Модельная система полярона в магнитном поле (1103735), страница 2
Текст из файла (страница 2)
> есть обычное скалярное произведение в евклидовом пространствеẼ 3 .С помощью унитарного преобразованияU := exp(iP(f )< f, r > 1 b+f bf )N(12)гамильтониан (11) может быть приведен к следующему виду:Ĥp =+1 P1Λ2(f )N1(p̂ 12m12−1NP+2(f ) h̄f bf bf )Lf ( 2ωh̄f ) 1 (bf + b+−f ),N+PN +b b(f ) h̄ωf 1ff+(13)Далее, используя нормальное произведение операторов, из последнеговыражения получено11Ĥp =+1 P1Λ2N1(p̂ 12m(f )−1NP12+2(f ) h̄f bf bf )+N +b bP(f ) h̄ωf 1ff+Lf ( 2ωh̄f ) 1 (bf + b+−f ) =NP1 2N1 2N +p̂ 1 − (f ) 2mp̂f bf bf +2m2PN(p̂ −h̄f )1 P+ (f ) [ f 2m + h̄ωf 1] b+f bf − 2m (f,g) (<=++ < p̂g , h̄f >) b+f bg bg bf +N+11Λ2P1(f )1 P2m (f,g)p̂f , h̄g > ++< h̄f, h̄g > 1 b+f bg bg bf +NLf ( 2ωh̄f ) 2 1 (bf + b+−f ),N(14)1 PЗдесь операторный член, ν̂p(1) :=2m(f,g) (<p̂f , h̄g) > +++ < p̂g , h̄f > + < h̄f, h̄g > 1) b+f bg bg bf ,Nбудучи представлен в нормально упорядоченной вторично квантованнойформе, приводит в N-частичном инвариантном фоковском подпространствек следующему выражению для двухчастичного оператора:(1)ν̂N =1 PN(12m k6=j=1 NNN< p̂(yj ) Π̂(yk ) + p̂(yk ) Π̂(yj ) > ++ < Π̂(yk ), Π̂(yj ) >,(15)действующего в гильбертовом пространстве L2 (Λ; C̃) L2 , sym(ΛN ; C̃),Nгде с помощью Π̂(yj ), y∈Λ мы обозначили соответствующий модифицированныйоператор импульса деформаций в кристалле, а p̂(y), y∈Λ, - однороднораспределенный импульс полярона.Теперь принимая во внимание известное приближение случайных фаз(ПСФ) для двухчастичных фононных возбуждений в кристалле, получено,что выражение (15) приравнивается нулю, поскольку0=PN1k6=j=1 N (<PNk6=j=1< Π̂(yk ), Π̂(yj ) >=p̂(yj ) Π̂(yk ) + p̂(yk ) Π̂(yk ) > слабо в L2,sym (ΛN ; C̃), вследствиеNNстабильности деформаций в кристалле, вызванных воздействием полярона.Поскольку нас интересуют статистические свойства нашей модели полярона,то рассмотренное выше приближение случайных фаз хорошо подходитдля этой цели вследствие того, что соответствующая статистическая12сумма вычисляется как среднее значение статистического оператора повсем собственным состояниям гамильтониана (14).
Поэтому в приближениислучайных фаз мы можем рассматривать гамильтониан модели поляронав следующей редуцированной форме:1 2Np̂ (12mĤp(0) =P+N +b b(f ) h̄ωf 1ff+−1− N̂ ) +1 P(p̂2m (f ) f− h̄f )2 b+f bf +N+h̄ 1 N(f ) Lf ( 2ωf ) 2 1 (bf +b−f ).1P1Λ2(16)Более того, мы рассматриваем эту модель еще и во внешнем магнитномполе:~ = rotA.~BВ этом случае гамильтониан (16) принимает вид:−1NPN2(µ)211(p̂(µ) + p̂2z ) (1 − N̂ ) − (f ) 2m(p̂f + p̂2fz ) b+f bf +2m(µ)1 P¯ 2 Nb+ bf + 1 P(f ) (p̂fz − h̄fz )2 Nb+ bf ++ 2m(f ) (p̂f − h̄f )ffz2mĤp(µ) =P+N +b b(f ) h̄ωf 1ff+11Λ2P1Lf ( 2ωh̄f ) 2 1 (bf + b+−f ),(f )N(17)(µ)где, по определению, p̂f = (p̂fx , p̂fy + mωc x)T , f¯ = (fx , fy )T , относятсяк квадратичной части фононных операторов.Далее операторным методом изучается термодинамика модели поляронав ПСФ путем вычисления статистической суммыZp(0) = Spexp(−β Ĥp(0) ),(18)В итоге получены выражения статсуммы для модели полярона в ПСФкак в отсутствии, так и в присутствии магнитного поля.При наличии магнитного поля получаем:2βZp(µ) = exp[− 2m(p̂(µ) + p̂2z )]exp{P(f )(µ)22β(p̂+p̂z )(Nf ∈Z̃+ ) exp[ 2m[Ñ +c2 (p̂(µ) ,kz ;Ñ )] −PfffL2f−βh̄Nf ω̄f (p̂(µ) , pˆz ; Nf ) − β 2Λω̄f (p̂(µ) ,p̂z ;Nf )ω ]} =f2β(p̂(µ) + p̂2z ) −= exp{− 2mгде ω̄f (p̂(µ) , kz ; β) = ωf +(µ), pˆz ; β)},(f ) Ff (p̂P(µ)1( p̂2m [h̄(Nf +c2f )]13− f¯)2 +(19)1(k2m z− fz )2 .Показано, что описание поляронной системы с помощью каноническогопреобразования Боголюбова (12) дает возможность непосредственно вычислитьмассу полярона в магнитном поле нашей ПСФ модели как при нулевой,так и ненулевой температуре.В третьей главе рассматриваются динамические системы, взаимодействующиес бозонным полем с модельным гамильтонианом (польной системы) следующеговида:Ht = H(t, S, Σ) = Γ(t, S) +P(k) [Ck (t, S)bk+ Ck+ (t, S)b+k ] + H(Σ).(20)Здесь Γ(t, S) - собственный гамильтониан системы S, H(Σ) описываетэнергию свободного бозонного поля, а второй член - гамильтониан взаимодействия.Уравнение движения для динамической переменной f (St ) имеет вид:(St )= [f (St ), Γ(t, St )] +ih̄ ∂f∂tP(k) bk (t)[f (St ), Ck (t, St )]+++(k) bk (t)[f (St ), Ck (t, St )]P+(21)Обозначим через Dt0 статистический оператор Dt системы (S, Σ) вмомент времени t0 , причём справедливо соотношение вида:Dt0 = ρ(S)D(Σ),т.
е. требование отсутсвия взаимодействия между подсистемами S иΣ в момент времени t0 . Здесь D(Σ) описывает бозонное поле, находящеесяв состоянии статистического равновесия:D(Σ) = Z −1 e−βH(Σ) ;Z = SpΣ e−βH(Σ) ;SpΣ D(Σ) = 1;а ρ(S) - статистический оператор системы SSp(S) ρ(S) = 1.Умножив обе части уравнения (21) на Dt0 справа и, взяв операциюSpS,Σ , получим:∂Sp(S,Σ) f (St )Dt0 + Sp(S,Σ) [Γ(t, St ), f (St )]Dt0 =ih̄ ∂t14= −iP+iP(k) Sp(S,Σ) Bk (t)[f (St ), Ck (t, St )]Dt0 +++(k) Sp(S,Σ) Bk (t)[f (St ), Ck (t, St )]Dt0 +˜P+(k) Sp(S,Σ) bk (t)[f (St ), Ck (t, St )]Dt0 ++˜+(k) Sp(S,Σ) bk (t)[f (St ), Ck (t, St )]Dt0 ,P+(23)гдеb˜k (t) = e−iω(k)(t−t0 ) bk ,b˜+ (t) = eiω(k)(t−t0 ) b+ ,kBk (t) =Bk+ (t) =k1Rtdτ e−iω(k)(t−τ ) Ck+ (τ, Sτ ),h̄ t01Rtdτ eiω(k)(t−τ ) Ck (τ, Sτ ).h̄ t0Исключая с помощью специально доказанной леммы бозонные переменные,получим уравнение Боголюбова - Боголюбова (мл.) [10].t (S)+Sp(S) (f (S) ∂ρ∂t=Rt1 PΓ(t,S)f (S)−f (S)Γ(t,S)ρt (S))ih̄(k) t0 dτ Sp(S,Σ) eh̄2−iω(k)(t−τ )={Nk Ck+ (τ, Sτ )[f (St ), Ck (t, St )]++(1 + Nk )[Ck+ (t, St ), f (St )]Ck (τ, Sτ )}Dt0 ++ h̄12Rtiω(k)(t−τ ){(1(k) t0 dτ Sp(S,Σ) eP+ Nk )Ck (τ, Sτ )[f (St ), Ck+ (t, St )]++Nk [Ck+ (t, St ), f (St )]Ck (τ, Sτ )}Dt0(24)Dt0 = ρ(S)D(Σ),иNk =e−βh̄ω(k).1−e−βh̄ω(k)Осуществляя переход к модели полярона, имеем:t (S)Sp(S) (f (S) ∂ρ∂t+~eεt E(t)[~rf (S)−f (S)~r]+T (p)f (S)−f (S)T (p)ρt (S))ih̄=L̃2 (k) R t1 2εt P−ε(t−τ )e[Nk e−iω(k)(t−τ ) +(k) 2h̄ω(k) t0 dτ eV~~~~+(1 + Nk )eiω(k)(t−τ ) ]Sp(S,Σ) {e−ik~rτ f (St )eik~rt − e−ik~rτ eik~rt f (St )}Dt0 +=+ V1 e2εtL̃2 (k) R t−ε(t−τ )[(1(k) 2h̄ω(k) t0 dτ eP~+ Nk )e−iω(k)(t−τ ) +~~~+Nk eiω(k)(t−τ ) ]Sp(S,Σ) {eik~rt f (St )e−ik~rτ −f (St )eik~rt e−ik~rτ }Dt0 .15(25)Ранее при исследовании электрон-бозонных систем методом исключениябозонных операторов рассматривался только пространственно-однородныйслучай.
При этом функция f (S) выбиралась в виде f (~p) и выводилисьобобщенные кинетические уравнения для пространственно-однородногослучая. Здесь мы рассматриваем специальный пространственно-неоднородныйслучай и выводим в этом случае обобщенное кинетическое уравнение.Функцию f (S) выбираем в виде:f (S) = f (~p, ~r) = e−i~q~r2φ(~p)e−i~q~r2(26).(q)Кроме того, вводится функция ρt (~p), следующим образом:Sp(S) f (S)ρt (S) = Sp(S) eR−i~q~r2−i~q~r2φ(~p)eρt (S) = Sp(S) φ(~p)e−i~q~r2ρt (S)e−i~q~r2=(q)= d~pφ(~p)ρt (~p),где(q)ρt (~p) = Sp(S) δ(~p−~p0 )e−i~q~r2ρt (S)e−i~q~r2.(27)а также функция Dε± (z; y):Dε± (z; y) =R +∞ −ε|ζ|+iζz±i|ζ|yedζ.(28)−∞Здесь сразу заметим, чтоlimε→0 Dε± (z; 0) = 2πδ(z).В рамках модели Фрелиха интенсивность электрон-фононного взаимодействияопределяется параметром α, входящим в нашем случае в L̃(k).
Прималых α, ограничиваясь аппроксимацией "нулевого приближения", заменяемсложную зависимость ~rτ равномерным движением~rτ = ~rt −p~t(tm− τ ).Используя как операторные свойства, так и некоторые свойства симметриивходящих в (25) функций, для нашего пространственно-неоднородногослучая получаем следующее кинетическое уравнение:16(q)(q)~p∂ρt (~p)~ ∂ρt (~p) + i~qp~ ρt(q) (~p) = R d~k 3 L̃2 (k) ρ(q)−E(t)(~p +h̄~k){(1+Nk )D0+ ( k~+∂t∂~pmm(2π) 2h̄ω(k) tR222~p~~~~k~qp h̄kk~qdk L̃ (k) (q)+ h̄kp){Nk D0− ( k~−ω(k); h̄2m)+Nk D0+ ( k~+ 2m +ω(k); h̄2m)}− (2π)+3 2h̄ω(k) ρt (~2mmm2~~pk~q+ h̄k− ω(k); h̄2m) + (1 + Nk )D0− ( k~+2mmh̄k22m~k~q+ ω(k); h̄2m)}.(29)В заключении перечислены основные результаты, полученные в диссертации.1.
Линейная модель полярона во внешнем магнитном поле в рамкахтехники двухвременных корреляционных функций и двухвременных функцийГрина решена точно. То есть для этой модели математически строговычислены:а) двухвременные корреляционные функции;б) двухвременные функции Грина;в) функция свободной энергии в термодинамическом пределе.2.
Рассмотрены и получены явные выражения в одночастотном случае.3. Проведены сравнения с результатами, полученными в рамках другихметодов.4. Исследована модель полярона во внешнем магнитном поле в приближениислучайных фаз.5. Дано другое доказательство леммы Боголюбова-Боголюбова (мл.)в теории динамических систем, взаимодействующих с бозонным полем.6. Из точного эволюционного уравнения с исключенными бозоннымипеременными для динамических систем, взаимодействующих с бозоннымполем, в частности, модели Фрелиха, при выборе надлежащей аппроксимацииполучено кинетическое уравнение в пространственно-неоднородном случае.17ЦИТИРОВАННАЯ ЛИТЕРАТУРА1. Боголюбов Н.Н., Петрина Д.Я., Хацет Б.И.
Математическое описаниеравновесного состояния классических систем, основанное на каноническомформализме. - ТМФ, 1969, т.1, №2, с.251-274.2. Боголюбов Н.Н. Квазисредние в задачах статистической механики.- Дубна, 1963, - 123с. (Препринт ОИЯИ Р-1451).3. Боголюбов Н.Н.(мл.) Метод исследования модельных гамильтонианов.- М.: Наука, 1974. - 176с.4. Боголюбов Н.Н.(мл.), Садовников Б.И. Некоторые вопросы статистическоймеханики.
- М.: Высшая школа, 1975. -352с.5. Боголюбов Н.Н., Боголюбов Н.Н.(мл.) Введение в квантовуюстатистическую механику. - М.: Наука, 1984. - 384с.6. Боголюбов Н.Н. Проблемы динамической теории в статистическойфизике. -М.-Л.: ГТТИ, 1946, -119с.7. Bogolubov N.N. Kinetic equations for the electron-phonon system. Dubna, 1978.
70p. (Preprint JINR E17 - 11822).8. Боголюбов Н.Н.(мл.) Кинетическое уравнение для динамическойсистемы, взаимодействующей с фононным полем. - ТМФ, 1979, т.40, №1,с. 77-94.9. Боголюбов Н.Н., Боголюбов Н.Н.(мл.) Кинетическое уравнениедля динамической системы, взаимодействующей с фононным полем.ЭЧАЯ, 1980, т.11, вып.2, с.245-300.10. Боголюбов Н.Н., Боголюбов Н.Н.(мл.) Аспекты теории полярона.М.: ФИЗМАТ, 2004.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
