Методы оценивания погрешности решения некорректных задач на компактах в банаховых решетках (1103513), страница 3
Текст из файла (страница 3)
Расстояние между линиями, вдоль которыхпроизводились измерения толщины с самолетов, составляло 4 км. Мыпредположили, что входные данные имеют следующие погрешности:( )( ) = ~v(x; y) 0:03 j~v(x; y)j;~v (x; y ) = ~v (x; y ) + 0:03 j~v (x; y )j;F (x; y ) = F (x; y ) 0:01 jF (x; y )j;F (x; y ) = F (x; y ) + 0:01 jF (x; y )j;H (x; y ) = H (x; y ) 0:01 H (x; y );H (x; y ) = H (x; y ) + 0:01 H (x; y ):~v l x; yululobsuobsobsobsobsobsКроме того, по входным данным мы оценили константы L и Hmaxследующим образом:= 1:01 max jrH j;H= 2 max H :LobsmaxobsС использованием методов главы 2 были построены верхняя инижняя поверхности, ограничивающие точное решение. На рисунке 1показан срез двумерных поверхностей, ограничивающих точное решение (пунктирная линия), а также само точное решение (непрерывнаялиния).В ЧЕТВЕРТОЙ ГЛАВЕ рассматривается задача восстановления параметров намагниченности корабля по измеренным значенияммагнитного поля вне его.
Большинство современных кораблей имеют121800Точное решениеОграничения1600Толщина (м)140012001000800600400200050001000015000 20000 25000координата x (м)300003500040000Рис. 1. Срез двумерных поверхностей, ограничивающих точное решение(пунктирные линии), срез точного решения (непрерывная линия)корпус из металлов, обладающих магнитным гистерезисом, т.е. способных приобретать остаточную намагниченность.
Основной причинойнамагничивания судна является магнитное поле Земли. Наличие остаточной намагниченности приводит к возникновению собственного магнитного поля корабля, которое может быть использовано для наведения торпед, мин и пр. Поэтому остаточная намагниченность являетсяпроблемой как для военных судов, так для гражданских, которые могут стать мишенями для террористов.Избавиться от остаточной намагниченности судна можно путемразмагничивания при помощи искусственных источников магнитногополя, размещаемых на корпусе корабля. Для этого необходимо знатьтекущее поле намагниченности. Найти параметры намагниченности можно, например, измерив магнитное поле вблизи корабля.
Используя измеренные значения магнитного поля, можно восстановить параметрынамагниченности, решив трехмерное уравнение Фредгольма первогорода для векторной функции.Распределение намагниченности по кораблю связано с магнитным полем, которое создает корабль, следующим интегральным урав-13нением:(B xs ; ys ; zs)=Z(Vгде(K xs ; ys ; zs ; x; y; z) = 4r) ()K xs ; ys ; zs ; x; y; z M x; y; z dv05(14)2 3(x x )24 3(y ys)(s xr 2 3(x xs )(y ys ) 3(x xs )(z zs )xs ) 3(y ys )2 r 2 3(y ys )(z zs )3(z zs )(x xs ) 3(z zs )(y ys ) 3(z zs )2 r 235;(15)(x; y; z) – координаты точек, расположенных внутри объема корабляV , (x ; y ; z ) – координаты сенсоров(в этих точках производятся измеqрения магнитного поля), r = (x x ) + (y y ) + (z z ) .
Сенсорыssss2s22sрасположены в некоторой замкнутой ограниченной области S вне корабля.Из-за волнения на море значения ядра K xs ; ys ; zs ; x; y; z содержат ошибки, которые и задают верхнюю и нижнюю оценки интегрального оператора. Априорная информация о решении состоит из ограничения на модуль неизвестного решения, а также из его константыЛипшица.Методами главы 2 были построены верхняя и нижняя оценкинеизвестного точного решения.
Задача нахождения оценок допускаетэффективное распараллеливание, поэтому для ее решения были использованы параллельные вычисления. Тестовые расчеты были выполнены с использованием Суперкомпьютерного комплекса МосковскогоУниверситета (суперкомпьютер "Ломоносов"; суперкомпьютер СКИФМГУ "Чебышёв").Рассмотрим модельный пример. Пусть точное решение, котороетребуется восстановить, есть()() = 0:5 60(x 0:15) (x 0:85) (y 0:3)M (x; y; z ) = 2 + 4x + (y 1) + (z 0:5) ;M (x; y; z ) = 1 + 10(x 0:5)(y 0:5) (z 0:3) :2M1 x; y; z2222232z 2;222Корабль расположен в области(x; y; z) 2 [0; 1] [0; 1] [0; 1]:Сенсоры расположены в области(x ; y ; z ) 2 [0; 1] [0; 1] [1:1; 1:5]:Расчеты велись по данным измерений в M = 100 точках, восстанавливались значения намагниченности в N = 80 точках, что соответствует240 неизвестным и 300 уравнениям. В качестве априорного ограничения на модуль неизвестного решения использовалось значение a = 3,константа Липшица L = 10.sss1443210−1−2−3−400.20.40.60.81Рис.
2. Срез точного решения M1 (сплошная линия), его верхняя и нижняя оценки (пунктир).По точному решению вычислим точную правую часть. Предположим, что вместо этой точной правой части нам известны лишь еепоточечные оценки сверху и снизу. Верхняя и нижняя оценки правой части отличались от точной на ;. Величины x, y и z ,определяющие ошибку в операторе, составляли ;от характерныхразмеров рассматриваемой области.Срезы функций M1 x; y; z , M2 x; y; z и M3 x; y; z (точного решения), сделанные вдоль оси x при y,z, показаны на рисунках 2, 3 и 4. Там же показаны вычисленные значения их верхних инижних оценок – функций Miu x; y; z и Mil x; y; z , i; ; .В ЗАКЛЮЧЕНИИ приведены основные полученные результаты:0 01%( 0 01%()()=0 =1)() =1 2 3)(1.
постановка обратной задачи в банаховых пространствах, наделенных структурой частичного упорядочения, - банаховых решетках,2. разработка математического аппарата для решения обратных задач на компактных множествах в банаховых решетках и оценкипогрешности приближенных решений,3. доказательство существования точных нижней и верхней граней (всмысле частичного порядка) множества приближенных решений,1543210−1−2−3−400.20.40.60.81Рис. 3. Срез точного решения M2 (сплошная линия), его верхняя и нижняя оценки (пунктир).43210−1−2−3−400.20.40.60.81Рис.
4. Срез точного решения M3 (сплошная линия), его верхняя и нижняя оценки (пунктир).16а также их сходимости к точному решению,4. применение разработанных методов оценки погрешности приближенных решений к задаче определения толщины ледяного щита поизмерениям поля скоростей льда с использованием условия сохранения массы, а также к задаче восстановления параметров намагниченности корабля по измеренным значениям магнитного полявне него.17Основные результаты диссертации опубликованыв следующих изданияхПубликации в изданиях из Перечня ВАК:[1] Королев Ю.М., Ягола А. Г.
Оценка погрешности в линейныхнекорректных задачах с априорной информацией // Вычислительные методы и программирование. 2012. Т. 13. С. 14–18.[2] Korolev Y., Kubo H., Yagola A. Parameter identification problem fora parabolic equation – application to the Black–Scholes option pricingmodel // Journal of Inverse and Ill-Posed Problems.
2012. Vol. 20,no. 3. P. 327–337.[3] Korolev Y., Yagola A. On inverse problems in partially orderedspaces with a priori information // Journal of Inverse and Ill-PosedProblems. 2012. Vol. 20, no. 4. P. 567–573.Публикации в других научных изданиях:[4] Yagola A., Korolev Y. Error estimations in linear inverse problemsin ordered spaces // Progress in Analysis. Proceedings of the 8thCongress of the International Society for Analysis, its Applications,and Computations / Peoples’ Friendship University of Russia. Moscow:2012.
P. 60–68.[5] Yagola A., Korolev Y. Error estimation in linear inverseproblems with a priori information // Proceedings of the ASME2011 International Design Engineering Technical Conferences andComputers and Information in Engineering Conference IDETC/CIE2011, August 28-31, 2011, Washington, DC, USA / ASME.Vol. DETC2011-4. Washington, DC: 2011.
P. 1–6.[6] Yagola A., Korolev Y. Error estimation in linear inverse problemsin ordered spaces // Abstracts. 8th International ISAAC Congress.Moscow, August 22-27, 2011 / Peoples’ Friendship University of Russia.Moscow: 2011. P. 312.[7] Yagola A., Korolev Y. A posteriori error estimations in linear ill-posedproblems // PROGRAM OF THE FIRST ANNUAL WORKSHOP ONINVERSE PROBLEMS, 2-3 June 2011, G teborg, Sweden / ChalmersUniversity of Technology, G teborg University.
G teborg: 2011. P. 3.[8] Yagola A., Korolev Y. Error estimations for ill-posed problemsin Banach lattices // PROGRAM OF THE SECOND ANNUALWORKSHOP ON INVERSE PROBLEMS, 2-6 May 2012, Sunne,Sweden / Chalmers University of Technology, G teborg University.G teborg: 2012. P. 3..
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
