Контрастные структуры типа ступеньки в системах сингулярно возмущенных уравнений (1103474), страница 3
Текст из файла (страница 3)
Существует единственное решение v0 (x) уравненияZv0h1 (v, x)dv +vZ3 (x)h3 (v, x)dv = 0,v0v 1 (x)определенное на отрезке [0; 1], такое чтоv 1 (x) < v0 (x) < v 3 (x), x ∈ [0; 1],причем при всех x ∈ [0; 1] выполнено неравенствоvZ0 (x)h1v (v, x)dv +v 1 (x)vZ3 (x)h3v (v, x)dv 6= 0.v0 (x)Точка (x∗ , t) описывает на плоскости (x, t) некоторую кривую x = x∗ (t),которая определяет положение внутреннего переходного слоя на отрезке[0; 1] в момент времени t ∈ (0; T ]. Функция x∗ (t) представляется рядом постепеням малого параметра ε: x∗ (t) = x0 (t) + εx1 (t) + . .
. . Функция x0 (t)определяется из дифференциального уравнения видаdx0=0F x0 ,dtс начальным условием x0 (0) = x00 . Функция F определяется правыми частями уравнений (3). Разрешимость уравнения обеспечивается условиемС5.Следующие приближения положения точки перехода xi (t), i = 1, 2, . .
.определяются из линейных дифференциальных уравнений, разрешимостькоторых обеспечивается в частности условием С6.Получена формальная асимптотика решения произвольного порядкаточности, предложен алгоритм, позволяющий определить положение внутреннего переходного слоя (т.е.
точки x∗ ) в момент времени t ∈ (0; T ] спроизвольной точностью по ε, доказана теорема существования решения.13Обоснование формальной асимптотики задачи (3) проводилось с помощью асимптотического метода дифференциальных неравенств. С этой целью были построены верхнее и нижнее решения задачи (3). Верхнее и нижнее решения — это функции, полученные путем модификации асимптотических разложений (n+1)–го порядка, для которых выполняются условия:Условие 1U ≤ U,V ≤ V , (x, t) ∈ D̄T = {[0; 1] × (0; T ]}.Условие 2L1ε (U , v) := ε4 U xx − ε2 U t − f U , v, x, ε < 0 < L1ε (U , v)при V ≤ v ≤ V , (x, t) ∈ D̄T ,L2ε (u, V ) := ε2 V xx − ε2 V t − g u, V , x, ε < 0 < L2ε (u, V )при U ≤ u ≤ U , (x, t) ∈ D̄T .Условие 3∂U ≤0≤∂x x=0∂U ≤0≤∂x x=1∂U ,∂x x=0∂U ,∂x x=1∂V ≤0≤∂x x=0∂V ≤0≤∂x x=1∂V ,∂x x=0∂V , 0 < t ≤ T.∂x x=1Четвертое требование определяет условие на скачок производной верхнего и нижнего решений в точках сшивания.
Для верхнего решения точкасшивания сдвинута влево относительно точки x = Xn+1 (t), задающей положение фронта в момент времени t с точностью O(εn+2 ), а для нижнего— вправо относительно точки x = Xn+1 (t). Величина сдвига определяетсяспециально задаваемой положительной функцией δ(t).Условие 4 (−) (−)∂ Ū∂ Ū (+)∂ V̄∂ V̄ (+)−≥ 0,−≥ 0,∂x∂x x=Xn+1 (t)−δ(t)∂x∂x x=Xn+1 (t)−δ(t)0 < t ≤ T.14(−)(+)∂U∂U−∂x∂x!(−)≤ 0,x=Xn+1 (t)+δ(t)(+)∂V∂V−∂x∂x!≤ 0,x=Xn+1 (t)+δ(t)0 < t ≤ T.Теорема 3. При выполнении условий С1–С6 для любых достаточногладких начальных функций u0 (x), v0 (x), лежащих между верхним Ū , V̄и нижним U , V решениями:U (x, 0, ε) < u0 (x) < Ū (x, 0, ε),V (x, 0, ε) < v0 (x) < V̄ (x, 0, ε)существует решение u(x, t, ε), v(x, t, ε) задачи (3), которое при любомt ∈ [0; T ] заключено между этими верхним и нижним решениями и длякоторого функции Un (x, t, ε), Vn (x, t, ε) являются равномерным в областиD̄T : (x, t) ∈ [0; 1] × (0; T ] асимптотическим приближением с точностьюO(εn+1 ).Здесь функции Un (x, t, ε), Vn (x, t, ε) — это частичные суммы асимптотических рядов, состоящие из регулярной части, функций переходного слояи функций пограничных слоев.Список цитированной литературы:1.
Тихонов А.Н. О зависимости решений дифференциальных уравненийот малого параметра. // Матем. сб., 1948, Т.22(64), N 2, с. 193-204.2. Тихонов А.Н. О системах дифференциальных уравнений, содержащих параметры. // Матем. сб., 1950, Т.27(69), N 1, с. 147-156.3. Тихонов А.Н.
Системы дифференциальных уравнений, содержащиемалые параметры. //Матем. сб., 1952, Т.31(73), N 3, с. 575-586.4. Васильева А.Б., Бутузов В.Ф. Асимптотические методы в теории сингулярных возмущений. М.: Высш. школа, 1990.5. Соколов А.А, Лоскутов Ю.М, Тернов И.М. Квантовая механика. М.:Просвещение, 1965.6. Найфэ А. Методы теории возмущений. М.: Мир, 1976.157. Нефедов Н.Н. Метод дифференциальных неравенств для некоторыхклассов нелинейных сингулярно возмущенных задач с внутреннимислоями.
//Дифференц. уравнения. 1995. Т.31. N 7. С. 1142–1149.8. FitzHugh R.A. Impulses and physiological states in theoritical models ofnerve membrane. // Biophys. J. 1961. p. 445–466.9. Атауллаханов Ф.И. и др. Особый класс автоволн — автоволны с остановкой — определяет пространственную динамику свертывания крови. // УФН. 2002.
Т.172. N 6. С. 671–690.10. Murray J.D. A pre-pattern formation mechanism for animal coat marking.//J. Theor. Biol. 1981. 88(1): 161–199.Основные результаты диссертации опубликованы в работах:1. Мельникова А.А. Контрастная структура типа ступеньки в сингулярно возмущенной системе эллиптических уравнений с разными степенями малого параметра. //XVI Международная конференция студентов, аспирантов и молодых ученых по фундаментальным наукам«Ломоносов-2009». Секция «Физика».
Сборник тезисов. М.: Физич.ф–т МГУ, 2009. С. 61.2. Левашова Н.Т., Мельникова А.А. Контрастная структура типа ступеньки в сингулярно возмущенной системе дифференциальных уравнений второго порядка с разными степенями малого параметра. (Труды 20-х чтений РГСУ, 29 января — 2 февраля 2010 года). Часть I. М.: АПКиППРО, 2010. C. 48-56.3. Мельникова А. А. Контрастная структура типа ступеньки в сингулярно возмущенной системе уравнений. // Международная конференция студентов, аспирантов и молодых ученых по фундаментальным наукам «Ломоносов-2010».
Секция «Физика». Сборник тезисов.Том 1. М.: Физич. ф-т МГУ, 2010. С. 143–145.4. Левашова Н.Т., Мельникова А.А. О контрастных структурах в системе эллиптических уравнений с разными степенями малого параметра.16//Научная конференция «Тихоновские чтения 2010». Тезисы докладов. С.54–55.5.
Левашова Н.Т., Мельникова А.А. Условия существования контрастной структуры типа ступеньки в сингулярно возмущенной системеэллиптических уравнений с различными степенями малого параметра. Математические методы и приложения (труды двадцатых математических чтений РГСУ) 2011. C.89–91.6. Левашова Н.Т., Мельникова А.А. Решение вида контрастных структур типа ступеньки для системы эллиптических уравнений с двумятипами функций переходного слоя. //Научная конференция «Тихоновские чтения 2011».
Тезисы докладов. С.46–47.7. Левашова Н.Т., Мельникова А.А. Двумерная контрастная структура. Математические методы и приложения (труды двадцать первыхматематических чтений РГСУ) с.64–69, 2012.8. Бутузов В.Ф., Левашова Н.Т., Мельникова А.А. Контрастная структура типа ступеньки в сингулярно возмущенной системе уравненийс различными степенями малого параметра //Ж. вычисл. матем. иматем. физ. 2012, том 52, N 11, с. 1983–2003.9. Butuzov V. F., Levashova N. T., Mel’nikova A. A.
Steplike contraststructure in a singularly perturbed system of equations with differentpowers of small parameter //Computational Mathematics andMathematical Physics. 2012. Vol. 52. No. 11. pp. 1526-1546.10. Левашова Н.Т., Мельникова А.А. Контрастная структура типа ступеньки в системе параболических уравнений.
// Материалы научнойконференции «Тихоновские чтения 2012». с.52.11. Левашова Н.Т., Мельникова А.А. Контрастная структура типа ступеньки в системе параболических уравнений. // Функциональныепространства. Дифференциальные операторы. Общая топология. Проблемы математического образования: Тезисы докладов Четвертой Международной конференции, посвященной 90-летию со дня рождения17члена-корреспондента РАН, академика Европейской академии наукЛ.Д.
Кудрявцева). - М.:РУДН, 2013. С. 304–305.12. Мельникова А.А. Контрастная структура типа ступеньки в сингулярно возмущенной системе уравнений с различными степенями малогопараметра. В обзоре «О работе НОЦ «Нелинейная динамика»». Модел. и анализ информ. систем. 2013. Т.20. N 1. С. 160–168.13. Бутузов В.Ф., Левашова Н.Т., Мельникова А.А. Контрастная структура типа ступеньки в сингулярно возмущенной системе эллиптических уравнений. //Ж. вычисл. матем. и матем. физ. 2013. Т. 53. N 9.С. 1427–1447.14. Butuzov V. F., Levashova N. T., Mel’nikova A. A. Steplike contraststructure in a singularly perturbed system of elliptic equations.//Computational Mathematics and Mathematical Physics.
2013. Vol. 53.No. 9. pp. 1239-1259.18.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
