Автореферат (1103742), страница 4
Текст из файла (страница 4)
Эти выражения представляют не только фундаментальный интерес, но и могут играть важную роль в генерации оптических солитонов врезонаторах с модами шепчущей галереи с нормальной дисперсией групповой скорости [22].Для стабилизации диодного лазера с помощью резонатора с модами шепчущей галереииспользуется стандартная схема: лазер, РШГ и элемент связи с ним. Стабилизация диодноголазера с помощью РШГ описывается системой четырех уравнений [23]: уравнение медленноменяющейся амплитуды (ММА) для моды лазера, 2 уравнения ММА для прямой и обратноймод резонатора, связанных друг с другом за счет Релеевского рассеяния, и также уравнениедля концентрации носителей среды лазера. Данная модель учитывает множество эффектов,в частности, динамику инверсной населенности среды лазера, но при этом не является тривиальной и достаточно ресурсоемкая для численного анализа ее динамики.
В работе система17лазер-резонатор описывается более просто, с использованием меньшего количества параметров лазера. За счет более простого описания получено аналитическое выражение для шириныполосы затягивания, которое в дальнейшем может использоваться для оценки параметровсхем генерации оптических гребенок на РШГ.Для описания воздействия обратной волны резонатора на лазер используется полученноев работе [24] выражение для отраженной волны, зависящее только от параметров падающегона резонатор излучения, параметров резонатора и коэффициента связи прямой и обратноймоды β̃.
Рассеяние в обратную моду определяется многими факторами, в частности оно может быть вызвано рэлеевским рассеянием, шероховатостями поверхности [24], наличием диэлектрических тел вблизи поверхности резонатора [25]. Комплексная амплитуда отраженногоизлучения как функция частоты и падающей амплитуды поля определяется как:Br = −Ãi2δc β(δ0 + δc )2 + β 2 − ∆ω 2 + i2∆ω(δ0 + δc )(31)где à - амплитуда, δω = ω̃ − ωr , ωr – собственная частота резонатора с модами шепчущейгалереи, Ω̃ - генерируемая стабилизированным лазером частота, delta0 и δc – собственныйдекремент затухания резонатора и декремент затухания за счет потерь на связь.0.8=̀0 =̀c0.6̀=2̀0 =2̀c̀=3̀0 =3̀c0.4̀=4̀0 =4̀c0.2-10̀=6̀0 =6̀c-5510Рис. 5: Зависимость амплитуды отраженного поля от частотыПри описании процессов в лазере пренебрегается сложной зависимостью показателя преломления и усиления среды лазера, предполагая их зависящими только от интенсивностиполя, и изменением амплитуды поля за время прохождения до резонатора и обратно в лазер.Укороченное уравнение амплитуды поля лазера:dà + i∆ωl (Ã) + δl − G(Ã) à = iT̃ Br e−iΩ̃τd ‘dt(32)G(Ã) = G0 (1 − g Ã2 )(33)ωl (Ã) = ωl0 (1 − hÃ2 )(34)∆ωl (Ã) = Ω̃ − ωl (Ã)(35)где g и h - коэффициент нелинейности усиления среды и нелинейности частоты в зависимости18от амплитуды поля, G0 и ω_l0 коэффициент усиления среды и собственная частота холодноголазера, ω̃- генерируемая частота и δl - потери в резонаторе лазера.
Перейдем к безразмернымвеличинам:A=τ = δ0 tΩ̃ − ωl0δ0G0 − δ˜lδ0ωl0 hgδ0ωr − ωl0δ0δ˜cδ0β̃δ0T̃δ0G0δ0= Ω,=G= αi ,= ∆ω√g Ã= δc=β= T,= αrИз полученной системы уравнений для действительной и мнимой частей уравнения (32) выражается безразмерная амплитуда поля лазера A от безразмерной генерируемой частоты ω,что позволяет получить уравнение для генерируемой частоты F (∆ω , Ω) = 0. Характерныйвид решений уравнения с затягиванием можно увидеть на рисунке (6). Стабильностью часто̀10050̀=-0.16̀̀=-0.01̀-100-5050100̀̀̀=0.07̀-50-100Рис. 6: Зависимость генерируемой Ω частоты от отстройки с затягиванием ∆ω от φ при κ =δ0 /(3 109 ), G0 = 4 1010 c−1 , δ˜l = 3.9 1010 рад/c, δc = δ0 , g = 10−2 м/В, h = 10−8 м/В, β̃ =106 рад/c, T̃ = 1012 рад/c, ωl0 = 3.14 1015 рад/cты будем называть отношение изменения генерируемой стабилизированным лазером частотык изменению собственной частоты резонатора лазера, то есть производную ω̃ по ωl .
Выражение для стабильности легко получить аналитически для случая ∆ω = 0 в приближении, чтоΩ|( ∆ω = 0) = 0. Зависимость величины стабильности отражена на (7).Чтобы найти ширину полосы затягивания будем искать решение уравнения F (∆ω , Ω) = 0√в виде ∆ω = C1 + C2 / Ω + C3 − Ω, где C1 , C2 , C3 - константы. Это позволяет получить19S 00.3̀0 =̀c =2*18̀ =̀ =1*1800̀0 =̀c =0.5*180-3.0-2.5-2.0-1.5-1.0-0.50.0cl ̀d ̀ rQrРис.
7: Зависимость стабильности от κ при G0 = 4 1010 c−1 , δ˜l = 3.9 1010 рад/c, δc = δ0 ,g = 10−2 м/В, h = 10−8 м/В, β̃ = 106 рад/c, T̃ = 1012 рад/c, ωl0 = 3.14 1015 рад/c, φ = 0полуширину линии затягивания:∆lock = 3 22/3s3 GκαiGκαi+ αi /αr cos φ −βT δc sin φ −αrαr(36)Для проверки устойчивости решений предположим, что A = A0 + αeλτ , где A0 стационарное решение для амплитуды поля, α – её бесконечно малое приращение, а λ показываетдинамику изменения возмущения. Области устойчивости определяются уравнением:λ = 2A20 (αr cos(κΩ + φ) − αi sin(κΩ + φ))(37)и при этом, чтобы решение было устойчивым, λ должна быть меньше нуля. Устойчивостьрешения для данной модели, в первую очередь, зависит от набега фаз τd между лазером ирезонатором.
Параметры лазера αr и αi фиксированы для данного лазера, набег же фаз легковарьируется в эксперименте. В зависимости от набега фаз существуют области, в которыхрешение безусловно устойчиво или безусловно неустойчиво.Области устойчивых решений с затягиванием и стабилизацией в зависимости от набегафаз при различных значениях αi показаны на (8).В ходе рассмотрения модели показано, что несмотря на ее простоту, модель являетсянепротиворечивой и в ней реализуются все особенности, наблюдаемые в эксперименте: наличие стабилизации и затягивания частоты лазера на моду резонатора. Также было показано, что все аналитически полученные величины согласуются со значениями, полученными спомощью численного расчета.Эти результаты опубликованы в [A6].20ЀЀЀ.
ЀЀ.21ЀЀЀЀЀЀ ЀЀЀЀЀЀ ЀЀЀЀЀЀЀЀЀЀЀ123456̀ЀЀЀЀЀЀЀЀЀЀЀЀ̀-1-2Рис. 8: Рассчитанные величины в относительных единицах от набега фаз при G0 = 4 1010 c−1 ,δ˜l = 3.9 1010 рад/c, δc = δ0 , g = 10−2 м/В, h = 10−7 м/В, β̃ = 106 рад/c, T̃ = 1012 рад/c,ωl0 = 3.14 1015 рад/c, φ = 014Основные результаты работы1.
Для собственных частот сфероидов, тороидов и квартик с модами шепчущей галереи спомощью метода Эйнштейна-Бриллюэна-Келлера был получено уточнение разложениясобственных частот по азимутальному индексу моды, позволяющее получить увеличение точности приближения около порядка, а также получены выражения для дисперсиигрупповой скорости продольных и поперечных мод, согласующиеся с численными расчетами. Было показано, что для собственных частот фундаментальных мод можно получить равномерную аппроксимацию ошибки, улучшающую точность еще на порядок.Для сфероида было получено выражение для распределения оптического поля внутрии снаружи резонатора.2.
С помощью приближенного решения характеристического уравнения и применения адиабатического инварианта удалось получить аналитические выражения для сдвигов собственных частот TM и TE мод шепчущей галереи при наличии тонкого слоя диэлектрика на поверхности сферического резонатора. Приближения совпали с результатами,полученными ранее ранее с помощью приближенного решения уравнения Гельмгольца,подтвердив их корректность.
Получены выражения для добротности резонатора приналичии поглощения в тонком слое.3. Для связи сфероидальных резонаторов с призмой получены угловые спектры распространения света в призме и показано, что они отличаются от случая сферы из-за характера распределения поля в резонаторе. Для случая сфероида было получено выражениедля оптимального сжатия резонатора и показано, что подбор правильной формы можетувеличить величину связи на несколько процентов. Было показано, что с увеличением21сжатия резонатора добротность нагружения падает.
Было получено приближение длявеличины добротности потерь в материале призмы с поглощением.4. Для упрощенной модели стабилизации лазера с нелинейностью среды, пропорциональной интенсивности излучения, резонатором с модами шепчущей галереи, при наличиив нем рэлеевского рассеяния, была показана возможность стабилизации и затягивания.Показано, что в такой модели существуют устойчивые режимы с затягиванием частоты лазера на резонатор, что соответствует экспериментальным данным. Аналитическиевыражения для стабильности и полосы затягивания, полученные для данной модели,согласуются с численными расчетами.Список литературы[1] P. Del’Haye, T.
Herr, E. Gavartin, M.L. Gorodetsky, R. Holzwarth, and T.J. Kippenberg.Octave spanning tunable frequency comb from a microresonator. Physical Review Letters,107:063901, 2011.[2] M. Sumetsky. Whispering-gallery bottle microcavities: the three-dimensional etalon. OpticsLetters, 29:8–10, 2004.[3] V. S. Ilchenko, M. L. Gorodetsky, X. S. Yao, and L. Maleki.Microtorus: a high-finessemicrocavity with whispering-gallery modes. Optics Letters, 26:256–258, 2001.[4] J.B. Keller and S.I.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
