Методы оценивания погрешности решения некорректных задач на компактах в банаховых решетках (1103513)
Текст из файла
На правах рукописиКоролев Юрий МихайловичМетоды оценивания погрешности решениянекорректных задач на компактах в банаховыхрешетках01.01.03 — Математическая физикаАВТОРЕФЕРАТдиссертации на соискание ученой степеникандидата физико-математических наукМосква — 2013Работа выполнена на кафедре математики физического факультетаМосковского государственного университета имени М. В. Ломоносова.Научныйдоктор физико-математических наук,руководительпрофессор Ягола Анатолий ГригорьевичОфициальныедоктор физико-математических наук,оппоненты:г.н.с.
Александров Павел Николаевич,Центр геоэлектромагнитных исследованийИнститута физики Земли им. О.Ю. Шмидтадоктор физико-математических наук,профессор Леонов Александр Сергеевич,Национальный исследовательский ядерныйуниверситет “МИФИ”ВедущаяИнститут вычислительной математики и мате-организацияматической геофизики Сибирского отделенияРоссийской академии наук (ИВМиМГ СО РАН)Защита состоится 18 апреля 2013 г. в 15 часов 30 минут на заседаниидиссертационного совета Д 501.002.10 при Московском государственномуниверситете имени М.
В. Ломоносова по адресу: 119991, Москва, ГСП1, Ленинские горы, МГУ, д. 1, стр. 2, физический факультет, СевернаяФизическая Аудитория.С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке физического факультета МГУ.Автореферат разослан «Ученый секретарьдиссертационного совета» марта 2013 г.Поляков П. А.Общая характеристика работыДиссертационная работа посвящена исследованию обратных задач вчастично упорядоченных нормированных пространствах - банаховыхрешетках. В предположении, что априори задано некоторое компактное множество, которому принадлежит точное решение, строится множество приближенных решений, заданное линейными ограничениями.Производится оценка погрешности приближенных решений на этоммножестве.
Исследуется вопрос построения нижней и верхней оценокнеизвестного решения (в смысле частичного порядка в пространстверешений), сходящихся к точному решению. Методы оценки погрешности применяются к различным прикладным обратным задачам.Актуальность темыМногие практически важные задачи могут быть записаны в виде операторного уравненияAzu;(1):=где z 2 Z , u 2 U , A Z ! U - линейный ограниченный инъективныйоператор, Z и U - линейные нормированные пространства. Согласноопределению, данному Ж.
Адамаром, задача (1) называется корректно поставленной, если для любый входных данных A; u из некоторогокласса ее решение существует, единственно, и малые изменения в правой части u и операторе A влекут малые изменения в решении.Многие практически важные задачи не являются корректно поставленными, в частности, зачастую решение не зависит непрерывноот входных данных задачи. Для решения таких задач нельзя применять стандартные методы, и в середине XX века стали разрабатыватьсяспециальные методы. Впервые подход к решению некорректных задачбыл предложен академиком А.Н.
Тихоновым.На практике, помимо нахождения приближенного решения, сходящегося к точному, требуется также оценивать точность приближения. К сожалению, в общем случае оценить погрешность приближенного решения некорректной задачи нельзя. Поэтому для оценки погрешности в некорректных задачах используют дополнительную априорнуюинформацию о решении, например, о его принадлежности компактному множеству M Z .Зачастую в приложениях оказываются важными понятия положительности, неравенства. Эту информацию о частичной упорядоченности нельзя отразить без использования аппарата теории векторныхрешеток (линейных полуупорядоченных пространств, в которых векторная и порядковая структуры определенным образом согласованы).3Теория таких пространств была развита, в основном, в 30-е годы XXвека в работах Л.
В. Канторовича.Обратные задачи в полных по норме векторных решетках (банаховых решетках) и будут рассмотрены в настоящей диссертации. Оточном решении априори будет предполагаться, что оно принадлежитнекоторому компактному множеству M Z .Цель работыЦелью диссертации являются постановка обратной задачи в банаховых пространствах, наделенных структурой частичного упорядочения,- банаховых решетках, разработка математического аппарата для решения обратных задач на компактных множествах в банаховых решеткахи оценки погрешности приближенных решений, изучение вопросов существования точных нижней и верхней граней (в смысле частичногопорядка) множества приближенных решений, а также условий их сходимости к точному решению.
К целям работы относится также применение методов оценки погрешности приближенных решений к задаче нахождения коэффициента параболического уравнения (на примереодной задачи из теории ценообразования опционов Блэка-Шоулза), кзадаче определения толщины ледяного щита по измерениям поля скоростей льда с использованием условия сохранения массы, а также кзадаче восстановления параметров намагниченности корабля по измеренным значениям магнитного поля вне него.Положения, выносимые на защиту1) постановка обратной задачи в банаховых решетках, определениемножества приближенных решений;2) теорема о сходимости элементов множества приближенных решений к точному решению;3) теорема существования точных нижней и верхней граней множества приближенных решений и их сходимости к точному решению;4) применение методов оценки погрешности приближенного решениядля обратных задач финансовой математики, гляциологии и магнетизма.Научная новизнаАвтором впервые рассмотрены обратные задачи в функциональныхпространствах, наделенных отношением частичного порядка, - банахо-4вых решетках.
Построено множество приближенных решений в случае,когда известно априори, что точное решение принадлежит компактному множеству. Построенное множество приближенных решений задается с использованием порядковой структуры пространства решенийи по некоторым параметрам выгодно отличается от множеств приближенных решений, которые могут быть построены без использованияинформации о порядке. Доказана сходимость элементов построенного множества приближенных решений к точному. Кроме того, изученвопрос о существовании точных верхней и нижней граней множестваприближенных решений (в смысле частичного порядка) и их сходимости к точному.
Эти точные грани могут рассматриваться как верхняяи нижняя оценки неизвестного точного решения в смысле частичного порядка в пространстве решений. Этот способ описания погрешности приближенного решения в приложениях зачастую допускает болеепростую и естественную интерпретацию, нежели классическая оценкапогрешности по норме.С вычислительной точки зрения эти оценки во многих случаяхмогут быть получены весьма эффективно.
Например, в случае, когдапространством решений является пространство L1, где - замкнуnтая ограниченная область в R , и неизвестное решение аппроксимируется кусочно-постоянной функцией, эти оценки могут быть полученыпутем решения линейного по размерности пространства, аппроксимирующего пространство решений, числа задач линейного программирования. Таким образом, оценки могут быть найдены за полиномиальноевремя.()Практическая ценностьРазработанные методы могут быть применены при решении различных линейных обратных задач при наличии достаточного количествааприорной информации.
К числу возможных приложений относятсязадачи томографии, обратные задачи астрофизики, обратные задачигеофизики, задачи науки о материалах, методы неразрушающего контроля, задачи обработки изображений и др.Личный вклад автораОсновные результаты, полученные в данной диссертационной работе,были впервые получены автором. Постановка математической задачии анализ полученных результатов проводились под руководством профессора А. Г.
Яголы. Постановка задачи определения толщины ледяного щита проводилась совместно с профессором Дж. Джонсоном из5Университета Монтаны, США. Постановка задачи нахождения коэффициента параболического уравнения на примере одной задачи из теории ценообразования опционов Блэка-Шоулза проводилась совместнос профессором Х. Кубо из Университета Тохоку, Япония. Основное содержание диссертационной работы и ее результатов полностью отражено в восьми научных публикациях автора. В материалах совместныхпубликаций личный вклад автора является определяющим.Апробация работыОсновные результаты диссертационной работы были представлены намеждународной конференции "Computers and Information in Engineering Conference IDETC/CIE 2011" в Вашингтоне, округ Колумбия, США,28-31 августа 2011, на на международной конференции "The 8th Congressof the ISAAC" в Москве, 22-27 августа 2011 года, на первом симпозиумепо обратным задачам в рамках программы Висби в Гетеборге, Швеция,2-3 июня 2011 года, на втором симпозиуме по обратным задачам в рамках программы Висби в Сунне, Швеция, 4 мая 2012 года, на научномсеминаре кафедры общих проблем управления механико-математического факультета МГУ им М.
В. Ломоносова в Москве, 22 марта 2012 года, на научном семинаре "Обратные задачи математической физики"НИВЦ МГУ им. М. В. Ломоносова под руководством А. Б. Бакушинского, А. В. Тихонравова и А. Г. Яголы в Москве, 25 апреля 2012 годаи 13 февраля 2013 года, на научном семинаре кафедры прикладнойматематики факультета математики Университета Монтаны в Мизуле,Монтана, США, 4 сентября 2012 года, на коллоквиуме факультета математики Университета Монтаны в Мизуле, Монтана, США, 10 декабря2012 года, на научном семинаре кафедры математики Физического факультета МГУ им. М. В. Ломоносова в Москве, 13 февраля 2013 года.ПубликацииПо теме диссертации опубликовано 8 работ, из которых 3 статьи в рецензируемых печатных научных журналах [1–3], 2 статьи в сборникахтрудов конференций [4, 5] и 3 тезиса докладов на конференциях [6–8].В журналах из списка ВАК РФ опубликовано 3 статьи [1–3].Структура работыДиссертация написана на 95 страницах, состоит из титульного листа,оглавления, введения, четырех глав, заключения и списка литературы(98 наименований).6Краткое содержание работыВ ПЕРВОЙ ГЛАВЕ обсуждаются известные методы оценки погрешности приближенных решений некорректных задач.
Предположим, чтоточное решение уравнения (1) z принадлежит компактному множествуM Z . Пусть вместо точного оператора A и точной правой части u известны их приближения Ah и u такие, что kAh Ak 6 h, ku u k 6 .Вектор ошибок обозначим h; . Пусть z 2 M - приближенноерешение задачи (1), сходящееся к точному решению при ! .Как известно, в качестве приближенного решения z можно выбрать любой элемент множества=( )Z= fz 2 M : kA zh0uk 6 hkz k + g(2)k 6 hC + g;(3)либо множестваZC= max= fz 2 M : kA zuhCгде Cz 2M kz k. Очевидно, что Z Z . Любой элемент компактного множества ZC обладает свойством сходимости к точному решениюz . Значит,diam Z = maxkz2C0=0z1 ;z2 ZC1z2k ! kz zk = 0при ! . Таким образом, диаметры множеств (2) и (3) конечны длялюбого 6и стремятся к нулю при ! . Кроме того, точноерешение z принадлежит обоим этим множествам.0()Определение 1 Множество Zapp , принадлежащее пространствурешений Z , называется множеством приближенных решений задачи (1), если1) его диаметр конечен для любого при ! ;06= 0 и стремится к нулю()2) точное решение z принадлежит Zapp .Таким образом, множества (2) и (3) являются множествами приближенных решений.
Явным преимуществом множества (3) являетсяего выпуклость, однако оно шире множества (2). При hэти множества, очевидно, совпадают. Рассмотрим функционал=0( ) = 2max k' z Zapp ( )kz ;(4)()заданный на некотором множестве приближенных решений Zapp .Очевидно, что эта величина конечна для любого 6и стремится=070()()к нулю при ! . Кроме того, kz z k 6 ' z для любого z 2 Zapp .Это позволяет интерпретировать ' z как оценку погрешности приближенного решения z 2 Zapp .()()()()Утверждение 1 Пусть функционал ' z задан на выпуклом множестве приближенных решений Zapp Z .
Характеристики
Тип файла PDF
PDF-формат наиболее широко используется для просмотра любого типа файлов на любом устройстве. В него можно сохранить документ, таблицы, презентацию, текст, чертежи, вычисления, графики и всё остальное, что можно показать на экране любого устройства. Именно его лучше всего использовать для печати.
Например, если Вам нужно распечатать чертёж из автокада, Вы сохраните чертёж на флешку, но будет ли автокад в пункте печати? А если будет, то нужная версия с нужными библиотеками? Именно для этого и нужен формат PDF - в нём точно будет показано верно вне зависимости от того, в какой программе создали PDF-файл и есть ли нужная программа для его просмотра.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
