Методы оценивания погрешности решения некорректных задач на компактах в банаховых решетках (1103513), страница 2
Текст из файла (страница 2)
Тогда функционал' z является выпуклым.()Этот факт позволяет рассматривать решения, обладающие оптимальной оценкой погрешности:z2 Arg 2min 2max kz Zapp ( ) Zapp ( )kz :Схема оценки погрешности на компакте используется для оценки погрешности приближенного решения в обратной задаче нахождения коэффициента параболического уравнения. Практической задачей,в которой возникает данная постановка, является задача определениянеизвестной ожидаемой доходности акций в модели ценообразованияопционов Блэка-Шоулза.
В теории ценообразования опционов показано, что цена опциона u является решением следующей задачи для параболического уравнения с обратным временем:82>< ut + x2uxx + xux ru = 0; x > 0; t 2 (0; T );2>: u(x; t)j = (x D)+ = maxf0; x Dg; x > 0;(5)t =T0 < t < T - время, 0 < x < 1 - цена акций в момент времени t = 0, > 0 волатильность акций, а - их ожидаемая доходность. r > 0 -гдебезрисковая процентная ставка, а D - цена акций компании в моментвремени T (цена исполнения).Фиксируем некоторую цену акций x и будем рассматривать вкачестве переменных цену исполнения D и срок исполнения T . Ценаопциона uu D; T в новых переменных удовлетворяет уравнениюДюпира:= ()uT= 2Du22DDDuD= ln(r) u:=(6)0 ( )=DСделаем замену переменных y,Tt > , U y; xu D; T =x .
В новых переменных мы получаем следующую задачу Коши для параболического уравнения:()0 2182>>< U = Uyy @ + A Uy (r )U;22>>: U (y; 0) = (ey 1) = maxfey 1; 0g;+82 R; 2 (0; );y 2 R:y(7)=0= ()( )= + ( )Предположим, что const > , а y . Инвесторам необходимо знать ожидаемую доходность акций yr f y , где f y ожидаемая премия за риск, f y > . Однако на практике инвесторымогут наблюдать цены акций и опционов, но не могут наблюдать y .В момент времени t, соответствующий значению T ,инвесторы могут наблюдать цены опционов U с различными ценамиисполнения y .
Таким образом, известны значения функции U при на некотором интервале ! R:() 0=0(U y; ) = U(y);y()()()= ==2 ! R:(8)Неизвестную премию за риск f y можно найти, решив решивобратную коэффициентную задачу для системы (7) с дополнительным"измерением" (8). В предположении, что точное решение положительно, ограничено, и удовлетворяет условию Липшица с заданной константой, можно также оценить погрешность приближенного решения, чтои было сделано.Также в главе 1 рассматриваются методы апостериорной оценкипогрешности для истокопредставимых решений и схема апостериорнойоценки погрешности А.С.
Леонова.Во ВТОРОЙ ГЛАВЕ рассматривается постановка обратных задач в банаховых решетках. Объектом исследования, как и прежде, является уравнение (1). Пусть теперь пространства Z и U суть банаховырешетки, A 2 L Z; U . Здесь L Z; U - пространство регулярных операторов, действующих из Z в U . Также предположим инъективностьA.Приближенные данные данные в этой постановке задаются в виде некоторого коридора (в смысле частичного порядка в L Z; U дляоператора и в U для правой части). Точнее, нам известны верхняя инижняя оценки оператора A и правой части u:()()(Al6A6A ;uul)6u6u :uЗдесь Al и Au также являются регулярными операторами. Пусть uln 2 Uесть неубывающая (в смысле частичного порядка в U ) последовательность нижних оценок правой части, uun 2 U - невозрастающая последовательность верхних оценок правой части, и пусть kuln uk ! ,kuun uk ! .
Пусть Aln 2 L Z; U - неубывающая (в смысле частичного порядка в L Z; U ) последовательность нижних оценок оператора,Aun 2 L Z; U - невозрастающая последовательность верхних оценокоператора, и пусть kAln Ak ! , kAun Ak ! . Требуется построитьпри каждом фиксированном n приближенное решение zn 2 Z , сходящееся к точному по норме Z при n ! 1.0()()(0)009Пусть известно априори, что точное решение z положительно ипринадлежит компактному множеству M X . В качестве множестваприближенных решений предлагается выбрать следующее множество:= fz 2 M : z > 0; A z 6 u ; A z > u g:(9)Легко показать, что точное решение z принадлежит этому мноlnZnununlnжеству.Теорема 1 При сделанных выше предположениях для любой последовательности элементов zn 2 Zn имеет место сходимостьzn ! z .
Кроме того, выполнено предельное соотношение diam Znkz k ! .sup2z; Zn=0Теорема 1 позволяет производить оценку погрешности приближенного решения zn 2 Zn . Действительно, величину( ) = maxk2' zn Znznk(10)можно интерпретировать как оценку погрешности приближенного решения zn , так как kz zn k 6 ' zn и ' zn ! при n ! 1 для любогоприближенного решения zn 2 Zn .От требования положительности решения можно отказаться, заменив его требованием ограниченности снизу z > a для некоторогоa > . При этом в качестве множества приближенных решений нужновыбрать( )( ) 00Zna= fz 2 M : z >a; Aln z6 u + (Aunun)Aln a;Aun z>uln(Aun)gAln a : (11)Выясняются также вопросы существования точных верхней инижней граней (в смысле частичного порядка) введенного множестваприближенных решений и их сходимости к точному решению.Теорема 2 Пусть банахова решетка Z является K - пространством счетного типа, а также AM -пространством.
Пусть M положительное, ограниченное сверху компактное множество вZ . Пусть Zn - множества приближенных решений, определенныев (9). Тогда существуют их точные граниZnznu иZnznl .Кроме того, имеет место сходимость znu ! z и znl ! z . Под сходимостью подразумевается сходимость по норме пространстваZ.sup =10inf=Теорема 2 позволяет интерпретировать точные грани введенногомножества приближенных решений как некий "коридор погрешности"в том смысле, что все возможные при имеющихся входных данных иаприорной информации решения содержатся между zl и zu (соответствующие неравенства понимаются в смысле частичного порядка в Z ).Очевидно, точное решение также заключено между элементами zl иzu , которые поэтому можно интерпретировать как нижнюю и верхнююоценки неизвестного точного решения.Во второй главе также обсуждается сложность вычисления оценки погрешности по норме, а также верхней и нижней оценок неизвестного решения в смысле частичного порядка в пространстве решений.В ТРЕТЬЕЙ ГЛАВЕ метод построения верхней и нижней оценок решения, описанный в главе 2, применяется к задаче определения толщины ледяного щита по измерениям поля скоростей.
Для измерения толщины льда используются специальные радиоизмерительные приборы, устанавливаемые либо непосредственно на льду, либона самолетах, которые совершают облет местности по определенныммаршрутам и производят измерения глубины залегания подложки. Использование такого метода измерения приводит к тому, что получениеданных о толщине льда требует больших затрат, и во многих регионахданные отсутствуют или имеют недостаточное разрешение. Поэтомувозникает необходимость повысить разрешение этих данных, используя физические законы, которым лед подчиняется.Часто в моделировании ледяного покрова пользуются понятиемт.н. балансной толщины льда, т.е.
толщины, рассчитанной исходя иззакона сохранения массы льда в некотором объеме. В этом случае обеспечивается баланс между накопленным (аккумулированным за счетвыпадения осадков либо утраченным за счет таяния) объемом льда внекоторой области и объемом льда, вытесненного из этой области.
Закон сохранения массы выражается следующим уравнением:(r; H (x; y)~v(x; y)) = F (x; y);(12)где ~v (x; y ) – поле скоростей льда, F (x; y ) описывает таяние льдов, вы-падение осадков и т.д. Измерение скорости производятся со спутникас использованием некоторого количества контрольных точек на земле.Значения правой части измеряются погодными станциями.Таким образом, для определения толщины льда у нас есть уравнение (12), а также измерения вдоль маршрутов движения самолетов.Мы получаем следующую задачу для функции H x; y :8< (r; H (x; y )~v (x; y )) = F (x; y );: H (x; y )j(x;y)2C = Hobs(x; y );11( )(x; y) 2 (13)где– замкнутая ограниченная двумерная исследуемая область, C- кривая в , описывающая маршруты полетов, ~v x; y – поле скоростей льда, F x; y описывает таяние льдов, выпадение осадков и т.д.Hobs x; y - измеренные значения толщины вдоль маршрутов самолетов.
Нашей целью является определение толщины льда H x; y вдалиот маршрутов самолетов.Предполагается, что имеется следующая априорная информацияоб искомом решении:( )( )( )( )0 6 H (x; y) 6 Hmax ;jrH (x; y)j 6 L;где Hmax - оценка сверху значений толщины льда, L - константа Липшица функции H x; y .В гляциологии различные методы решения задач обычно проверяются на некоторых идеализированных стандартных задачах, которые собраны в т.н. проекте ISMIP-HOM. Задача ISMIP-HOM A, которая была решена описанным выше методом, описывает наклоннуюповерхность льда с синусоидальной подложкой. Шаг сетки в расчетахсоставлял примерно 1 км.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
