Контрастные структуры типа ступеньки в системах сингулярно возмущенных уравнений (1103474)
Текст из файла
На правах рукописиМЕЛЬНИКОВА Алина АлександровнаКОНТРАСТНЫЕ СТРУКТУРЫ ТИПА СТУПЕНЬКИ В СИСТЕМАХСИНГУЛЯРНО ВОЗМУЩЕННЫХ УРАВНЕНИЙ01.01.03 — математическая физикаАВТОРЕФЕРАТдиссертации на соискание ученой степеникандидата физико–математических наукМосква — 2013Работа выполнена на кафедре математики физического факультетаМосковского государственного университета имени М.В. ЛомоносоваНаучный руководитель: Бутузов Валентин Федоровичдоктор физико–математических наук,профессорОфициальные оппоненты: Нестеров Андрей Владимировичдоктор физико-математических наук,профессор Московского городскогопедагогического университетаДенисов Игорь Васильевичдоктор физико-математических наук,профессор Тульского государственногопедагогического университета им.
Л.Н.ТолстогоВедущая организация: Федеральное государственное бюджетноевысшего профессионального образованияобразовательное учреждение«Ярославский государственныйуниверситет им. П.Г. Демидова»Защита состоится 12 декабря 2013 г. в 15 часов 30 минут на заседании диссертационного совета Д 501.002.10 при Московском государственном университете имени М.В. Ломоносова по адресу:119991, г. Москва, Ленинские горы, МГУ, дом 1, стр. 2, физическийфакультет, СФА.С диссертацией можно ознакомиться в Фундаментальной библиотекеМГУ имени М.В. Ломоносова.Автореферат разослан «»20Ученый секретарьдиссертационного совета Д 501.002.10доктор физико-математических наук,профессор1г.П.А.
ПоляковОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОТЫВ настоящей работе исследуется ряд краевых и начально-краевых задачдля систем сингулярно возмущенных уравнений с разными степенями малого параметра.Актуальность темыНелинейные системы дифференциальных уравнений используются примоделировании процессов в химической кинетике, экологии, физике сверхпроводников, космической электродинамике, нейрофизиологии, задачах тепло и массопереноса и в других областях.Разные пространственные и временные масштабы изменения компонентсистемы, а также учет малых факторов, существенно влияющих на процесс, приводят к появлению в уравнениях, описывающих процесс, малыхпараметров.
Соответствующие слагаемые, содержащие малые параметры,называются возмущением системы.Задача, решение которой нельзя равномерно приблизить решением соответствующей задачи без возмущения, называется сингулярно возмущенной.К такому классу задач относятся дифференциальные уравнения, содержащие малый параметр при старшей производной. Систематическое развитие теории сингулярных возмущений началось с классических работ А.Н.Тихонова [1]–[3].
Наиболее известными методами теории являются методпограничных функций [4], метод ВКБ [5] и метод сращивания [6].Метод пограничных функций был разработан А.Б. Васильевой и В.Ф.Бутузовым (см.[4]) и позволяет находить и обосновывать равномерные асимптотические разложения решений в ряды по степеням малого параметра.Коэффициенты этих рядов зависят как от исходных, так и от растянутых (погранслойных) переменных. В дальнейшем область применения метода была расширена на задачи с внутренними переходными слоями — такназываемыми контрастными структурами.
Для обоснования асимптотикитаких решений Н.Н. Нефедов предложил асимптотический метод дифференциальных неравенств, основанный на теоремах сравнения для эллиптических и параболических задач и использующий предварительно построенную формальную асимптотику [7].2Представляемая диссертация посвящена исследованию вопросов существования и асимптотики контрастных структур типа ступеньки (КСТС).Рассматриваемые в диссертации типы уравнений в приложениях носятназвание уравнений «реакция–диффузия» и описывают химические процессы, в том числе горение, биологические процессы, активные среды. Вквантовой физике системы параболического типа используются в теориисверхпроводников.
Волновую функцию в виде барьера можно рассматривать как решение с двумя внутренними переходными слоями, и решатьуравнения с малым параметром асимптотическими методами.К нестационарным контрастным структурам относятся волны переключения в активных средах, например фронт горения или волна концентрации в химической реакции. Асимптотический анализ актуален и прирассмотрении волн возбуждения в активных средах. Волны такого типавозникают в нервном волокне, в сердечной мышце, при свертывании крови.Для моделирования волн возбуждения часто используется система двухнелинейных параболических уравнений типа ФитцХью-Нагумо [8] с различными модификациями, в том числе с малым параметром при старшейпроизводной [9].Контрастные структуры встречаются при изучении вопросов морфогенеза.
Типичным пример служит полосатая окраска шкур животных. Известный специалист в области математический биологии Дж. Мюррей использует для моделирования процесса формирования окраса систему «реакция–диффузия» [10].Цель работы1. Для некоторых классов систем сингулярно возмущенных (с.в.) уравнений (обыкновенных, эллиптических и параболических) определитьусловия, при которых в рассматриваемых системах существуют решения с внутренним переходным слоем (контрастные структуры).2. Разработать алгоритм построения асимптотических разложений КСТСдля рассматриваемых типов систем нелинейных дифференциальныхуравнений с разными степенями малого параметра при старших производных, позволяющий определить локализацию (расположение) внутреннего переходного слоя.33.
Доказать существование решений, обладающих построенной асимптотикой.Научная новизна1. На основе метода пограничных функций (с соответствующей модификацией) построены асимптотические разложения решений с внутренними слоями для нескольких новых типов с.в. задач:– краевая задача для системы двух обыкновенных дифференциальных уравнений второго порядка на отрезке,– краевая задача для системы эллиптических уравнений в двумерной области,– начально-краевая задача для системы параболических уравнений в одномерном по пространственной переменной случае.2.
Для каждой задачи доказаны теоремы существования решения с построенной асимптотикой. Результаты по обоснованию получены путем развития метода дифференциальных неравенств на системы исследуемого типа.Практическая ценность1. Разработана методика построения асимптотических разложений решений задач, часто встречающихся в приложениях. Примером могутслужить системы типа «активатор–ингибитор», в частности системаФитцХью-Нагумо. Методика позволяет проводить анализ возможныхрешений, а также может быть использована для разработки модельных систем с известными видами решений.2.
Развитие асимптотического метода дифференциальных неравенствдля систем уравнений с определенными дополнительными условиями позволит в дальнейшем доказывать существование решений дляболее широкого класса систем.43. Результаты диссертации представляют интерес для ученых, работающих в различных естественно–научных областях. В частности, внаучной группе кафедры математики Физического факультета МГУведется работа по исследованию систем с малым параметром с использованием результатов, полученных в представляемой диссертации, совместно с кафедрой биофизики Физического факультета МГУ(моделирование урбоэкосистем, модельная задача для системы свертывания крови) и лабораторией физики неоднородных систем Физического института им.
П.Н. Лебедева РАН (исследование гетеронаноструктур).Положения, выносимые на защиту1. Исследование некоторых новых классов с.в. задач, решения которыхобладают внутренними переходными слоями.2. Разработка алгоритма построения асимптотики таких решений. Алгоритм дает возможность получить уравнение, определяющее локализацию переходного слоя для стационарных задач и движение фронта в параболическом случае.3.
Строгое математическое обоснование результатов. Доказательство существования решений с построенной асимптотикой.Личный вклад автораОсновные результаты, включенные в диссертационную работу, быливпервые получены автором. Постановка математической задачи и анализполученных результатов проводились под руководством профессора В.Ф. Бутузова. Работа по обоснованию асимптотических разложений проводиласьв тесном сотрудничестве с доцентом Н.Т. Левашовой.
Основное содержаниеи результаты достаточно полно изложены в 14 печатных работах. В материалах совместных публикаций вклад автора является определяющим.Апробация работыСодержание различных разделов диссертационной работы представлялось в виде докладов на международных конференциях студентов, аспирантов и молодых ученых «Ломоносов 2009» (МГУ, Москва, 2009), «Ломоносов 2010» (МГУ, Москва, 2010) ; на научных конференциях «Тихоновские5чтения» (МГУ, Москва, 2010, 2011, 2012); на ежегодных математическихчтениях РГСУ (Клин, 2010, 2011, 2012); на Четвертой Международной конференции «Функциональные пространства.
Характеристики
Тип файла PDF
PDF-формат наиболее широко используется для просмотра любого типа файлов на любом устройстве. В него можно сохранить документ, таблицы, презентацию, текст, чертежи, вычисления, графики и всё остальное, что можно показать на экране любого устройства. Именно его лучше всего использовать для печати.
Например, если Вам нужно распечатать чертёж из автокада, Вы сохраните чертёж на флешку, но будет ли автокад в пункте печати? А если будет, то нужная версия с нужными библиотеками? Именно для этого и нужен формат PDF - в нём точно будет показано верно вне зависимости от того, в какой программе создали PDF-файл и есть ли нужная программа для его просмотра.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
