Некоторые вопросы квантовых полевых матричных моделей (1104036), страница 2
Текст из файла (страница 2)
 ïàðêåòíîì ïîäõîäå ÷åòûðåõòî÷å÷íàÿ âåðøèíà íå çàâèñèòîò êîíñòàíòû ñâÿçè h, ïîñêîëüêó îíà âõîäèò òîëüêî â ïëàíàðíîå óðàâíåíèå Øâèíãåðà-Äàéñîíà.  ïëàíàðíîì æå ñëó÷àå ïðè ìàëûõ g âåðøèííàÿôóíêöèÿ âûãëÿäèò êàêΓ4 = −g + 2g 2 − 14g 3 + 114g 4 + 64g 3 h̄ + 10g 2 h̄2 + ...,5(10)ãäå h̄ = 4h.Ëèíèÿ, ðàçäåëÿþùàÿ îáëàñòè ôàç, êðèòè÷åñêèõ çíà÷åíèé êîíñòàíòñâÿçè äîñòàòî÷íî íåïëîõî ñîâïàäàþò â îáîèõ ñðàâíèâàåìûõ ïîäõîäàõ.Íàèáîëüøåå ðàçíîãëàñèå äâóõ ïîäõîäîâ äëÿ êðèòè÷åñêîé êîíñòàíòû ñâÿçè g áóäåò, êîãäà h = 0, à â ïðîòèâîïîëîæíîì ñëó÷àå ïðîèñõîäèò èõñáëèæåíèå.Ãëàâà 3 ïîñâÿùåíà ïëàíàðíîìó ïàðêåòíîìó ïðèáëèæåíèþ äâóìàòðè÷íîé ìîäåëè ñg1g1V (M1 , M2 ) = trM12 +trM14 + trM22 +trM24 − ctrM1 M2 . (11)24N24NÝòà ìîäåëü ñ ïðîñòåéøèì âçàèìîäåéñòâèåì ïî äâóì ìàòðèöàì áûëà ïðåäëîæåíà Èöèêñîíîì è Çþáåðîì. Îíà ìîæåò áûòü èññëåäîâàíà ñ èñïîëüçîâàíèåì ìåòîäà îðòîãîíàëüíûõ ïîëèíîìîâ.
Êàê áûëî ïîêàçàíî Êàçàêîâûì, ýòà ñèñòåìà îïèñûâàåò ìîäåëü Èçèíãà íà ñëó÷àéíîé ðåøåòêå.Äëÿ ïðåäëîæåííûõ ïàðêåòíûõ óðàâíåíèé, íåó÷èòûâàþùèõ ïåðåêðåñòíûõ ÷ëåíîâ, â ïàðàãðàôå 3.1 îäíîòèïíûé ïî ïîëÿì ïðîïàãàòîð ñîâïàë äîâòîðîãî ïîðÿäêà ïî êîíñòàíòå ñâÿçè ñ ïëàíàðíûì àíàëîãîìDpl = D1 = D2 =1 + c29 + 21c2 + 6c4 21−2g+g + ...1 − c2(1 − c2 )3(1 − c2 )5(12) ïàðàãðàôå 3.2 äàåòñÿ îïèñàíèå ìîäåëè (11) ÷åðåç îðòîãîíàëüíûå îòäâóõ ïåðåìåííûõ, êîòîðûå ïðèíÿòî íàçûâàòü áèîðòîãîíàëüíûìè.  íåïðåðûâíîì ïðåäåëå, êîãäà N → ∞, ìîæíî ïîëó÷èòü, èñïîëüçóÿ áèîðòîãîíàëüíûå ïîëèíîìû, òî÷íîå âûðàæåíèå äëÿ ïëàíàðíîãî ïðîïàãàòîðàw2c2 (1 + 5w)],Dpl = 2 [1 + 4w −g(1 + 3w)3ãäå w âûðàæàåòñÿ ÷åðåç g êàê(13)3c2 w3c2 wg(w) = w + 3w +−.(1 + 3w)3 1 + 3w2(14)Çíà÷åíèÿ êðèòè÷åñêèõ çíà÷åíèé êîíñòàíòû ñâÿçè g äâóõ ïîäõîäîâ ïðèðàçíûõ çíà÷åíèÿõ c ñðàâíèâàåòñÿ â íèæåïðèâåäåííîé òàáëèöå.c0.01gpl0.01gpar0-8.33-8.640.1-8.11-8.40.2-7.44-7.720.3-6.34-6.670.4-4.99-5.460.5-3.64-4.040.6-2.42-2.720.7-1.4-1.620.8-0.64-0.740.9-0.16-0.16Êîãäà c = 14 â ïàðêåòíîì èññëåäîâàíèè òàêæå ìåíÿåòñÿ ïîâåäåíèå êðèòè÷åñêîé êîíñòàíòû ñâÿçè g , õîòÿ ñîãëàñèå â äàííîì ñëó÷àå äîñòàòî÷íîãðóáîå. ïàðàãðàôå 3.3 ïðèâîäÿòñÿ ïàðêåòíûå óðàâíåíèÿ äëÿ íåñèììåòðè÷íîãî ïîòåíöèàëà.
Çäåñü òàêæå ïîëó÷åíû îäíîòèïíûå ïðîïàãàòîðû äî âòîðîãî ïîðÿäêà. Ãëàâå 4 ðàññìàòðèâàåòñÿ ìíîãîñëåäîâàÿ ìàòðè÷íàÿ ìîäåëü Ãîëäñòîóíà ñ äåéñòâèåì1ghV (Φ) = − trΦ2 + trΦ4 + 2 (trΦ2 )2 .(15)2NN ïàðàãðàôå 4.1 äàåòñÿ ïðåäñòàâëåíèå ìîäåëè. Äåëàåòñÿ çàìå÷àíèå, ÷òîóäîáíûì ïàðàìåòðîì âû÷èñëåíèÿ ÿâëÿåòñÿ íå ξ , îïðåäåëåííîå ôîðìóëîé(2), à ñóììîé êîíöîâ îòðåçêîâ s = a + b + c + d.Ôàçû ñ ξ = 12 è ξ = 0 èëè 1 îáñóæäàþòñÿ â ïàðàãðàôå 4.2.Ñèììåòðè÷íîå ðåøåíèå íà äâóõ îòðåçêàõ ñ ξ = 12 èìååò ñëåäóþùååçíà÷åíèå ïðîïàãàòîðà1D=,(16)4(g + h)à âàêóóìíàÿ ýíåðãèÿ ïðèìåò âèäE 0 (g, h) − E 0 (0) = −g13+log(4g)−.16(g + h)2 48(17)Óñëîâèåì ñóùåñòâîâàíèÿ ñèììåòðè÷íîé ôàçû íà äâóõ îòðåçêàõ áóäåòg ≥ 16(g + h)2 ,(18)à äëÿ ïîëíîñòüþ íåñèììåòðè÷íîé ôàçû ìîæíî ïîëó÷èòü ñîîòâåòñòâåííî225g ≥ 4(45g + 41h)2 .(19)Òàêèì îáðàçîì, ñîîòâåòñòâóþùàÿ ôàçà ìîäåëè îïðåäåëåíà íà îáëàñòè,îãðàíè÷åííîé ñâåðõó ïàðàáîëàìè, à ñíèçó ïðÿìîé g = −h èç-çà ôîðìóë(16) è (17).Äëÿ îáùåãî ñëó÷àÿ â ïàðàãðàôå 4.3 ïðèâåäåíû íåêîòîðûå ÷àñòíûå ðåçóëüòàòû.
Àñèìïòîòè÷åñêèå óñëîâèÿ íà ãåíåðàòîð êîððåëÿöèîííûõ ôóíêöèé äàþò òðè óðàâíåíèÿ íà ñèììåòðè÷åñêèå ïîëèíîìû íà êîíöû îòðåçêîâ. ×åðåç ýòè ñèììåòðè÷åñêèå ïîëèíîìû, âûðàæåííûå ÷åðåç ñóììó êîí7öîâ îòðåçêîâ s = a+b+c+d, èñïîëüçóÿ òåîðåìó î âû÷åòàõ, ìîæíî ïðîâåñòè ðàñ÷åò êîððåëÿöèîííûõ ôóíêöèè. Èõ ÿâíûé âèä òàêîé æå, êàê è ïðèh = 0, ââèäó òîãî, ÷òî ïëîòíîñòü ðàñïðåäåëåíèÿ íå èçìåíèëàñü â äàííîéìîäåëè.  ñëó÷àå íåíóëåâîãî h âû÷èñëåíû ïðîïàãàòîð è ïåðâûé êîððåëÿöèîííûé ìîìåíò íàìàãíè÷åííîñòü, êîòîðàÿ â îáùåì ñëó÷àå íåíóëåâàÿ.Íàïðèìåð, ïðîïàãàòîð èìååò âèäD=−31115 6s g − s4 g − s2 F 2 − s2 − F,64161642(20)ãäå2D1+h.(21)2ggÏðè êðèòè÷åñêèõ çíà÷åíèÿõ êîíñòàíò ñâÿçè ïàðàáîëà, ñîîòâåòñòâóþùàÿïðîèçâîëüíîìó ïàðàìåòðó ξ , ëåæèò ìåæäó äâóìÿ äðóãèìè ïàðàáîëàìè,çàäàâàåìûìè (18) è (19).
Ðàññìîòðåí åùå îäèí ÷àñòíûé ñëó÷àé, ïðè êîòîðîì ïîÿâëÿåòñÿ äîïîëíèòåëüíîå óðàâíåíèå íà s. ïàðàãðàôå 4.4 ïðèâîäèòñÿ îáñóæäåíèå ïëàíàðíîãî ïàðêåòíîãî ïðèáëèæåíèÿ ìîäåëè ñèììåòðè÷íîé ôàçû íà äâóõ îòðåçêàõ. Âûÿñíåíî, èñïîëüçóÿ ÷èñëåííûé ðàñ÷åò, ÷òî ïðè ìàëûõ çíà÷åíèÿõ êîíñòàíò ñâÿçè ñóùåñòâóåò ðåøåíèå óðàâíåíèÿ íà ïàðêåòíûé ïðîïàãàòîð, áëèçêîå ê ïëàíàðíîìó îòâåòó (16).F =− Çàêëþ÷åíèè ñôîðìóëèðîâàíû îñíîâíûå ðåçóëüòàòû, ïîëó÷åííûåâ äèññåðòàöèè. Ïðèëîæåíèÿ âûíåñåí âñïîìàãàòåëüíûé ìàòåðèàë.  Ïðèëîæåíèè À ïðèâåäåíû ñâåäåíèÿ î ìåðå ïî ýðìèòîâûì ìàòðèöàì â îáû÷íîéè äâóìàòðè÷íîé ìîäåëÿõ.
 Ïðèëîæåíèè  äàíî îïèñàíèå ïàðêåòíîãîïðèáëèæåíèÿ äëÿ íóëüìåðíîé ñêàëÿðíîé òåîðèè ïîëÿ, êîòîðîå ñïàâíèâàåòñÿ ñ òî÷íûì.ÎÑÍÎÂÍÛÅ ÐÅÇÓËÜÒÀÒÛ ÄÈÑÑÅÐÒÀÖÈÈ1. Îáíàðóæåíî, ÷òî ðåøåíèå ïëàíàðíûõ ïàðêåòíûõ óðàâíåíèé âîêðóãòðèâèàëüíîãî ïåðòóðáàòèâíîãî âàêóóìà ãîëäñòîóíîâñêîé ýðìèòîâîé ìîäåëè ïðèãîäíî äëÿ îïèñàíèÿ ñèììåòðè÷íîãî ðåøåíèÿ íà äâóõ îòðåçêàõ.Âûÿñíåíî, ÷òî ïëàíàðíûå ïàðêåòíûå óðàâíåíèÿ íàä íåïåðòóðáàòèâíûì8âàêóóìîì íå î÷åíü õîðîøî îïèñûâàþò ñîîòâåòñâóþøåå ïîëíîñòüþ íåñèììåòðè÷íîå ðåøåíèå.2.  ìíîãîñëåäîâîé ìàòðè÷íîé ìîäåëè íàáëþäàëîñü äîñòàòî÷íîå ñõîäñòâî ìåæäó ïàðêåòíî-ïëàíàðíûì è ïëàíàðíûì ïðèáëèæåíèÿìè.
Çäåñüñðàâíèâàëèñü ïðîïàãàòîðû, ÷åòûðåõòî÷å÷íûå âåðøèíû è çíà÷åíèÿ êðèòè÷åñêèõ êîíñòàíò ñâÿçè.3. Ïðîâåäåíî èññëåäîâàíèå ïàðêåòíîãî îïèñàíèÿ äâóìàòðè÷íîé ìîäåëè. Çäåñü ñðàâíèâàëèñü ñ ïëàíàðíûìè àíàëîãàìè îäíîòèïíûå ïðîïàãàòîðû è çíà÷åíèÿ êðèòè÷åñêèõ çíà÷åíèé êîíñòàíòû ñâÿçè g(c). Ïîëó÷åíòî÷íûé ïëàíàðíûé ïðîïàãàòîð.4. Äëÿ ìíîãîñëåäîâîé ìàòðè÷íîé ìîäåëè Ãîëäñòîóíà îáñóæäàëèñü îáëàñòè ñóùåñòâîâàíèÿ ðåøåíèÿ íà äâóõ îòðåçêàõ â ñèììåòðè÷íîì è ïîëíîñòüþ íåñèììåòðè÷íîì ñëó÷àÿõ. Ïîäñ÷èòàíà âàêóóìíàÿ ýíåðãèÿ äëÿñèììåòðè÷íîãî ñëó÷àÿ.  ïðîèçâîëüíîì ñëó÷àå âû÷èñëåíû íàìàãíè÷åííîñòü, êîòîðàÿ ÿâëÿåòñÿ ïàðàìåòðîì ïîðÿäêà ôàçû, è ïðîïàãàòîð. Ïðîâåäåíî ñðàâíåíèå ïëàíàðíîãî ïàðêåòíîãî ïðèáëèæåíèÿ íàä òðèâèàëüíûìâàêóóìîì ñ ñèììåòðè÷íûì ðåøåíèåì íà äâóõ îòðåçêàõ ìíîãîñëåäîâîéìîäåëè.ÏÓÁËÈÊÀÖÈÈ1.
A. Shishanin, I. Ziatdinov. Parquet approximation for large-N matrixHiggs model. JHEP. 07 (2003) 032-044.2. À.Î. Øèøàíèí. Ìàòðè÷íàÿ ìíîãîñëåäîâàÿ ìîäåëü â ïàðêåòíîìïðèáëèæåíèè. Èçâåñòèÿ âóçîâ. Ôèçèêà, 12 (2005) 65-69.3. À.Î. Øèøàíèí. Ðåøåíèå ïàðêåòíûõ óðàâíåíèé äëÿ äâóìàòðè÷íîéìîäåëè. Èçâåñòèÿ âóçîâ. Ôèçèêà, 5 (2006) 92-95.4. À.Î. Øèøàíèí. Ôàçû ìíîãîñëåäîâîé ìàòðè÷íîé ìîäåëè Ãîëäñòîóíà â ïðåäåëå áîëüøèõ N. ÒÌÔ, 152(3) (2007) 457-465.5. A.O.
Shishanin. Some aspects of multitrace matrix models. in Proc. 12thLomonosov Conference on Elementary Particle Physics. World Scientic,Singapore, 2006, p. 414-417.9.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
