КГД уравнения и алгоритмы их решения на неструктурированных сетках (1103375)

Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла

На правах рукописиСЕРЁГИН Вадим ВалерьевичКГД УРАВНЕНИЯ И АЛГОРИТМЫ ИХ РЕШЕНИЯ НАНЕСТРУКТУРИРОВАННЫХ СЕТКАХСпециальность 05.13.18Математическое моделирование, численные методы и комплексы программАВТОРЕФЕРАТдиссертации на соискание ученой степеникандидата физико-математических наук.Москва2005Работа выполнена на кафедре математики физического факультета МГУ им. М.В.Ломоносова.Научный руководитель:докторфизико-математическихнаук,профессор Т. Г. ЕлизароваОфициальные оппоненты:доктор физико-математических наук,профессор В.Ф. Тишкиндоктор физико-математических наук,Н.

В. АрделянВедущая организация:Институт теплофизики экстремальныхсостояний Российской Академии НаукЗащита диссертации состоится «___» _______________ 2005 г. в ____часов на заседании Диссертационного Совета К 501.001.17 приМосковском государственном университете имени М.В. Ломоносова поадресу:119992, Москва, Ленинские горы, МГУ, физический факультет, ауд.№______.С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке физическогофакультета МГУ.Автореферат разослан «___» _______________ 2005 г.Ученый секретарьДиссертационного Совета К 501.001.17,доктор физико-математических наук_________________П.А. Поляков2Общая характеристика работыАктуальность.

Разработка новых подходов к численному решению задачгазовой динамики является актуальной проблемой. Успех решения задач газовойдинамики во многом зависит от качества используемых в расчетах сеток.Исследования газодинамических течений в областях с криволинейной границейоколо тел сложной формы требуют применения специальных сеточных разбиенийрасчетной области. В последнее время получили все большее распространениенеструктурированные сетки.

Такие сетки позволяют хорошо аппроксимироватьграницы области расчета и характерные особенности течений.Нетрадиционным подходом к построению алгоритмов расчета вязких теченийявляется использование квазигазодинамических (КГД) уравнений, которыеотличаются от уравнений Навье-Стокса дополнительными диссипативнымислагаемыми с малым параметром в качестве коэффициента1,2.

КГД уравнениярасширяют возможность классической модели Навье-Стокса в случае описаниятечений вязкого сжимаемого газа. В области применимости уравнений НавьеСтокса дополнительная диссипация, входящая в КГД уравнения, слабо влияет нарешение, но обеспечивает устойчивость численных алгоритмов.Цель работы состоит• в создании численного алгоритма расчета течений вязкого сжимаемого газа,основанных на КГД уравнениях, на неструктурированных (треугольных)сетках;• в написании комплекса программ, реализующий этот алгоритм;• в апробации программ на тестовых задачах и сравнении результатов симеющимися данными, полученными на основе системы уравнений Эйлера,Навье-Стокса и метода прямого моделирования Монте-Карло.Научная новизна.

На основе предложенных ранее подходов КГД уравненияпредставлены в виде локальных законов сохранения для немоноатомного газа, тоесть газа, обладающего внутренними степенями свободы. В этом случаевыделение диссипативных слагаемых типа Навье-Стокса приводит к построениюприближенной формулы для коэффициента объемной вязкости.Построены аппроксимации КГД уравнений на неструктурированных(треугольных) сетках для двумерных расчетных областей в цилиндрической идекартовой системах координат.

Разностные аппроксимации строятся в потоковойформе непосредственно для векторов плотности потока массы, теплового потокаи тензора вязких напряжений, что соответствует записи КГД уравнений в видезаконов сохранения. На основе предложенных аппроксимаций строятся явныеразностные схемы для решения нестационарных задач газовой динамики.Елизарова Т.Г., Четверушкин Б. Н.

// ЖВМ и МФ. 1985. Т. 25, №10. С. 1526.Шеретов Ю. В. Математическое моделирование течений жидкости и газа на основеквазигидродинамических и квазигазодинамических уравнений. Тверь, 2000.123Практическаяценность.Построенныйалгоритмрешенияквазигазодинамической системы уравнений реализован в виде программ,написанных на языке C# и снабжены комментариями.

Программный комплексимеет модульную структуру и допускает дальнейшее дополнение и развитие.На основе построенных алгоритмов проведено численное моделированиехарактерныхнестационарныхтечений,которыедемонстрируютработоспособность и точность построенного алгоритма.Проведено численное исследование задачи о возможности формированииударной структуры в атмосфере кометы Хуакутаке (Hyakutake).Апробацияобсуждались:работы.Основныерезультатыработыдокладывалисьи— на Международной конференции студентов и аспирантов по фундаментальнымнаукам "Ломоносов-2004", секция "Физика", Физический факультет МГУ, 2004;— на II Международной конференции "Математические идеи П.Л.

Чебышева и ихприложение к современным проблемам естествознания", Обнинск, 2004;— на Международной конференции студентов и аспирантов по фундаментальнымнаукам "Ломоносов-2005", секция "Физика", Физический факультет МГУ, 2005.(доклад признан лучшим в секции «физика»)— на научном семинаре в Институте теплофизики экстремальных состоянийРАН. Москва (14 июля, 2005 г).— на научном семинаре в Институте математического моделирования РАН (отдел№6).

Москва (23 августа, 2005 г).Работа выполнена при поддержке гранта Президента РФ №НШ-1918.2003.1 ипроекта РАН № 29.Публикации. Основные результаты диссертации опубликованы в 6 работах.Список публикаций приведен в конце автореферата.Структура диссертации. Диссертация состоит из введения, пяти глав,заключения, списка литературы и приложений.

Текст изложен на 119 страницах,диссертация содержит 61 иллюстрацию. Список литературы включает 70наименований.4Содержание работыВо введении обоснована актуальность темы диссертации,характеристика работы и краткое изложение содержания по главам.даетсяВ первой главе КГД уравнения, полученные на основе кинетической модели,представлены в виде законов сохранения для немоноатомного газа.Дифференциальная форма законов сохранения в обычных обозначениях имеетвид:⎧ ∂ρ⎪ + div jm = 0,⎪ ∂t⎪ ∂ρ u+ div( jm ⊗ u) + ∇p = div Π ,⎨⎪ ∂t⎪ ∂E⎡j⎤+ div ⎢ m ( E + p ) ⎥ + div q = div ( Π u ) ,⎪⎣ρ⎦⎩ ∂t(1)где ρ , u , p , T - плотность, скорость и давление газа, E - полная энергия, jm вектор плотности потока массы, Π - тензор вязких напряжений, q - вектортеплового потока.

Конкретный вид потоков системы (1) определяется изсопоставления системы КГД уравнений, основанных на кинетической модели, исистемы КГД уравнений, записанной на основе законов сохранения (параграфы1.1 – 1.3). Получившийся результат имеет вид:jm = jNS −τ ( div( ρu⊗u) +∇p) ,Π=ΠNS +τu⊗⎡⎣ρ ( u⋅∇) u+∇p⎤⎦ +τI ⎡⎣( u⋅∇) p+γ pdivu⎤⎦ ,⎡⎛ 1 ⎞⎤q=qNS −τρu⎢( u⋅∇) ε + p( u⋅∇) ⎜ ⎟⎥.⎝ ρ ⎠⎦⎣Слагаемые с индексом NS соответствуют выражениям в системе уравненийНавье-Стокса. Выделение диссипативных слагаемых типа Навье-Стокса приводитк построению приближенной формулы для коэффициента второй (объемной)вязкости, входящей в тензор вязких напряжений Навье-Стокса Π NS (параграф 1.4).Эту формулу можно представить в виде:⎛5⎞ζ = µ ⎜ −γ ⎟,⎝3⎠здесь µ – динамическая вязкость, γ – показатель адиабаты.

Для одноатомного газаγ = 5 3 и ζ = 0 , в противном случае, при наличии колебательных и вращательныхстепеней свободы молекулы, γ < 5 3 и ζ > 0 .5Параметр τ характеризует масштаб временного сглаживания и может бытьвычислен по формуле τ = µ ( Sc ⋅ p ) , где µ - коэффициент динамическойвязкости, Sc - число Шмидта.В последнем параграфе этой главы для стационарного случая показано, чтоКГД добавки имеют порядок малости O(τ 2 ) .Во второй главе система КГД уравнений выписана в произвольнойортогональной системе координат, а также в декартовой и цилиндрическойсистемах координат, которые в дальнейшем используются для построенияразностных схем.Третья глава посвящена аппроксимации системы КГД уравнений натреугольной сетке, построению и тестированию алгоритма решенияполучившихся разностных уравнений.Сетка строится исходя из принципа триангуляции Делоне, а число ее узловвыбирается достаточным для обеспечения нужной точности решения.

Дляпостроения разностной схемы используется интегро-интерполяционный метод.Система КГД уравнений интегрируется по контрольной ячейке (см рис. 1).Контрольнаяячейкаограниченаконтуром,соединяющимцентрысоответствующих треугольников сетки. Центры треугольников выбираются какточки пересечения медиан. Газодинамические величины определяются в узлахсетки.Рис. 1. Сетка и контрольная ячейкаВ обобщенном виде получившуюся явную по времени разностную схемуможно записать в виде:∆tUˆ i = U i − ∑ ⎡⎣Wx ( Pk +1/ 2 )nx ( Pk +1/ 2 ) + Wy ( Pk +1/ 2 )n y ( Pk +1/ 2 ) ⎤⎦Lk ,S kздесь6(2)⎛⎞⎛ρ ⎞⎜ −j⎟⎜⎟m⎜⎟uρx ⎟, W = ⎜ Π − jm ⊗ u − pe ⎟ ,U=⎜⎜ ρu y ⎟⎜⎟E+ p ⎟⎜⎜⎟⎟⎜⎜ Π u − q − ρ jm ⎟⎝E ⎠⎝⎠Uˆ i - значение U i на следующем слое по времени, e - базисный вектор, L – контурячейки, по которой ведется интегрирование, Lk -отрезки, из который состоитконтур L, Pk +1/ 2 - серединный узел отрезка Lk, n = ( nx , ny ) - вектор нормали к контуруL, S- площадь области, ограниченной контуром L, ∆t - шаг по времени.Частные производные, входящие в разностную схему (2), определяются наоснове производных по направлению или с использованием формулы Грина(параграф 3.3).В параграфе 3.5 проведено тестирование алгоритма на задаче о распадесильного разрыва.

В параграфе 3.6 решается задача о точечном взрыве (см. рис.2). Обе задачи имеют автомодельное решение.1100011000rho1.341.281.211.151.091.020.960.900.830.770.710.650.580.520.46900080007000r6000500040003000100009000800070006000r100005000400030002000200010001000005000z01000005000z10000Рис. 2. Распределение плотности (слева) и картины течения (справа) для задачио точечном взрывеВ параграфе 3.7 рассматривается дозвуковове обтекание круговогоцилиндра. При маленьких числах Рейнольдса Re < 20 в следе за цилиндромобразуется стационарное течение (см. рис.

3). При Re > 20 наблюдается дорожкаКармана (см. рис. 4).7108y642005x1015Рис. 3. Распределение линий тока для числа Рейнольдса Re=10108y642005x1015Рис. 4. Распределение линий тока в автоколебательном процессе для числаРейнольдса Re=50В четвертой главе проведено исследование задачи о возможностиформировании ударной структуры в атмосфере кометы Хуакутаке (Hyakutake).Комета рассматривается как двухядерное образование (см.

рис. 5).8Рис. 5. Постановка задачи и область расчетаМоделирование газодинамического течения в атмосфере кометы, состоящей изводяного пара, представляет собой сложную задачу, основными аспектамикоторой являются значительный перепад плотности частиц и их температуры вблизи ядра плотность окружающего газа составляет 3.3 10-7 кг/м3, температураоколо 200 градусов Кельвина, на расстоянии около 2 000 км - соответственно, 1.410-13 кг/м3 и при температуре около 5 градусов Кельвина. Число Маха варьируетсяот 1 вблизи поверхности ядра до 50 вдали от ядра.Рассматривается течение, образующееся в окрестности двух ядер кометы(рис.5).

Характеристики

Тип файла PDF

PDF-формат наиболее широко используется для просмотра любого типа файлов на любом устройстве. В него можно сохранить документ, таблицы, презентацию, текст, чертежи, вычисления, графики и всё остальное, что можно показать на экране любого устройства. Именно его лучше всего использовать для печати.

Например, если Вам нужно распечатать чертёж из автокада, Вы сохраните чертёж на флешку, но будет ли автокад в пункте печати? А если будет, то нужная версия с нужными библиотеками? Именно для этого и нужен формат PDF - в нём точно будет показано верно вне зависимости от того, в какой программе создали PDF-файл и есть ли нужная программа для его просмотра.

Список файлов диссертации