Некоторые вопросы квантовых полевых матричных моделей (1104036)

Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла

Íà ïðàâàõ ðóêîïèñèØèøàíèí Àíäðåé Îëåãîâè÷ÍÅÊÎÒÎÐÛÅ ÂÎÏÐÎÑÛ ÊÂÀÍÒÎÂÛÕÏÎËÅÂÛÕ ÌÀÒÐÈ×ÍÛÕ ÌÎÄÅËÅÉÑïåöèàëüíîñòü 01.04.02Òåîðåòè÷åñêàÿ ôèçèêàÀâòîðåôåðàòäèññåðòàöèè íà ñîèñêàíèå ó÷åíîé ñòåïåíèêàíäèäàòà ôèçèêî-ìàòåìàòè÷åñêèõ íàóêÌîñêâà - 2007Ðàáîòà âûïîëíåíà â îòäåëå òåîðåòè÷åñêîé ôèçèêè Ìàòåìàòè÷åñêîãîèíñòèòóòà èìåíè Â.À. Ñòåêëîâà ÐÀÍ è íà êàôåäðå òåõíè÷åñêîéôèçèêè Ìîñêîâñêîãî ãîñóäàðñòâåííîãî èíäóñòðèàëüíîãî óíèâåðñèòåòàÍàó÷íûé ðóêîâîäèòåëü:äîêòîð ôèçèêî-ìàòåìàòè÷åñêèõ íàóê,ïðîôåññîðÈ.ß. ÀðåôüåâàÎôèöèàëüíûå îïïîíåíòû:äîêòîð ôèçèêî-ìàòåìàòè÷åñêèõ íàóê,ïðîôåññîðÀ.Â. Áîðèñîâêàíäèäàò ôèçèêî-ìàòåìàòè÷åñêèõ íàóêÀ.Ï.

ÇóáàðåâÂåäóùàÿ îðãàíèçàöèÿ:Ðîññèéñêèé óíèâåðñèòåò äðóæáû íàðîäîâÇàùèòà ñîñòîèòñÿ " "2007 ã.â÷àñ. íà çàñåäàíèèäèññåðòàöèîííîãî ñîâåòà Ê 501.001.17 â Ìîñêîâñêîì ãîñóäàðñòâåííîìóíèâåðñèòåòå èìåíè Ì.Â. Ëîìîíîñîâà ïî àäðåñó: 119992, ÃÑÏ-2, ã.Ìîñêâà, Âîðîáüåâû ãîðû, ôèçè÷åñêèé ôàêóëüòåò, àóä.Ñ äèññåðòàöèåé ìîæíî îçíàêîìèòüñÿ â áèáëèîòåêåôèçè÷åñêîãî ôàêóëüòåòà Ìîñêîâñêîãî ãîñóäàðñòâåííîãî óíèâåðñèòåòà.Àâòîðåôåðàò ðàçîñëàí ""Ó÷åíûé ñåêðåòàðüäèññåðòàöèîííîãî ñîâåòà Ê 501.001.17äîêòîð ôèçèêî-ìàòåìàòè÷åñêèõ íàóê,ïðîôåññîð2007 ã.Ï.À. ÏîëÿêîâÎÁÙÀß ÕÀÐÀÊÒÅÐÈÑÒÈÊÀ ÐÀÁÎÒÛÀêòóàëüíîñòü òåìû.

Îñíîâíûì ìåòîäîì èçó÷åíèÿ êâàíòîâûõ òåîðèé ïîëÿ ÿâëÿåòñÿ ìåòîä òåîðèè âîçìóùåíèé, èñïîëüçóþùèé òåõíèêóôåéíìàíîâñêèõ äèàãðàìì. Äëÿ êâàíòîâîé ýëåêòðîäèíàìèêè áûëî âûÿâëåíî çàìå÷àòåëüíîå ñîãëàñèå ìåæäó òåîðåòè÷åñêèìè ðåçóëüòàìè, ïîëó÷åííûìè ñ ïîìîùüþ òåîðèè âîçìóùåíèé, è ýêñïåðèìåíòàëüíûìè äàííûìè, íàáëþäàåìûìè íà óñêîðèòåëÿõ è äðóãèõ óñòàíîâêàõ. Îäíàêî, êàêèçâåñòíî, êâàíòîâàÿ õðîìîäèíàìèêà, êîòîðàÿ ëåæèò â îñíîâå ñèëüíûõâçàèìîäåéñòâèé, õîðîøî îïèñûâàåòñÿ òåîðèåé âîçìóùåíèé òîëüêî íà ìàëûõ ðàññòîÿíèÿõ èëè â îáëàñòè áîëüøèõ èìïóëüñîâ â ñèëó àñèìïòîòè÷åñêîé ñâîáîäû.

×òîáû îïèñàòü ýòó òåîðèþ â îáëàñòè ìàëûõ èìïóëüñîâ,íåîáõîäèìî ðàçâèòèå ìåòîäîâ èññëåäîâàíèÿ êâàíòîâîé òåîðèè ïîëÿ, âûõîäÿùèõ çà ðàìêè òåîðèè âîçìóùåíèé. Îäíèì èç íàèáîëåå ïðèìåíÿåìûõÿâëÿåòñÿ ìåòîä ìàëîãî ïàðàìåòðà ïî îáðàòíîìó ÷èñëó ñòåïåíåé ñâîáîäûñèñòåìû, èçâåñòíûé òàêæå êàê 1/N -ðàçëîæåíèå.

Äëÿ êàëèáðîâî÷íîé òåîðèè ßíãà-Ìèëëñà U (N ), êîòîðàÿ îïèñûâàåò ãëþîííûå ïîëÿ, åñòåñòâåííûì ïàðàìåòðîì N ÿâëÿåòñÿ ðàíã êàëèáðîâî÷íîé ãðóïïû. Âïåðâûå 1/N ðàçëîæåíèå ðàññìàòðèâàëîñü â ñòàòèñòè÷åñêîé ôèçèêå.Èç çíàìåíèòîé ðàáîòû ò' Õóôòà õîðîøî èçâåñòíî, ÷òî â ìíîãîìåðíîéìàòðè÷íîé òåîðèè ßíãà-Ìèëëñà â ïðåäåëå áîëüøèõ N è ïðè íàëîæåíèèîïðåäåëåííîãî óñëîâèÿ íà êîíñòàíòó ñâÿçè âûæèâàþò, ò.å. äàþò âåäóùèéâêëàä â âû÷èñëåíèå ðàçëè÷íûõ âåëè÷èí, ïëàíàðíûå äèàãðàììû. Èìè ÿâëÿþòñÿ òàêèå äèàãðàììû, êîòîðûå ìîæíî íàðèñîâàòü íà ïëîñêîñòè. Äëÿâûïîëíåíèÿ àíàëèòè÷åñêèõ èññëåäîâàíèé íåîáõîäèìî âû÷èñëÿòü ñóììóâñåõ ïëàíàðíûõ äèàãðàìì. Îöåíêà ÷èñëà ðîñòà ïëàíàðíûõ äèàãðàìì áûëà ñäåëàíà â ðàáîòàõ êàíàäñêîãî ìàòåìàòèêà Òàòòà è ãðóïïîé ôèçèêîâÊîïëèêà, Íåâå è Íóññèíîâà êîìáèíàòîðíûì ñïîñîáîì ñ èñïîëüçîâàíèåì óðàâíåíèÿ íà ïðîèçâîäÿùèå ôóíêöèè äëÿ êîððåëÿòîðîâ.

Îêàçàëîñü,÷òî ÷èñëî ïëàíàðíûõ ãðàôîâ ðàñòåò ñòåïåííûì îáðàçîì ïî ÷èñëó âåðøèí, â òî âðåìÿ êàê îáùåå ÷èñëî ãðàôîâ ðàñòåò ôàêòîðèàëüíî. Ìåòîäîì1/N -ðàçëîæåíèÿ Áðåçàíîì, Èöèêñîíîì, Ïàðèçè, Çþáåðîì (BIPZ) èññëåäîâàëèñü ýðìèòîâûå íóëü-ìåðíûå φ3 è φ4 , à òàêæå îäíîìåðíàÿ φ4 ìîäåëè.Äëÿ óïîìÿíóòûõ íóëü-ìåðíûõ ìîäåëåé ïóòåì ðåøåíèÿ ñèíãóëÿðíîãî èí1òåãðàëüíîãî óðàâíåíèÿ íà ïëîòíîñòü ðàñïðåäåëåíèÿ ñîáñòâåííûõ çíà÷åíèé, ëåæàùåé íà êîíå÷íîì îòðåçêå, íàéäåíû êîððåëÿöèîííûå ôóíêöèè,âàêóóìíàÿ ýíåðãèÿ, óðàâíåíèÿ íà îäíî÷àñòè÷íî-íåïðèâîäèìûå âåðøèííûå ôóíêöèè. ýðìèòîâîé ìàòðè÷íîé ìîäåëè ñ îáû÷íûì ìàññîâûì ÷ëåíîì ðåøåíèå ñèíãóëÿðíîãî èíòåãðàëüíîãî óðàâíåíèÿ íàõîäèòñÿ íà îäíîì îòðåçêå,îäíàêî äëÿ ìîäåëåé ñ îòðèöàòåëüíûì êâàäðàòîì ìàññû ïîÿâëÿþòñÿ ðåøåíèÿ íà íåñêîëüêèõ îòðåçêàõ èëè ðàçðåçàõ.

Ðåøåíèÿ íà íåñêîëüêèõîòðåçêàõ äëÿ óðàâíåíèÿ íà ïëîòíîñòü ðàñïðåäåëåíèÿ ñîáñòâåííûõ çíà÷åíèé ìàòðèöû âïåðâûå áûëè îáíàðóæåíû â ïðîñòåéøåì ñëó÷àå íóëüìåðíûõ è îäíî-ìåðíûõ ýðìèòîâûõ ìàòðè÷íûõ ìîäåëåé Ãîëäñòîóíà, àòàêæå â ðåøåòî÷íîé ìîäåëè Êîãóòà-Ñàññêèíäà. Àðåôüåâîé, Èë÷åâûìè Ìèòðþøêèíûì òàêæå áûëî çàìå÷åíî, ÷òî ïðîèçâîëüíîå ðåøåíèå íàäâóõ îòðåçêàõ çàäàåòñÿ ïàðàìåòðîì ξ èíòåãðàëîì ïî ëåâîìó îòðåçêóîò ïëîòíîñòè ðàñïðåäåëåíèÿ ìàòðèöû. Ïîïàñòü â òàêóþ êîíôèãóðàöèþ ñçàäàííûì ξ ìîæíî, åñëè ââåñòè â äåéñòâèå èñ÷åçàþùå ìàëûé âîçìóùàþùèé ÷ëåí ñïåöèàëüíîãî âèäà, íàðóøàþùèé èñõîäíóþ ñèììåòðèþ U (N ). ýòîì ñëó÷àå ìîæíî ãîâîðèòü, ÷òî ðåøåíèÿ ñ ðàçëè÷íûìè ξ îïðåäåëÿþò ðàçëè÷íûå ôàçû òåîðèè â ñìûñëå êâàçèñðåäíèõ Í.Í.

Áîãîëþáîâà.Îòìåòèì, ÷òî ïðè ýòîì âàêóóìíàÿ ýíåðãèÿ çàâèñèò îò ñïîñîáà ââåäåíèÿâ äåéñòâèå âîçìóùàþùåãî ñëàãàåìîãî. Ñèììåòðè÷íîå ðåøåíèå íà äâóõîòðåçêàõ ñîîòâåòñâóåò ξ = 1/2, à ïîëíîñòüþ íåñèììåòðè÷íîå ξ = 0 èëè1. Îòíîñèòåëüíî íåäàâíî áûëî çàìå÷åíî ñîîòâåòñòâèå ìåæäó ìíîãîðàçðåçíûìè ðåøåíèÿìè ìàòðè÷íûõ ìîäåëåé è ñóïåðñèììåòðè÷íûìè êàëèáðîâî÷íûìè òåîðèÿìè, ÷òî ñäåëàëî èçó÷åíèå ýòèõ ðåøåíèé àêòóàëüíîéçàäà÷åé.Ïàðêåòíîå ïðèáëèæåíèå èëè îáîáùåííîå ëåñòíè÷íîå ïðèáëèæåíèå áûëî ïðåäëîæåíî Ëàíäàó ñ ñîòðóäíèêàìè â èõ èññëåäîâàíèè âûñîêîýíåðãåòè÷åñêîãî ïîâåäåíèÿ êâàíòîâîé ýëåêòðîäèíàìèêè.

Ðåçóëüòàòû, ïîëó÷åííûå ñ ïîìîùüþ ïàðêåòíîãî ïðèáëèæåíèÿ, íàõîäÿòñÿ â ñîãëàñèè ñ ïîäõîäîì ðåíîðìàëèçàöèîííîé ãðóïïû. Ïåðâîíà÷àëüíîé çàäà÷åé áûëî ðàçâèòèå íåïåðòóðáàòèâíûõ ìåòîäîâ â êâàíòîâîé òåîðèè ïîëÿ. Ïàðêåòíîåïðèáëèæåíèå ïðèâîäèò ê çàìêíóòîé ñèñòåìå èíòåãðàëüíûõ óðàâíåíèé íàïðîïàãàòîðû è âåðøèííûå ôóíêöèè. Ýòè óðàâíåíèÿ èìåþò ñìûñë è ïðè2áîëüøèõ çíà÷åíèÿõ êîíñòàíò ñâÿçè. Äàííûé ïîäõîä ó÷èòûâàåò áîëüøèéêëàññ ôåéíìàíîâñêèõ äèàãðàìì, ÷åì ïðèáëèæåíèå ãëàâíûõ ëîãàðèôìîâè ïîýòîìó ïîëó÷åííûå ðåçóëüòàòû ñ ïîìîùüþ ïàðêåòíîãî ïðèáëèæåíèÿíîñÿò áîëåå ñòðîãèé õàðàêòåð.Îäíèì èç àëüòåðíàòèâíûõ ìåòîäîâ èññëåäîâàíèÿ ýðìèòîâûõ ìàòðè÷íûõ ìîäåëåé ê ïëàíàðíîìó ðåøåíèþ ÿâëÿåòñÿ ìåòîä ïëàíàðíûõ ïàðêåòíûõ óðàâíåíèé, ÷òî áûëî ïðåäëîæåíî Àðåôüåâîé è Çóáàðåâûì äëÿíóëü-ìåðíûõ ìîäåëåé φ3 è φ4 .

Ýòî àëüòåðíàòèâíûé ïîäõîä ê èçâåñòíîìóïëàíàðíîìó ðåøåíèþ.  ïëàíàðíî -ïàðêåòíîì ïðèáëèæåíèè, âìåñòî áåñêîíå÷íîé ñèñòåìû ïëàíàðíûõ óðàâíåíèé Øâèíãåðà-Äàéñîíà íà ôóíêöèèÃðèíà, êîòîðóþ, ïðàâäà, ìîæíî çàìåíèòü íà ïðîèçâîäÿùóþ ôóíêöèþ,ðàññìàòðèâàåòñÿ êîíå÷íîå ÷èñëî óðàâíåíèé íà ïðîïàãàòîðû è âåðøèííûå ôóíêöèè.Îñíîâíàÿ öåëü äèññåðòàöèè ñîñòîèò â èññëåäîâàíèè ñâîéñòâ ïëàíàðíîãî ïàðêåòíîãî ïðèáëèæåíèÿ äëÿ íåêîòîðûõ ìàòðè÷íûõ ìîäåëåé èâ èçó÷åíèè ñâîéñòâ ðåøåíèÿ íà äâóõ îòðåçêàõ ìíîãîñëåäîâîé ìîäåëè.Íàó÷íàÿ íîâèçíà.

 äèññåðòàöèè ðàçâèò ìåòîä ïàðêåòíûõ ïëàíàðíûõ óðàâíåíèé äëÿ ýðìèòîâûõ ìàòðè÷íûõ ìîäåëåé. Äëÿ äåìîíñòðàòèâíîñòè áûë ðàññìîòðåí âèä ïîòåíöèàëà φ4 . Èçó÷åíû ïðèìåðû ãîëäñòîóíîâñêîé ìîäåëè, ìíîãîñëåäîâîé ìîäåëè, äâóìàòðè÷íîé ìîäåëè, ìíîãîñëåäîâîé ãîëäñòîóíîâñêîé ìîäåëè.  ïîñëåäíåì ñëó÷àå òàêæå âïåðâûåèññëåäóåòñÿ ôàçîâàÿ ñòðóêòóðà òåîðèè.Íàó÷íàÿ è ïðàêòè÷åñêàÿ öåííîñòü ðàáîòû.

Ïîëó÷åííûå ðåçóëüòàòû ìîãóò áûòü èñïîëüçîâàíû äëÿ èññëåäîâàíèÿ áîëåå ñëîæíûõ ýðìèòîâûõ ìàòðè÷íûõ ìîäåëåé, íàïðèìåð, ìíîãîìàòðè÷íûõ, êàê îòêðûòûõ, òàêè çàìêíóòûõ, è îäíîìåðíîé.  ïðèíöèïå, öåííîñòüþ ïîäõîäà ïëàíàðíûõïàðêåòíûõ óðàâíåíèé ÿâëÿåòñÿ òî, ÷òî ìîæíî ðàáîòàòü è â ìíîãîìåðíîìñëó÷àå ìàòðè÷íîé òåîðèè ïîëÿ, ãäå íåèçâåñòíî ïëàíàðíîå ðåøåíèå.Àïðîáàöèÿ ðàáîòû. Ïîëó÷åííûå â äèññåðòàöèè ðåçóëüòàòû äîêëàäûâàëèñü íà XII "Ìåæäóíàðîäíîé Ëîìîíîñîâñêîé êîíôåðåíöèè ïî ôèçèêå ýëåìåíòàðíûõ ÷àñòèö"(Ìîñêâà, 2005) è ñåìèíàðàõ.Ïóáëèêàöèè.

Ïî òåìå äèññåðòàöèè îïóáëèêîâàíî 5 ðàáîò.Ñòðóêòóðà äèññåðòàöèè. Äèññåðòàöèÿ ñîñòîèò èç ââåäåíèÿ, ÷åòûðåõ ãëàâ, äâóõ ïðèëîæåíèé, çàêëþ÷åíèÿ è ñïèñêà èñïîëüçóåìîé ëèòåðà3òóðû. Îáúåì äèññåðòàöèè ñîñòàâëÿåò 98 ñòðàíèö, íàáðàííîãî â èçäàòåëüñêîé ñèñòåìå LATEX.ÑÎÄÅÐÆÀÍÈÅ ÄÈÑÑÅÐÒÀÖÈÈÂî Ââåäåíèè äàíî îáîñíîâàíèå àêòóàëüíîñòè òåìû äèññåðòàöèîííîéðàáîòû, ïðèâåäåí êðàòêèé îáçîð ðàáîò â îáëàñòè èññëåäîâàíèÿ ìàòðè÷íûõ ìîäåëåé è ñõåìàòè÷íî èçëîæåíî ñîäåðæàíèå äèññåðòàöèè. Ãëàâå 1 îáñóæäàþòñÿ îñíîâíûå èäåè è ìåòîäû, êîòîðûå èñïîëüçóþòñÿ â äàëüíåéøåì òåêñòå. ïàðàãðàôå 1.1 ðàññìîòðåíû ñâîéñòâà ïëàíàðíîãî ïðèáëèæåíèÿ äëÿñòàíäàðòíîé ìîäåëè φ4 êàê â îáû÷íîé, òàê è â ãîëäñòîóíîâñêîé ìîäåëÿõñ ïîòåíöèàëàìè ñîîòâåòñòâåííî1gV (Φ) = ± trΦ2 + trΦ4 .(1)2N íåïðåðûâíîì ïëàíàðíîì ïðåäåëå, êîãäà N → ∞, ìîæíî çàïèñàòüäëÿ ïëîòíîñòè ðàñïðåäåëåíèÿ ñîáñòâåííûõ çíà÷åíèé ìàòðèöû íà îòðåçêå[−2a; 2a] ñëåäóþùåå óðàâíåíèåZ 2a1u(µ)± λ + 2gλ3 = − dµ,|λ| ≤ 2a.(2)2λ−µ−2a ñëó÷àå îòðèöàòåëüíîãî çíàêà, ïîìèìî ïðîñòîãî ðåøåíèÿ óðàâíåíèÿíà ïëîòíîñòü u(λ) íà îäíîì îòðåçêå, ñóùåñòâóåò ïðè íåêîòîðîì çíà÷åíèèêîíñòàíòû ñâÿçè g(ξ) ðåøåíèå íà äâóõ îòðåçêàõ [a, b] ∪ [c, d], êîòîðîåõàðàêòåðèçóåòñÿ ïàðàìåòðîìZξ=bu(λ) dλ.(3)aÎáû÷íî â ëèòåðàòóðå îáñóæäàþò, ââèäó òîãî, ÷òî ýòî ðåøåíèå ñ ìèíèìàëüíîé âàêóóìíîé ýíåðãèåé, ñèììåòðè÷íóþ ôàçó íà äâóõ îòðåçêàõ ñ1.ξ = 12 , êîòîðàÿ íà÷èíàåò ñóùåñòâîâàòü ñ gkr = 16 ïàðàãðàôå 1.2 ïðîèçâîäèòñÿ ðàññìîòðåíèå ïàðêåòíîãî ïîäõîäà äëÿíóëüìåðíûõ ìàòðè÷íûõ ìîäåëåé.

Çàìêíóòàÿ ñèñòåìà ïëàíàðíîãî óðàâíåíèÿ Øâèíãåðà-Äàéñîíà íà ïðîïàãàòîð è ïëàíàðíûõ ïàðêåòíûõ óðàâíåíèé äëÿ (1) âûãëÿäèò êàêD = ±1 + 8gD2 + 4gD4 Γ4 ,4(4)Γ4 = −4g + H + V,(5)H = −4gD2 Γ4 + V D2 Γ4 ,(6)V = −4gD2 Γ4 + HD2 Γ4 .(7)Çäåñü D ïðîïàãàòîð, Γ4 ÷åòûðåõòî÷å÷íàÿ âåðøèíà, H è V ïëàíàðíûåïàðêåòíûå èíòåãðàëüíûå ÿäðà. Çíàê - ñîîòâåòñòâóåò îïèñàíèþ ñèììåòðè÷åñêîé ôàçû íà äâóõ îòðåçêàõ ãîëäñòîóíîâñêîé ìîäåëè. Ïîêàçàíî, ÷òîïëàíàðíîå ïàðêåòíîå ïðèáëèæåíèå äîñòàòî÷íî õîðîøî ðàáîòàåò äëÿ ðåøåíèÿ ñèììåòðè÷íîãî äâóõðàçðåçíîãî ðåøåíèÿ, òî åñòü ïðîïàãàòîð ïðèìàëûõ çíà÷åíèÿõ êîíñòàíòàõ ñâÿçè îáðàòíî ïðîïîðöèîíàëåí åé.×òîáû îïèñàòü ïîëíîñòüþ íåñèììåòðè÷íûé ñëó÷àé ñ ξ = 0 èëè 1 ïðåäëàãàåòñÿ ñäåëàòü ñäâèã è ðàññìîòðåòü ìîäåëü íàä íåïåðòóðáàòèâíûì âàêóóìîì.

Îäíàêî çäåñü íàáëþäàåòñÿ ðàñõîæäåíèå óæå â ïåðâîì ïîðÿäêåïî êîíñòàíòå ñâÿçè. Ãëàâå 2 ðàçâèâàåòñÿ ìåòîä ïëàíàðíûõ ïàðêåòíûõ óðàâíåíèé äëÿìíîãîñëåäîâîé ìàòðè÷íîé ìîäåëè. ïàðàãðàôå 2.1 äàåòñÿ ïëàíàðíîå ðàññìîòðåíèå ìíîãîñëåäîâîé ìàòðè÷íîé ìîäåëè ñgh12trΦ4 + 2 (trΦ2 ) .(8)V (Φ) = trΦ2 +24NNÕîðîøî èçâåñòíî, ÷òî äîáàâëåíèå ìíîãîñëåäîâûõ ÷ëåíîâ íå ïðèâîäèòê ñóùåñòâåííûì òðóäíîñòÿì äëÿ ðåøåíèÿ ìîäåëè. ïàðàãðàôå 2.2 ñòðîèòñÿ ïëàíàðíîå ïàðêåòíîå ïðèáëèæåíèå ìîäåëè.×ëåí ìíîãîñëåäîâîãî âçàèìîäåéñòâèÿ íå ìåíÿåò âèä ïàðêåòíûõ óðàâíåíèé, à óðàâíåíèå Øâèíãåðà-Äàéñîíà ïðèìåò âèäD = 1 − 2gD2 − gD4 Γ4 − 4hD2 .(9)Ïðîâåðåíî, ÷òî ïðè ìàëûõ çíà÷åíèÿõ êîíñòàíò ñâÿçè g ïëàíàðíûé èïëàíàðíî-ïàðêåòíûé ïðîïàãàòîðû ñîâïàäàþò âïëîòü äî ïÿòîãî ïîðÿäêàðàçëîæåíèÿ.

Характеристики

Тип файла PDF

PDF-формат наиболее широко используется для просмотра любого типа файлов на любом устройстве. В него можно сохранить документ, таблицы, презентацию, текст, чертежи, вычисления, графики и всё остальное, что можно показать на экране любого устройства. Именно его лучше всего использовать для печати.

Например, если Вам нужно распечатать чертёж из автокада, Вы сохраните чертёж на флешку, но будет ли автокад в пункте печати? А если будет, то нужная версия с нужными библиотеками? Именно для этого и нужен формат PDF - в нём точно будет показано верно вне зависимости от того, в какой программе создали PDF-файл и есть ли нужная программа для его просмотра.

Список файлов диссертации