Моделирование строгих методов решения обратных двумерных задач акустического рассеяния (1103940), страница 4
Текст из файла (страница 4)
Несимметричный рефракционно-поглощающий рассеиватель(относительный контраст скорости Δc c0 изменяется в диапазоне от− 0.073 до 0.15 ; максимальный дополнительный набег фазы Δψ ≈ 0.35 π ;максимальное амплитудное поглощение в рассеивателе – в 3.7 раза; нормаданных рассеяния f ≈ 11 (3π) ):–общий вид действительной (а) и мнимой (б) частей истинногорассеивателя;– центральные сечения действительной (в) и мнимой (г) частей истинногорассеивателя v (тонкая линия) и рассеивателя v̂ , восстановленного сучетом многократных рассеяний при отсутствии шумовых помех (толстаяпунктирная линия).;– центральное сечение y = 0 (д) рассеивателя, восстановленного вприближении Борна без шумовых помех:– общий вид действительной (е) и мнимой (ж) частей рассеивателя,восстановленного по зашумленным данным со стандартным амплитуднымшумовым отклонением σ ns = 0.01 f max .Относительная среднеквадратичная погрешность оценки в присутствии шума сσ ns = 0.01 f max составляет δμ ≡∫ ν(r) − νˆ (r)R182dr∫ ν(r )R2dr ≈ 0.11 .| ψ − (r , ϕ ) |3120| ψ + (r , ϕ ) |906090 3120260215030150301101802103302401800330210300240300270270ба0.40.1Re V̂born00.2-0.1VRe V̂HelRe V̂0-0.05-128-64Im V̂born-0.206412832 x λ 0-0.3-128в-6406412832 x λ 0гРис.7.
Восстановление рефракционного рассеивателя гауссовой формы(контраст скорости Δc c0 = 0.6 ; набег фазы Δψ ≈ 1.23π ) модифицированнымалгоритмом МНР:– абсолютные значения полей | ψ − (r, ϕ) | (а) и | ψ + (r, ϕ) | (б) для точки( x = 0, y = λ 0 ) внутри рассеивателя (сплошная линия) и точки( x = 0, y = 2.5λ 0 ) вне рассеивателя (пунктирная линия) в зависимости отугла ϕ падения зондирующей волны;– центральные сечения (в) истинного рассеивателя ( v̂ – толстая сплошная линия)и рассеивателя, восстановленного из уравнения Гельмгольца на основеψ − (r, ϕ) для направления ϕ = 0 ( Re vˆHel – тонкая сплошная линия) и приусреднении по всем ракурсам ϕ ( Re v̂ – пунктирная линия) в случаезашумленных данных (стандартное отклонение σ ns = 0.03 f max );– центральное сечение рассеивателя, восстановленного в приближенииБорна (г).19Re V0.060.050.040.030.020.0105016y/λ0 0Im V0-0.005-0.01-0.015-50-50-0.025016y/λ0 0500 16x/λ0a-50бRe V0.070.060.05-50500 16x/λ0Im VReVReV0cut-0.0050.04ˆReV0.03-0.010.02-0.0150.01-0.020-60 -40 -200в20 40 60ˆImV-0.025-60 -40 -20ImVImV0г16x/λ020 40 6016x/λ0Рис.8.
Рефракционно-поглощающий рассеиватель с высокочастотнымипространственно-спектральными компонентами (дополнительный набегфазы Δψ ≈ 0.27 π ; амплитудное поглощение в рассеивателе – в 3.8 раз;норма данных f ≈ 9 3π ):– общий вид действительной (а) и мнимой (б) части истинногорассеивателя;– центральные сечения действительной (в) и мнимой (г) частей рассеивателя:истинный рассеиватель ( v – тонкая сплошная линия) и его форма послеограничения полосы частот пространственного спектра рассеивателяcut– тонкая пунктирная линия); рассеиватель,кругом радиуса 2k o ( v2koвосстановленный при отсутствии шумовых помех с учетом многократныхрассеяний ( v̂ – толстая линия).20cutЦелью раздела 3.8 ставилось исследование возможностей примененияалгоритма Новикова-Гриневича для целей медицинской диагностики.
В даннойприкладной области четко прослеживается наличие двух масштабов: крупнаянеоднородность (это различные органы или крупные области органов –жировая, железистая, мышечная ткань) и, одновременно, мелкая (“тонкая”)структура, являющаяся предметом обычного диагностического интереса.Проиллюстрировано, что алгоритм позволяет воспроизводить тонкуюструктуру рассеивателя (детали с линейным размером около одной трети длиныволны) в присутствии неизвестных контрастных крупномасштабныхнеоднородностей, создающих сильное искажение внутреннего поля.
Алгоритмобеспечивает качество разрешения тонкой структуры, не уступающее качествувосстановления этой же тонкой структуры в борновском приближении воднородной неискажающей фоновой среде (рис.9). Эта способность алгоритмавесьма полезна и перспективна при решении проблемы медицинскойультразвуковой томографии высокого качества.Полученные модельные результаты, перечисленные в разделе 3.9,говорят о перспективности практического применения алгоритма в системахакустического медицинского томографирования.В заключении сформулированы основные положения и выводыдиссертационной работы.Re V(r)Im V(r)00.030.02-0.0050.01060402016y/λ040 600-20200-40-60 -60 -40 -2016x/λ0a-0.0160402016y/λ040 600-20200-40-60 -60 -40-20 16x/λ0б21V(x, y =0)ˆ (x, y =0)Re V0.030.03ReV̂0.025λo 165.2λo 16cutReV2k0.02ReVo0.010.010ImV-0.01-120-80-40040800120-12016x/λ 0-80-40в0408012016x/λ 0гˆ (x, y =0)ImV-3x 100-2-4ImV̂-6cutImV2k-8-10-120o-80-400408012016x/λ 0дРис.9. Крупномасштабный рефракционно-поглощающий рассеиватель средней силы(контраст скорости Δc1 co = 0.1, дополнительный набег фазы Δψ ≈ 0.62 π ,полуширина по уровню 1 e d1 = 2 λ o ; амплитудное поглощение в рассеивателе –f ≈ 18 3π ) с тонкой структурой в виде центральной«впадины» (контраст скорости Δc2 co = −0.02 , полуширина d 2 = λ o 4 ) и внешнейкольцевой «стенки» (контраст скорости Δc3 co = 0.03 , полуширина d 3 = λ o 2 ):в 3 раза; норма данных– общий вид действительной (а) и мнимой (б) частей истинного рассеивателя;– центральное сечение этих частей (в);– центральные сечения действительной (г) и мнимой (д) частей рассеивателя: формаистинного рассеивателя после ограничения полосы частот его пространственногоспектра кругом радиуса 2 ko ( v2cutko – тонкая линия); рассеиватель, восстановленныйпри отсутствии шумовых помех с учетом многократных рассеяний ( v̂ – толстаяпунктирная линия).22ОСНОВНЫЕ РЕЗУЛЬТАТЫ И ВЫВОДЫ1.
Проведенное детальное исследование алгоритма Марченко-Ньютона-Роузаприменительно к обратным задачам акустического рассеяния показало, чтовнутреннее волновое поле восстанавливается этим алгоритмомнеединственным образом. Тем не менее, данный алгоритм может служить, вкачестве составной части, для повышения помехоустойчивости в алгоритмахреконструкции, обеспечивающих однозначное восстановление акустическиххарактеристик.2.
Показано, что линейная система, состоящая из модифицированныхуравнений Марченко-Ньютона-Роуза и уравнений Сохоцкого, обеспечиваетединственность восстановления внутренних полей для не слишком сильныхрассеивателей.Проиллюстрированавозможностьвосстановлениярефракционно-поглощающиххарактеристикрассеивателейэтимобобщенным алгоритмом.3.
Рассмотрен эквивалентный по результатам восстановления, но существенноболее эффективный по своей структуре, алгоритм Новикова-Гриневича вприменении к решению двумерных монохроматических задач акустическогорассеяния, основанный на использовании обобщенных данных рассеяния ихорошо приспособленный к практической реализации на вычислительныхсистемах. Впервые осуществлено численное моделирование процессавосстановления с помощью этого алгоритма рассеивателей различных типов,обусловленных неоднородностями как фазовой скорости, так и поглощения.Численно подтверждены высокие точностные характеристики алгоритма иего применимость для рассеивателей достаточно высокой силы.4. Анализ уравнений Марченко-Ньютона-Роуза привел к обнаружениюоднозначной взаимосвязи между силой точечного рассеивателя и фазойрассеянного на нем поля. Эта связь является строгим и чисто классическиманалогом результата, полученного Л.Д.Фаддеевым для δ -образныхрассеивающих потенциалов в квантовой механике.
Ее существованиеподтверждено при численном анализе аппаратной функции алгоритмаНовикова-Гриневича.5. Установлена взаимосвязь между силой рассеивателя, с одной стороны, иединственностью и устойчивостью решения обратной задачи, с другойстороны. На численных примерах проиллюстрировано, что постепенноеувеличение силы рассеивателя проявляется в повышении чувствительностирешения к различного рода помехам, к которым относятся как шумы иошибки эксперимента, так и составляющие рассеянных полей (данныхкомпонентамиврассеяния),порожденныевысокочастотнымипространственных спектрах рассеивателя и его вторичных источников.6.
Проиллюстрировано, что алгоритм Новикова-Гриневича позволяетвоспроизводить тонкую структуру рассеивателя (детали с линейнымразмером около одной трети длины волны) в присутствии неизвестныхконтрастных крупномасштабных неоднородностей, создающих сильное23искажение внутреннего поля. При этом качество разрешения тонкойструктуры не уступает качеству восстановления этой же тонкой структуры вборновском приближении в однородной неискажающей фоновой среде.7.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
