной формы.
Рассматриваются проводники в виде бесконечных полос с изгибами, расширениями илисужениями. С учетом отсутствия протекания тока через боковые границыпроводника и в предположении, что суммарный ток через него известен,комплексный потенциал удовлетворяет следующей задаче: 2∂ W∂ 2W= 0, 2 +∂x∂y 2 ∂ Im[W (x, y)] = 0,∂n(x,y)∈∂Ω1 ,∂Ω2где ∂Ω1 и ∂Ω2 — две не соединяющиеся границы проводника. Для её решения используется метод конформных отображений. Решение поставлен-7ной задачи в верхней комплексной полуплоскости соответствует решениюзадачи о распределении комплексного потенциала точечного заряда, помещенного в начало координатW (z1) = K ln(z1 ),где K — некоторая константа, зависящая от начальных условий.
Отображением верхней комплексной полуплоскости на рассматриваемую областьс помощью преобразования Кристоффеля–Шварца, получается решениеисходной задачи.Раздел 2.1 посвящен нахождению непосредственно отображений переводящих верхнюю комплексную полуплоскость в интересующие области. Использование преобразования Кристоффеля–Шварца позволяет получить решения в аналитическом виде лишь для ограниченного числа областей, в большинстве же случаев, в частности и для областей, приведенныхна рис.1, приходится численно брать интеграл от функции комплексногопеременного и численно находить константы преобразования.
В связи сРис. 1. Рассматриваемые проводники.этим в подразделе 2.1.1 разработан способ, позволяющий избежать этойтрудности и получить приближенные аналитические решения для проводников, в которых есть области с относительно однородной плотностью токапо всей ширине. Для этого задача решается в области с меньшим числомуглов, к примеру для полосы с уступом или для полосы, изогнутой подпрямым углом. Отображения таких областей на верхнюю полуплоскостьзадаются в аналитических функциях. К примеру, для полосы с уступомоно имеет вид [Смайт, 1954]: b+t1+t1hln− ln,(1)z=π1−tbb−t8гдеt=sz1 − b2,z1 − 1b=h.kЭто отображение позволяет построить картину силовых линий и эквипотенциалей в полосе с уступом. Затем эти картины обрезаются вдоль предполагаемой оси симметрии и отражаются.
При точном решении задачи эк-Рис. 2. Определение погрешности для проводника с прямоугольнымвырезом.випотенциаль, находящаяся в центре, в силу симметрии будет прямой линией. В случае приближенного решения она отклонится от перпендикулярана некоторую величину ∆x (рис. 2), которую мы использовали для оценки погрешности, разделив её на характерный размер в проводнике. Знаниеотображения (1) позволило найти в аналитическом виде связь между величиной погрешности и радиусом ξ полуокружности верхней комплекснойполуплоскости, переходящей в центральную эквипотенциаль:!!"pp√√1 bb2 + ξ + 1 + ξb2 − ξ + 1 − ξα=− ln p+ln p√√πb−1b2 + ξ − 1 + ξb2 − ξ − 1 − ξ!!#pp√√221b −ξ+b 1−ξb 1+ξ+ b +ξ1p+ ln p− ln √.√22bbb −ξ−b 1−ξb 1+ξ− b +ξТакже аналитическом виде удалось найти связь между длиной выреза ирадиусом этой полуокружности:!!#"pp√√1b2 − ξ + 1 − ξb2 − ξ + b 1 − ξh− ln p.ln pl=2√√πbb2 − ξ − 1 − ξb2 − ξ − b 1 − ξПоследнее выражение при заданной длине l является уравнением относительно ξ.
В силу взаимной однозначности конформного отображения, егоможно решать численно простейшим методом половинного деления. Такимобразом, найдя ξ по заданному l нетрудно вычислить погрешность α.90y2-11-2-3-6-5-4-3-2-1012y0-4x-52y-61-70-7-6-5-4-3-2-101-820123x45678xРис. 3. Линии тока в проводниках, изображенных на рис.
1.Линии тока, совпадающие с линиями равного уровня мнимой частикомплексного потенциала, построенные таким способом, приведены на рисунке 3. Во всех случаях погрешность не превышает 1%.642yВ конце данного раздела формулируется общий алгоритм построения распределений комплексного потенциала вобластях, которые могут быть составлены из четырехугольников, отображениеверхней комплексной полуплоскости накоторые известно в аналитическом виде.Для примера этот алгоритм применяется к построению линий тока в ловушкедля магнитных микрогранул, имеющейвид прямоугольного витка с током. Результат приведен на рис.
4.0-2-4-6-6-4-20x246Подраздел 2.1.2 посвящен построению распределений комплексногоРис. 4. Картина линий тока впотенциала в проводниках, изогнутыхпрямоугольном виткепод различными углами. Поскольку любое иррациональное число можно сосколь угодно большой точностью приблизить рациональным, угол изгиба проводника α можно записать в виде α = πβ и 1 − β = P/Q, где P иQ — целые числа.
В этом случае интеграл Кристоффеля–Шварца, отображающий верхнюю комплексную полуплоскость на полосу, изогнутую под10углом, можно свести к рациональному [Kober, 1957]:z = −(1 + a)QCZtQ−1dt,tP (tQ + a)(tQ − 1)(2)гдеt=z1 + az1 − 11Q,hC = (sin α − i cos α),π 1h 1−β.a=kНами этот интеграл был взят для следующих углов (здесь k — ширинанижней части полосы, h — верхней):α = 120◦:111z = C − ln(t + b) + ln(t2 − bt + b2 ) − ln(t − 1) + ln(t2 + t + 1)b2b2√√√ !√ !)i 3i 32t − b − i 3b2t + 1 − i 3√√−++ C1 ,lnln2b2−2t + b − i 3b−2t − 1 − i 3где√3h−kh √C=( 3 + i), C1 =+ i (7k + h),2π4121z1 + b3 3ht=, b= .z1 − 1kα = 60◦:z=C11122ln(t+b)−ln(t−bt+b)−ln(t−1)+ln(t2 + t + 1)22b2b2√√ !√ !)√i 3−2t + b − i 3b−2t − 1 − i 3i 3√√+ 2 lnln++ C1 ,2b22t − b − i 3b2t + 1 − i 3где√3h √h+k( 3 − i), C1 = −− i (7k − h),C=2π4121rz1 + b3 3h.t=, b=z1 − 1k11α = 30◦:(z=Cгде!√2t + ibt + 3bt + b3i√lnln+b5−t + ib2b5t2 − 3bt + b2√√ !√ !√i 32t + 1 + i 32t − 1 + i 3i 3√√+lnln+22−2t − 1 + i 3−2t + 1 + i 3!!√√ii2t + 3b + ib2t − 3b + ib√√+ 5 ln+ 5 ln2b2b−2t − 3b + ib−2t + 3b + ib 2t+1t +t+11+ ln+ ln 2+ C1 ,t−12t −t+1√2√√√h3h(1 − i 3), C1 = k − h−i+k 3 ,C=2π22 116 6h 5z1 + b, b=.t=z1 − 1kКартины линий тока, построенные с помощью этих отображений приведены на рис.
5.α = 60◦ ; h = k = 1α = 30◦ ; h = 2; k = 10α = 120◦ ; h = 1, 5; k = 101-2-1-4yyy0-1-2-6-2-3-8012302x468x01234xРис. 5. Линии тока в проводниках, изогнутых под различными углами.В разделе 2.2 показано, что распределения тока в рассмотренныхпроводниках будут определяться следующими выражениями:jx = ARe [J(z1(z))] ,jy = −AIm [J(z1 (z))] ,j = A |J(z1 (z))| ,где A = J/(πτ ), τ ≪ h, k — толщина проводника, J — сила тока в нем,J(z1 ) =1 dz1.z1 dz12Продемонстрировано, что плотность тока будет стремиться к бесконечности во внутренних углах проводников (под внутренними понимаютсяуглы большие π).
Для того, чтобы избежать этой сингулярности, рассматриваются проводники с небольшим скруглением во внутреннем угле. Дляэтого конформное преобразование для области, изогнутой под углом, записывается в следующем виде:z=CZ1z1z1 − 1z1 + a1−βdz1 + CγZ1z11−βz1 − 1 + δ1dz1 +z1 + a1−βZ1 z1 − 1 − δ2Cγdz1 ,z1z1 + aздесь δ1, δ2 и γ — параметры, зависящие от радиуса скругления; δ1 < 1; δ2и γ могут принимать значения как большие, так и меньшие 1. Показано,что при допущении 1 − β = P/Q это выражение может быть сведено кследующему:z = I(1) + γI(1 − δ1) + γI(1 + δ2),гдеI(m) = −(1 +tm =bQm )QCz1 + az1 − mZ1QtQ−1mQQtPm (tQm + bm )(tm − 1),bm = a 1Qmdt,(3).Формальная эквивалентность выражений (2) и (3) позволяет использоватьдля расчетов результаты, полученные ранее при рассмотрении нескругленных углов.Для определения неизвестных параметров при известном радиусе скругления ρ получена следующая система уравнений:α∼,Re[z(1)] = k + ρ 1 − sin2 h + k cos ααα∼Im[z(1)]−−ρ1−sin,ctg=sin α22|z(1) − z(1 − δ )| = |z(1) − z(1 + δ )|,12которая решается численно.
Результаты применения этой техники приведены на рис. 6Выражения для J(z1) в случае скругленного внутреннего угла имеютвид:J(z1 ) =[z1 + a]1−βπ(1 + 2γ)h(sin α − i cos α) [z1 − 1]1−β + γ[z1 − 1 + δ1 ]1−β + γ[z1 − 1 − δ2 ]1−β13α = 60◦ ; h = k = 1; ρ = 0, 02kα = 120◦ ; h = 1, 5; k = 10.01.0-0.50.0-1.5yy-1.0-1.0-2.0-2.5-2.0-3.00.00.51.01.52.02.53.00.01.0x2.03.04.0xРис. 6.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
