Моделирование строгих методов решения обратных двумерных задач акустического рассеяния (1103940), страница 2
Текст из файла (страница 2)
Показана практическая возможность,а также практическая реализуемость ивысокие прикладные качества функционально-аналитических методов,делающих их пригодными для применения в реальных акустическихсистемах, в первую очередь, медицинского назначения.2. Найденная в работе однозначная связь между амплитудой и фазойточечного рассеивателя позволяет по-новому поставить общий вопрос обаппаратной функции, как характеристике томографической системы, иконтроле, с ее помощью, адекватности алгоритмических систем различногоназначения.5Основные положения, выносимые на защиту:Адаптация и анализ возможности применения квантовомеханическихалгоритмов решения обратных задач рассеяния к прикладным задачамакустического томографирования различного типа.2.Основной результат проведенного рассмотрения – практическаяперспективность и целесообразность использования этих алгоритмов,дающих строгое решение обратной задачи с учетом процессовперерассеяния.3.Анализ адекватности решения обратных задач рассеяния в типовых имаксимально сложных ситуациях восстановления мелких деталейрассеивателя на фоне крупных искажающих неоднородностей.4.Наличие однозначной связи между амплитудой и фазой поля,рассеянного квазиточечной неоднородностью, как метод контроля качестварешения и адекватности возможных алгоритмов томографирования, которыемогут быть предложены в дальнейшем.1.Апробация работыРезультаты работы докладывались на X сессии РоссийскогоАкустического Общества (Москва, 2000); на 24-м (Santa Barbara, USA, 1998),25-м (Bristol, UK, 2000) и 26-м (Windsor, Canada, 2002) МеждународныхСимпозиумах «Acoustical Imaging»; на I Евразийском конгрессе помедицинской физике и инженерии “Медицинская физика – 2001” (Москва,2001); на семинаре «Динамические обратные задачи» в Санкт-Петербургскомотделении Математического института РАН им.Стеклова (2001); на научныхсеминарах кафедры акустики физического факультета МГУ.ПубликацииОсновные результаты диссертации изложены в 10 работах (из них 3 – врецензируемых журналах), список которых приводится в конце автореферата.Структура и объем диссертацииДиссертация состоит из введения, трех глав, заключения и спискацитируемой литературы, включающей 94 наименования.
Общий объем работысоставляет 198 страниц, включая 160 страниц текста и 40 рисунков.Личный вклад автора заключается в участии в разработке программыисследования решения обратной задачи рассеяния на основе функциональноаналитических методов. Все работы по математическому моделированию и поанализу полученных теоретических и прикладных результатов проведены имлично.6СОДЕРЖАНИЕ РАБОТЫВ первой главе (введении) дана общая характеристика работы, включаяактуальность темы, изложение основных целей, задач, результатовдиссертации, выносимых на защиту.Вторая глава состоит из четырех разделов и посвящена теоретическомуи численному анализу возможности практической реализации метода решенияобратной задачи рассеяния путем восстановления поля внутри рассеивающейнеоднородности.В разделе 2.1 проведено детальное исследование алгоритма МарченкоНьютона-Роуза (МНР), первоначально предназначавшегося его авторами длярешения обратной задачи квантово-механического рассеяния и обобщенного вдиссертации применительно к обратным задачам акустического рассеяния.
Воснове метода лежит интегральное уравнение, связывающее значениявнутреннего поля с экспериментальными данными рассеяния. Предполагаласьвозможность восстановления волнового поля внутри искомого рассеивателя излинейной системы уравнений без параллельного оценивания неизвестнойфункции рассеивателя.Имеется ограниченная область R с неоднородной фазовой скоростьюзвука c(r ) = { c(r ), r ∈ R ; c0 , r ∉ R } :Приемники(или источники)z ∈ ΩzИсточники(или приемники)Ry ∈ Ωyz>yОбласть рассеянияГеометрия задачи.Запаздывающая и опережающая функции Грина неоднородной среды ( G + иG − ) подчиняются уравнениям Гельмгольца с δ -образной правой частью:ω2+Δ r G (ω, r, y ) + 2 G + (ω, r, y ) = δ(r − y ), y ∈ Ω y(1)c (r )ω2−Δ r G (ω, r, x) + 2 G − (ω, r, x) = δ(r − x), x ∈ R .(2)c (r )Следствием соотношений (1) и (2) является уравнение МНР для полного поля вчастотном представлении [1]:7⎧ ∂G + (ω, z, y ) −∂G − (ω, z, x) ⎫+G (ω, y , x) − G (ω, x, y ) = ∫ dσ z ⎨⋅ G (ω, z, x) − G (ω, z, y ) ⋅⎬.nn∂∂zz⎩⎭Ωz−+Тогда во временном представлении для рассеянных полей g ± ≡ G ± − G0± ( G0± –падающее поле) при δ(t ) -образном внешнем воздействии, формирующемзондирующий сигнал, это уравнение имеет вид:g m (t , y , x) − g ± (t , x, y ) −+∞⎧ ∂G ± (τ, z, y ) m∂g m (t − τ, z, x) ⎫±− ∫ dτ ∫ dσ z ⎨⋅ g (t − τ, z, x) −G (τ, z, y ) ⋅⎬=∂∂nnzz⎩⎭−∞Ωz+∞⎧ ∂g ± (τ, z, y ) m∂G0m (t − τ, z, x) ⎫±= ∫ dτ ∫ dσ z ⎨⋅ G0 (t − τ, z, x) − g (τ, z, y ) ⋅⎬∂∂nnzz⎩⎭−∞ Ω zДополнительно используется причинная связь:g + (t , r ′, r ′′) = 0 при ∀ t < τ + ≡r ′ − r ′′r ′ − r ′′; g − (t , r ′, r ′′) = 0 при ∀ t > τ − ≡.max c(r )max c(r )rrВ диссертации разработана модификация алгоритма МНР, допускающаялюбой спектр облучающего поля.Раздел 2.2 посвящен обсуждению полученных впервые результатовчисленного моделирования алгоритма МНР, важное преимущество которого –линейность относительно неизвестных полей внутри рассеивателя.Проиллюстрировано, что даже во временнόм представлении решение обладаетнеединственностью: полученные оценки полей, отличные от заданных, такжеявляются решениями (рис.1).В разделе 2.3 исследуются причины неединственности решения ипредпринимается попытка ее устранения путем использования дополнительныхуравнений связи типа Липпмана-Швингера (которые нелокальны инеоднородны) при сохранении линейности решаемой задачи.В разделе 2.4 подводятся итоги главы 2.
В связи с неединственностьюрешения, алгоритм МНР не является самостоятельным методом восстановленияакустических характеристик рассеивающих объектов. Он может служить вкачестве составной части для повышения помехоустойчивости в другихалгоритмах, обеспечивающих однозначное восстановление акустическиххарактеристик.
Для обеспечения единственности решения, в алгоритм МНРнужно добавить дополнительное ограничивающее условие, не вытекающее изанализа физических волновых процессов.80.50.50.40.40.30.30.20.20.10.10-4 -3 -2-10 1t, мс230-4 -3 -24-10 1t, мса234б0.40.50.20.400.30.2-0.20.1-0.40-4 -3 -2-10 1t, мс234-0.4 -0.2в00.2 0.4гРис.1. Абсолютные значения истинного рассеянного поля (сплошнаялиния) и восстановленного поля (линия с точками) для цилиндрическогорассеивателя радиуса 0.75 λ 0 с относительной скоростью c1 c0 = 1.1 .Точка восстановления x1 = (0.5 λ 0 , 0) находится внутри цилиндра; угловоеположение излучателя составляет ϕ y = 0 (а), π 2 (б), π (в). Абсолютныезначения истинного поля (сплошная тонкая линия) и восстановленногополя (сплошная толстая линия) в зависимости от углового положенияточки излучения (г).9Третья глава состоит из девяти разделов.
Она посвящена анализу имодельной реализации строгих двумерных функционально-аналитическихалгоритмов решения обратной задачи рассеяния: модифицированномуалгоритму МНР и алгоритму Новикова-Гриневича [2–6].В разделе 3.1 излагается формализм комплексных волновых векторов вприменении к решению обратных задач рассеяния в монохроматическомрежиме.Скалярная обратная задача рассеяния предполагает восстановлениескалярной функции рассеивателя v(r ) = k02 − k 2 (r ) − i 2ωα(r, ω) c(r ) , гдеk 0 = ω c0 и c0 – волновое число и фазовая скорость в однороднойнепоглощающей фоновой среде; k (r ) = ω c(r ) и c(r ) – в присутствиерассеивателя; α(r, ω) – амплитудный коэффициент поглощения.
Временнáязависимость далее полагается ~ exp(−iωt ) . Экспериментальными даннымирассеяния является амплитуда рассеяния f (k , l ) ≡ f (ϕ, ϕ′) плоских волн длявсех направлений падения k = {k0 , ϕ} и рассеяния l = {k0 , ϕ′} .Ключевой момент функционально-аналитических методов – этоформальное распространение волновых векторов в область комплексныхзначений путем введения мнимых частей k I и l I волновых векторов,удовлетворяющих условиям:(k = k R + ik I ,l = l R + i l I , k R ⊥k I ,)k 2 = k 02 ;k R , k I ∈ IR n .С физической точки зрения этот прием означает переход от плоскиходнородных волн к волнам неоднородным. В двумерной задаче существуютлишь две ортогональные ориентации ненулевой мнимой части волновоговектора относительно его действительной части (рис.2).kRk +Ik −IРис.2.
Левосторонняя и правосторонняя ортогональные ориентации векторамнимой части относительно вектора действительной части (в двумерномслучае).Переход к комплексным волновым векторам предполагает обобщениефункций, зависящих от волновых векторов, на случай комплексных аргументов.Так, обобщенное волновое поле ψ = ψ (r , k ) подчиняется уравнению:10I n,Δψ (r, k ) + k 2 ψ (r, k ) = ν(r ) ψ (r, k ) ; k ∈Ck 2 = k02 .При этом используется прием снятия несущей волны с падающего поля, чтоаналогично снятию несущей частоты при временной обработке:μ(r, k ) ≡ exp(−ikr) ψ (r, k ) . Поле μ(r, k ) подчиняется уравнению типаμ(r, k ) = 1 +Липпмана-Швингера:∫ Gμ (r − r′, k ) ⋅ μ(r′, k ) ⋅ ν(r′) dr′ ,r ′∈IR nгде Gμ (r, k ) – функция Грина, введенная Л.Д.Фаддеевым; n – размерностьпространства.
Классические значения G0± (r, k = k R ) функций Грина получаютсякак предельные значения при k I → 0 , если k R и k I либо сонаправлены( k I ↑↑ k R ), либо направлены противоположно ( k I ↑↓ k R ).В разделе 3.2 уравнения типа МНР рассматриваются в терминахобобщенных вторичных источников и данных рассеяния, а также исследуетсяроль соотношения Сохоцкого для обеспечения единственности решениямодифицированного алгоритма МНР.Процедура восстановления характеристик двумерного рассеивателя имеетнесколько этапов:Этап 1: расчет обобщенной амплитуды рассеяния h ± (k , l) ≡ h ± (ϕ, ϕ′) (приk I = k ±I → 0 ) из экспериментальных данных:2πh (ϕ, ϕ′) − πi ∫ h ± (ϕ, ϕ′′) ⋅ θ[± sin(ϕ′′ − ϕ)]⋅ f (ϕ′′, ϕ′) dϕ′′ = f (ϕ, ϕ′) .±(3)0Уравнение (3), линейное относительно неизвестной функции h ± , учитываетперерассеяния волн на неоднородности среды, что придает нелинейныйхарактер уравнению относительно экспериментальных данных f (ϕ, ϕ′) .Этап 2:из h ± (ϕ, ϕ′) вычисляется функция ρ(k , l ) ≡ ρ(ϕ, ϕ′) – ядро винтегральном уравнении связи предельных значений ψ ± (r, ϕ) волновойфункции ψ (r, k ) , т.е.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
