Моделирование строгих методов решения обратных двумерных задач акустического рассеяния (1103940), страница 3
Текст из файла (страница 3)
в ρ -соотношении (это модифицированное уравнениеМНР):2πψ (r, ϕ) − ψ (r, ϕ) = ∫ ρ(ϕ, ϕ′) ⋅ ψ − (r, ϕ′) dϕ′ .+−(4)0Здесь2πρ(ϕ, ϕ′) + πi ∫ ρ(ϕ, ϕ′′) f1 (ϕ′′, ϕ′) θ[sin(ϕ′ − ϕ′′)]dϕ′′ = −πif1 (ϕ, ϕ′) ,011(5)гдеf1 (ϕ, ϕ′) = θ[− sin(ϕ′ − ϕ)]h + (ϕ, ϕ′) − θ[sin(ϕ′ − ϕ)]h − (ϕ, ϕ′) .В классическом случае роль ψ ± играют запаздывающая и опережающаяволновые функции u ± : u + (r, k ) − u − (r, k ) = −2πi ∫ f + (k , l ) δ(k 2 − l 2 ) u − (r, l ) dl .l∈IR nI 2 ) характеризует связь междуСоотношение Сохоцкого ( k = {k x , k y } ∈Cполем μ(r, k ) ≡ μ(r, ϕ) и его предельными значениями μ ± :1 2 π {μ + (r, ϕ′′) − μ − (r, ϕ′′)} exp(iϕ′′)μ(r, k ) = 1 +dϕ′′ .(6)k x + ik y2π ∫0exp(iϕ′′) −k0Тогда линейная система, состоящая из модифицированных уравнений МНР (4)и одного из уравнений Сохоцкого (6), рассматриваемого для μ → μ ± (приk I = k ±I → 0 ), обеспечивает единственность восстановления внутренних полей.Преимущества данного модифицированного алгоритма МНР таковы:а) сохраняется свойство линейности относительно неизвестных полей μ ± илиих угловых гармоник; б) эта система не требует знания “нефизических” данныхрассеяния;в) система однозначно разрешима, что обеспечиваетсянеоднородностью уравнений Сохоцкого и тем обстоятельством, что уравненияСохоцкого из всех возможных решений, удовлетворяющих уравнениям МНР,выделяют только те решения, которые обладают требуемым свойствоманалитичности.На заключительном этапе модифицированный алгоритм МНРпредполагает восстановление функции рассеивателя из уравнения ЛиппманаШвингера или уравнения Гельмгольца:Δψ ± (r, ϕ)2ν(r ) = k0 + ±.ψ (r, ϕ)Более изящный путь – алгоритмическое объединение всех ракурсов поляпри нахождении рассеивателя – реализуется в алгоритме Новикова-Гриневича,описанию и обсуждению характерных особенностей которого посвященраздел 3.3.
Этапы 1 и 2 этого алгоритма не изменяются.Этап 3. Оцененные ρ(k , l ) позволяют найти значения разностного поляK (r, ϕ) ≡ μ + (r, ϕ) − μ − (r, ϕ) :2πK (r, ϕ) = ∫ ρ(ϕ, ϕ′) exp (ik 0 {x(cos ϕ′ − cos ϕ) + y (sin ϕ′ − sin ϕ)}) ×02π⎡1K (r, ϕ′′) exp(iϕ′′)dϕ′′ ⎤× ⎢1 +⎥ dϕ′.∫′′′2exp(i)(10)exp(i)πϕ−+ϕ0⎦⎥⎣⎢12(7)Выражение (1+0) в (7) означает присутствие бесконечно малой положительнойдобавки к единице.Этап 4.
Поле K (r, ϕ) связано линейно с искомой функцией рассеивателя:k ⎛ ∂∂⎞v(r ) = − 0 ⎜⎜ i + ⎟⎟2π ⎝ ∂x ∂y ⎠2π∫ K (r, ϕ)exp(iϕ) dϕ ; r = {x, y} ; k = {k0 , ϕ} .(8)0Показывается, что “линеаризация” задачи достигается благодаря свойствамсимметрии предельных значений обобщенных функций Грина-Фаддеева±Gμ (r, k ) относительно направления вектора k ∈ IR 2 , и интегрированию по всемуглам падения плоской волны ϕ . Кроме того, пространственный спектрклассическихвторичныхисточниковT (ξ, k ) ≡ ∫ F + (r, k ) exp(−iξk ) drF + (r, k ) ≡ v(r ) ⋅ u + (r, k ) должен быть локализован внутри круга радиуса 2k 0(рис.3):T (ξ, k ) = 0 при ξ − k ≥ 2k0 .(9)ξ2Ok0k0kξ1mST (ξ, k )mSРис.3. m -кратное расширение спектра T по сравнению со спектром v~ даетT (ξ, k ) ≈ 0 при ξ − k ≥ mS , так как v~ (ξ ) ≈ 0 при ξ ≥ S .
Рассеяние назадне появляется, если mS < 2k 0 .Характерные особенности алгоритма Новикова-Гриневича:1. Учитываются эффекты многократного рассеяния волн, однако алгоритмостается линейным относительно искомой функции рассеивателя.2. Ограничение в виде отсутствия рассеяния назад – это требование наустойчивость решения двумерной монохроматической задачи рассеяния.133. Для медицинских приложений диапазон приемлемых, с этой точки зрения,частот лежит в пределах от десятков кГц до нескольких МГц.4. Функция рассеивателя может быть найдена в любой фиксированной точкепространства независимо от ее значений в остальных точках, что удобно дляприменения в практических приложениях.
Это уникальное свойствоалгоритма.5. Существенная экономия вычислительных затрат по сравнению страдиционными итерационными методами. Для восстановления функциирассеивателя во всей области рассеяния требуется порядка N 4 операций, гдеN – количество направлений приема рассеянного поля для каждого из Nнаправлений зондирования.Возможно обобщение алгоритма на случай неоднородной фоновой среды.Недостатки метода:1. Не допускает простого обобщения на трехмерное пространство.2. Прямое обобщение алгоритма на импульсный режим зондирования приводитк существенному возрастанию количества вычислительных операций.В разделе 3.4 исследуется связь между амплитудой и фазой поля,рассеянного на точечной неоднородности.
Это исследование связано с тем , чтовопрос о виде аппаратной функции алгоритма Новикова-Гриневича болеесложен в связи с нелинейностью процедуры обработки относительноэкспериментальных данных. С другой стороны, анализ уравнений МНР привелк обнаружению однозначной взаимосвязи между силой точечного рассеивателяи фазой рассеянного на нем поля. Эта связь является строгим и чистоклассическим аналогом результата, полученного Л.Д.Фаддеевым для δ образных рассеивающих потенциалов в квантовой механике [7].
Еесуществование подтверждено при численном анализе аппаратной функцииалгоритма Новикова-Гриневича.Пусть имеется рассеиватель с исчезающе малыми размерами:vδ (r ) ~ δ(r − x 0 ) . Тогда оказывается, что процессы перерассеяния на нем могутбытьописаныввидеvδ (r ) u (r, k ) = β δ(r − x 0 ) u0 (r, k ) ,гдеu0 ≡ u0±–классическое падающее поле, u ≡ u ± – полное поле. Найдена связь междуамплитудой β и фазой φ коэффициента рассеяния β ≡ β exp(iφ) , имеющая вдвумерном случае вид:β = −4 sin φ ,2или β + 4 Im(β) = 0 .Справедливость этой связи подтверждена результатами численногомоделирования (рис.4а). Проиллюстрировано также, что точечный рассеивательобязательно создает эффекты перерассеяния собственного ближнего поля, иникогда не становится слабым рассеивателем (рис.4б).
Одновременно выяснено,что потеря устойчивости решения в алгоритме Новикова-Гриневича наступает,14если обратная обусловленность системы (7),внутреннего поля, ухудшается до ≅ 10 −5 (рис.5).решаемойотносительно0.050.200.1-0.10-0.05-60 -40 -200-0.2-60 -40 -2020 40 60032 x λ 020 40 6032 x λ 0абРис.4.
Сильный точечный рассеиватель ( β = 3.9 , φ = −77.160 ): результатвосстановления с учетом многократных рассеяний (а) и в приближенииБорна (б).0.050.300.2-0.10.10-60 -40 -200-0.2-60 -40 -2020 40 60032 x λ 020 40 6032 x λ 0абРис.5. Сильный точечный рассеиватель ( β = 3.999999 ,φ = −89.960 ),иллюстрирующий границы работоспособности алгоритма Новикова-Гриневича:результат восстановления с учетом многократных рассеяний (а) и вприближении Борна (б).15В разделе 3.5 приводятся результаты численного восстановлениярассеивателей и волновых полей алгоритмом Новикова-Гриневича имодифицированным алгоритмом МНР.
Иллюстрируется эквивалентностьконечной оценки рассеивателя, получаемой каждым из подходов прииспользовании всех ракурсов зондирования, и, одновременно, удобствопоследнего этапа алгоритма Новикова-Гриневича.Моделирование процесса восстановления рассеивателей различных типов,обусловленных неоднородностями как фазовой скорости, так и поглощения, спомощью алгоритма Новикова-Гриневича осуществлено впервые (п.3.5.1).Численно подтверждены высокие точностные характеристики алгоритма. Аименно, при отсутствии шумовых помех восстановленная функциярассеивателя практически совпадает с эталонной (рис.6), если объемдискретизованных данных рассеяния превышает минимально необходимыйобъем, а пространственный спектр вторичных источников практически невыходит за круг радиуса 2k 0 , т.е.
выполняется условие (9). Показано, чтоограничение на норму данных рассеяния f (ϕ, ϕ′) ≡2π2π00∫ dϕ ∫ dϕ′2f (ϕ, ϕ′) <1,3πоговариваемое авторами алгоритма, носит сильно мажорантный характер.Реальные возможности алгоритма гораздо выше, а критическое значение f покрайней мере на порядок больше.При восстановлении модифицированным алгоритмом МНР (п.3.5.2)проиллюстрировано, что линейная система, состоящая из модифицированныхуравнений МНР и уравнений Сохоцкого, обеспечивает единственностьвосстановления внутренних полей (рис.7).В разделе 3.6 на основе моделирования данных рассеяния для сильныхT -матрицырассеивателейизсоотношенияунитарностидляпроиллюстрировано, что постепенное увеличение силы рассеивателяпроявляется в монотонном ухудшении обусловленности систем уравнений,приводящих к решению задачи, т.е.
в повышении чувствительности решения кразличного рода помехам. Помехи имеют двоякую природу. Во-первых, этошумы эксперимента, влияние которых может быть, в принципе, уменьшено кактехническими средствами, так и избыточностью (типа многочастотности)данных рассеяния. Во-вторых, как показано в разделе 3.7, это составляющиерассеянных полей (данных рассеяния), порожденные высокочастотнымикомпонентами в пространственных спектрах рассеивателя и его вторичныхисточников. В случае присутствия этих компонент, уменьшение их влияния накачество восстановления в рамках монохроматической задачи невозможно(рис.8). В итоге ошибки восстановления определяются общим уровнем помехобоих типов.16Re V(r)0.150.10.050-0.05-0.140Im V(r)0-0.02-0.04208y/λ 00-20-40 -400-2020-0.06-0.084040208y/λ 08x/λ 00-20-40 -40a200-20408x/λ 0бˆ (x, y =0)ImVˆ (x, y =0)ReV00.15ReV0.1-0.02ReV̂0.05ImV-0.040-0.06-0.05-0.1-60-40-2002040-0.08-6060ImV̂-40-200вгˆV(x, y=0)bor n0.02Re V̂born0-0.02-0.04Im V̂born-0.06-4040608x/λ 08x/λ 0-6020-2002040608x/ λ0д17Re V̂ (r )0.150.10.050-0.05-0.140208y/λ 00Im V̂ (r )-20-40 -40-20020400-0.02-0.04-0.06-0.0840208y/λ 08x/λ 00-20-40 -40е-20020408x/λ 0жРис.6.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
