Контрастные структуры типа ступеньки в системах сингулярно возмущенных уравнений (1103474), страница 2
Текст из файла (страница 2)
Дифференциальные операторы. Общая топология. Проблемы математического образования» (РУДН,Москва, 2013), а также неоднократно обсуждались на научном семинарекафедры математики физического факультета МГУ (руководители семинара профессора А.Б. Васильева и В.Ф. Бутузов). Полученные результатыбыли представлены на нескольких естественно–научных семинарах.ПубликацииПо материалам диссертации опубликовано 14 научных работ, из которых 2 статьи в рецензируемых журналах по перечню ВАК. Список публикаций приведен в конце автореферата.Структура и объем диссертацииДиссертационная работа состоит из введения, четырех глав и спискацитируемой литературы.
Полный объем диссертации составляет 132 страницы. Диссертация содержит 2 рисунка. Список литературы включает 62наименования.ОСНОВНОЕ СОДЕРЖАНИЕ РАБОТЫВо Введении освещен круг вопросов, охваченных диссертацией, охарактеризованы актуальность и новизна работы и изложено ее краткое содержание.В Главе 1 приведен обзор научных работ, близких к теме диссертации — исследованию решений типа контрастных структур в сингулярновозмущенных задачах.
Наряду с теоретическими результатами описан рядприкладных задач, в которых возникают контрастные структуры.Глава 2 посвящена исследованию краевой задачи для системы сингулярно возмущенных обыкновенных дифференциальных уравнений с разными степенями малого параметра.Рассматривается задача:ε4 u00 = f (u, v, x, ε),ε2 v 00 = g(u, v, x, ε), 0 < x < 1,u0 (0) = u0 (1) = 0, v 0 (0) = v 0 (1) = 0,6(1)где ε — малый параметр, f и g — достаточно гладкие функции в области(u, v, x, ε) ∈ Iu × Iv × [0; 1] × (0; ε0 ], Iu и Iv — некоторые промежутки изменения переменных u и v, ε0 > 0.Исследуется вопрос о существовании и асимптотике при малых ε решения с переходным слоем в окрестности некоторой внутренней точки x∗отрезка [0;1], где происходит быстрый переход решения u(x, ε), v(x, ε) рассматриваемой задачи от одного корня вырожденной системы (к которомуu(x, ε), v(x, ε) близко при x < x∗ ) к другому (к которому u(x, ε), v(x, ε)близко при x > x∗ ).
Решения такого типа называются контрастными структурами типа ступеньки (КСТС). (Вырожденной называется система уравнений, которая получается из исходной при ε = 0.) Примерный вид решения такого типа показан на рисунке 1.Рис. 1: Контрастная структура типа ступеньки.Сформулируем условия, при которых рассматривается задача.Условие A1. Уравнение f (u, v, x, 0) = 0 имеет относительно u ровно трикорняu = ϕi (v, x),i = 1, 2, 3,такиечтоϕi (v, x) ∈ Iu ,ϕ1 (v, x) < ϕ2 (v, x) < ϕ3 (v, x) всюду в области (v, x) ∈ Iv × [0; 1], причемfu (ϕ1,3 (v, x), v, x, 0) > 0, fu (ϕ2 (v, x), v, x, 0) < 0.Условие A2. Каждое из уравнений hi (v, x) := g(ϕi (v, x), v, x, 0) = 0,i = 1, 3 имеет единственное решение v = v i (x) ∈ Iv , причем на всем отрезке[0;1] выполнены неравенства v 1 (x) < v 3 (x), hiv (v i (x), x) > 0, i = 1, 3.7Условие A3. (Условие квазимонотонности).fv (u, v, x, 0) < 0, gu (u, v, x, 0) < 0всюду в области (u, v, x) ∈ Iu × Iv × [0; 1].Условие A4.
На множестве x ∈ (0; 1) , v ∈ v 1 (x) , v 3 (x) существуетединственное решение (v0 , x0 ) системы уравненийvZ1J0 v (v, x) :=00Zv 3 (x)h (v , x) dv +v 1 (x)h3 (v 0 , x) dv 0 = 0,v3ϕZ(v,x)J0 u (v, x) :=f (u, v, x, 0)du = 0.ϕ1 (v,x)Точка x0 определяет положение переходного слоя в нулевом порядке по ε,а v0 — это значение v–компоненты решения в точке перехода с точностьюO(ε). Считается, что для u–компоненты переход происходит через неустойчивый корень ϕ2 (v, x) и выполняется равенство: u(x0 , ε) = ϕ2 (v0 , x0 )+O(ε).Условие А5.
Якобиан системы из условия А4 удовлетворяет неравенствуD(J0 v, J0 u) D0 :=< 0.D(v, x) v=v0 , x=x0При условиях А1–А5 построено формальное асимптотическое разложение КСТС с переходом вблизи точки x0 из окрестности v 1 (x) в окрестностьv 3 (x)дляv–компоненты и из окрестности ϕ1 (v 1 (x), x) в окрестность ϕ3 (v 3 (x), x) дляu–компоненты решения (п.2.2).Формальная асимптотика n–го порядка Un , Vn состоит из двух частей,которые сшиваются непрерывно и гладко в точке x = Xn , которая определяет положение переходного слоя с точностью O(εn+1 ) (x∗ = Xn +O(εn+1 )):(−)Un , x ∈ [0; X ] ,Vn(−) , x ∈ [0; X ] ,nnUn (x, ε) =V(x,ε)=nUn(+) , x ∈ [Xn ; 1] ,Vn(+) , x ∈ [Xn ; 1] .8(∓)(∓)Функции Un , Vn имеют вид:nX(−)(−)(−)(−)(−)(−)iUn (x, ε) =ε ūi (x) + Qi u (τ ) + Mi u (σ) + Pi u(ζ1 ) + Ri u(η1 ) ,i=0x ∈ [0; Xn ] ,Un(+) (x, ε)=nXεii(+)ūi (x)+(+)Qi u (τ )+(−)Qi v (τ )+(+)Mi u (σ)+(−)Mi v (σ)+(+)Pi u(ζ2 )+(−)Pi v (ζ1 )+(+)Pi v (ζ2 )+(+)Ri u(η2 )+(−)Ri v (η1 )+(+)Ri v (η2 ),i=0x ∈ [Xn ; 1] ,Vn(−) (x, ε)=nXε(−)v̄i (x)i=0+n+2Xεi(−)Mi v (σ)+(−)Ri v (η1 )x ∈ [0; Xn ] ,,i=n+1Vn(+) (x, ε)=nXεi(+)v̄i (x)+(+)Qi v (τ )+(+)Mi v (σ)i=0+n+2Xεi(+)Mi v (σ)+(+)Ri v (η2 )x ∈ [Xn ; 1] .,i=n+1(∓)(∓)(∓)(∓)Здесь ūi (x), v̄i (x) — регулярные члены асимптотики; Qi u (τ ), Qi v (τ ),(∓)(∓)Mi u (σ), Mi v (σ) — функции переходного слоя в окрестности точки Xn ,x − Xnx − Xn, σ=εε2суть переменные переходного слоя, τ ≤ 0, σ ≤ 0 для функций с индексом«минус», τ ≥ 0, σ ≥ 0 для функций с индексом «плюс»;P u(∓) (ζi ), P v (∓) (ζi ), Ru(∓) (ηi ), Rv (∓) (ηi ), i = 1, 2 — функции пограничных слоев в окрестностях граничных точек x = 0 и x = 1,xx1−x1−xζ1 = , η1 = 2 , ζ2 =, η2 =εεεε2суть погранслойные переменные.В п.2.3 доказана теорема существования КСТС с построенным асимптотическим разложением.Теорема 1.
При выполнении условий A1–A5 для достаточно малогоε > 0 существует решение u(x, ε), v(x, ε) задачи (1), для которого функции Un (x, ε), Vn (x, ε) являются равномерным на [0; 1] асимптотическимприближением с точностью порядка O(εn+1 ).τ=9Доказательство теоремы проведено с помощью асимптотического метода дифференциальных с соответствующей модификацией на случай системы двух сингулярно возмущенных уравнений.В конце Главы 2 (п.2.4) рассмотрен иллюстрирующий пример, для которого наряду с построением асимптотики нулевого порядка (с точностьюO(ε)) проведен численный расчет для ε = 0.05.
Сравнение приближенныхрешений, полученных асимптотическим и численным методами, показывает высокую эффективность асимптотического метода.В Главе 3 рассмотрена сингулярно возмущенная задача для системыэллиптических уравнений в двумерной области:ε4 ∆u = f (u, v, x, ε),ε2 ∆v = g(u, v, x, ε), x = (x1 , x2 ) ∈ D ⊂ R2 ,∂v ∂u = 0,= 0,∂n ∂D∂n ∂D(2)где ε > 0 — малый параметр, ∆ — оператор Лапласа, D — ограниченнаяодносвязная область с достаточно гладкой границей ∂D, f и g — достаточногладкие функции в области (u, v, x, ε) ∈ Iu × Iv × D̄ × (0; ε0 ], Iu и Iv —∂некоторые промежутки изменения переменных u и v, ∂n— производная понормали к ∂D.Исследован вопрос о существовании и асимптотике при малых ε решения с внутренним переходным слоем в окрестности некоторой замкнутойкривой C, лежащей внутри области D.Задача рассмотрена при условиях:Условие В1.
Уравнение f (u, v, x, 0) = 0 при (v, x) ∈ Iv × D̄ имеет относительно u ровно три корня u = ϕi (v, x), i = 1, 2, 3, такие, что ϕi (v, x) ∈ Iu ,ϕ1 (v, x) < ϕ2 (v, x) < ϕ3 (v, x),fu (ϕ1,3 (v, x), v, x, 0) > 0,fu (ϕ2 (v, x), v, x, 0) < 0.Условие В2. Каждое из уравнений hi (v, x) := g(ϕi (v, x), v, x, 0) = 0,i = 1, 3 при x ∈ D̄ имеет относительно v единственное решение v = v i (x) ∈Iv , причем во всей области D̄ выполнены неравенства v 1 (x) < v 3 (x);hiv (v i (x), x) > 0, i = 1, 3.10Условие В3. (Условие квазимонотонности).fv (u, v, x, 0) < 0, gu (u, v, x, 0) < 0всюду в области (u, v, x) ∈ Iu × Iv × D̄.Выберем внутри области D некоторую точку O(x01 ; x02 ) и в окрестностиэтой точки перейдем к полярной системе координат (ρ, θ), ρ ≥ 0, 0 ≤ θ ≤ 2πс полюсом в точке O с помощью формулx1 = x01 + ρ cos θ,x2 = x02 + ρ sin θ.Для упрощения записи будем считать x01 = 0, x02 = 0.Условие В4.
Система уравнений относительно v и ρ:Zvh1 (v 0 , ρ cos θ, ρ sin θ) dv 0 +v 3 (ρ cosZ θ,ρ sin θ)h3 (v 0 , ρ cos θ, ρ sin θ) dv 0 = 0,vv 1 (ρ cos θ,ρ sin θ)ϕ3 (v,ρ cosZ θ,ρ sin θ)f (u, v, ρ cos θ, ρ sin θ) du = 0ϕ1 (v,ρ cos θ,ρ sin θ)имеет решение v = v0 (θ), ρ = ρ0 (θ), 0 ≤ θ ≤ 2π, причемv 1 (ρ0 (θ) cos θ, ρ0 (θ) sin θ) < v0 (θ) < v 3 (ρ0 (θ) cos θ, ρ0 (θ) sin θ), 0 ≤ θ ≤ 2π,а функция ρ = ρ0 (θ), 0 ≤ θ ≤ 2π определяет простую замкнутую гладкуюкривую C0 , лежащую внутри области D.В условии В5 записано неравенство, которому должен удовлетворятьопределитель системы из условия В4. Это условие сформулировано с учетом перехода к локальной системе координат в окрестности кривой C0 .Для задачи в двумерной области построена асимптотика решения свнутренним переходным слоем, получены уравнения для определения локализации переходного слоя, доказана теорема существования решения.Теорема 2.
Если выполнены условия В1-В5, то при достаточно малом ε > 0 существует решение u(x, ε), v(x, ε) задачи (2), для которогофункции Un (x, ε), Vn (x, ε) являются равномерным в области D̄ асимптотическим приближением с точностью порядка O(εn+1 ).11Как и в случае системы обыкновенных дифференциальных уравнений,функции Un (x, ε), Vn (x, ε) представляют собой частичные суммы асимптотических рядов и состоят из регулярной части, функций переходного слояи функций пограничного слоя.
При доказательстве теоремы использовалсямодифицированный для данной задачи асимптотический метод дифференциальных неравенств.В Главе 4 исследуется начально–краевая задача для системы параболических уравнений:ε4∂ 2u2 ∂u−ε= f (u, v, x, ε) ,∂x2∂tε2∂ 2v2 ∂v−ε= g (u, v, x, ε) ,∂x2∂t(3)x ∈ (0; 1), t ∈ (0, T ],∂u∂u∂v∂v(0, t, ε) =(1, t, ε) = 0,(0, t, ε) =(1, t, ε) = 0, t ∈ (0, T ],∂x∂x∂x∂xu(x, 0, ε) = u0 (x), v(x, 0, ε) = v 0 (x), x ∈ [0; 1],где f и g - достаточно гладкие функции в области (u, v, x, ε) ∈ Iu × Iv ×[0; 1]×(0; ε0 ], а Iu и Iv - некоторые промежутки изменения переменных u и v,ε0>0,T > 0.Исследовался вопрос о существовании и асимптотике при малых ε решения с переходным слоем в окрестности некоторой внутренней точки x∗отрезка [0; 1]. Положение точки x∗ изменяется со временем.
Предполагается, что в начальный момент времени уже сформирован фронт в видеКСТС, т.е. положение точки x∗ задано и далее исследуется ее движение.Доказано существование решения с движущимся фронтом.Задача рассмотрена при условиях:Условие С1. Уравнение f (u, v, x, 0) = 0 имеет относительно u ровно трикорняu = ϕi (v, x) ∈ Iu , i = 1, 2, 3, такие что ϕ1 (v, x) < ϕ2 (v, x) < ϕ3 (v, x) всюдувобласти(v, x) ∈ Iv × [0; 1], причем fu (ϕ1,3 (v, x), v, x, 0) > 0, fu (ϕ2 (v, x), v, x, 0) < 0.Условие С2. Каждое из уравнений hi (v, x) := g(ϕi (v, x), v, x, 0) = 0,i = 1, 3 имеет единственное решение v = v i (x) ∈ Iv , причем на всем отрезке [0; 1] выполнены неравенства v 1 (x) < v 3 (x); hiv (v i (x), x) > 0, i = 1, 3.12Условие С3.(Условиеквазимонотонности).fv (u, v, x, 0) < 0,gu (u, v, x, 0) < 0 всюду в области (u, v, x) ∈ Iu × Iv × [0; 1].Условие С4.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
