Исследование нелинейных анормальных задач и динамических управляемых систем (1103188), страница 4
Текст из файла (страница 4)
Ïóñòü çàäàíû18ñèììåòðè÷íûå ìàòðèöû Q0 , Q1 , ..., Qk ðàçìåðíîñòè n × n ñ äåéñòâèòåëüíûìè ýëåìåíòàìè, ïðè÷åì ýòè ìàòðèöû ïîïàðíî êîììóòèðóþò. Îïðåäåëèì êâàäðàòè÷íóþ ôîðìó q0 : Rn → R è êâàäðàòè÷íîå îòîáðàæåíèåQ : Rn → Rk ïî ôîðìóëàìq0 (x) = ⟨Q0 x, x⟩, Q(x) = ⟨Q1 x, x⟩.. , x = (x1 , . . . , xn ) ∈ Rn ..⟨Qk x, x⟩Èíûìè ñëîâàìè, êâàäðàòè÷íîå îòîáðàæåíèå ýòî âåêòîð-ôóíêöèÿ, êàæäàÿ êîîðäèíàòà êîòîðîé ÿâëÿåòñÿ êâàäðàòè÷íîé ôîðìîé.Ðàññìîòðèì çàäà÷ó îïòèìàëüíîãî óïðàâëåíèÿ ñ ëèíåéíîé äèôôåðåíöèàëüíîé ñâÿçüþ, êâàäðàòè÷íûì ôóíêöèîíàëîì è êâàäðàòè÷íûìè êîíöåâûìè îãðàíè÷åíèÿìèq0 (x(1)) → min, ẋ = A(t)x + B(t)u, t ∈ [0, 1],x(0) = 0, Q(x(1)) = y.(16)Çäåñü t ∈ [0, 1] âðåìÿ, x ∈ Rn ôàçîâàÿ ïåðåìåííàÿ, u ∈ Rm óïðàâëÿþùèé ïàðàìåòð, A(t) è B(t) íåïðåðûâíûå ìàòðèöû-ôóíêöèè ñîîòâåòñòâóþùèõ ðàçìåðíîñòåé, y çàäàííûé âåêòîð èç Rk .Äîïóñòèìûì ïðîöåññîì â çàäà÷å (16) íàçîâåì ïàðó (x(·), u(·)) òàêóþ,÷òî àáñîëþòíî íåïðåðûâíàÿ ôóíêöèÿ x(·) ÿâëÿåòñÿ ðåøåíèåì çàäà÷è Êîøè ẋ = A(t)x + B(t)u, x(0) = 0, è óäîâëåòâîðÿåò óñëîâèþ Q(x(1)) = y,à óïðàâëåíèå u(·) ÿâëÿåòñÿ èçìåðèìûì ñóùåñòâåííî îãðàíè÷åííûì.
Ïîäðåøåíèåì çàäà÷è (16) áóäåì ïîíèìàòü äîïóñòèìûé ïðîöåññ (bx(·), ub(·)),íà êîòîðîì äîñòèãàåòñÿ óñëîâíûé ìèíèìóì ôóíêöèîíàëà (x(·), u(·)) 7→q0 (x(1)).Áóäåì ïðåäïîëàãàòü, ÷òî êâàäðàòè÷íîå îòîáðàæåíèå Q ñþðúåêòèâíî,òî åñòü Q(Rn ) = Rk . Äëÿ êàæäîãî y ∈ Rk , ÷åðåç ω(y) îáîçíà÷èì îïòèìàëüíîå çíà÷åíèå â çàäà÷å (16), òî åñòü{}ω(y) = inf q0 (x(1)) : ẋ = A(t)x+B(t)u, t ∈ [0, 1], x(0) = 0, Q(x(1)) = y .19Òàêèì îáðàçîì îïðåäåëèì â çàäà÷å (16) ôóíêöèþ ìèíèìóìà ω : Rk →R∪{∞}.Öåëüþ ïàðàãðàôà 3.4 ÿâëÿåòñÿ èññëåäîâàíèå äèôôåðåíöèàëüíûõ èòîïîëîãè÷åñêèõ ñâîéñòâ ôóíêöèè ω.
Ñâîéñòâà ôóíêöèè ìèíèìóìà â ðàçëè÷íûõ çàäà÷àõ îïòèìèçàöèè è îïòèìàëüíîãî óïðàâëåíèÿ èçó÷àþòñÿ âîìíîãèõ ðàáîòàõ. Òàê, íàïðèìåð, Ô. Êëàðêîì â15èññëåäîâàíà ôóíêöèÿìèíèìóìà äëÿ çàäà÷è ìèíèìèçàöèè ôóíêöèîíàëà f : Rn → R ïðè îãðàíè÷åíèÿõ òèïà ðàâåíñòâ è íåðàâåíñòâ è ãåîìåòðè÷åñêèõ îãðàíè÷åíèÿõx ∈ C ⊂ Rn .  ïðåäïîëîæåíèè, ÷òî çíà÷åíèå ôóíêöèè ìèíèìóìà êîíå÷íî â íóëå è ìíîæåñòâà {x ∈ C : f (x) ≤ r} êîìïàêòíû äëÿ âñåõr ∈ R, ïîëó÷åíà ôîðìóëà äëÿ îáîùåííîãî ãðàäèåíòà ôóíêöèè ìèíèìóìà,à òàêæå óñëîâèÿ ñòðîãîé äèôôåðåíöèðóåìîñòè ôóíêöèè ìèíèìóìà.
À.Äîí÷åâûì â16èñïîëüçóåòñÿ íåñêîëüêî äðóãîé ïîäõîä ê èçó÷åíèþ ïîâå-äåíèÿ ôóíêöèè ìèíèìóìà òåîðèÿ ÷óâñòâèòåëüíîñòè. Ðàññìàòðèâàåòñÿçàäà÷à óñëîâíîé ìèíèìèçàöèè â ôóíêöèîíàëüíûõ ïðîñòðàíñòâàõ. Ïðèâîäÿòñÿ îöåíêè ôóíêöèè ìèíèìóìà, çàâèñÿùèå îò ïàðàìåòðà. À.Â. Àðóòþíîâûì â17èññëåäîâàíû ñâîéñòâà ôóíêöèè ìèíèìóìà äëÿ êâàäðàòè÷íîéçàäà÷è ìèíèìèçàöèè.Ïðèâåäåì îñíîâíîé ðåçóëüòàò, ïîëó÷åííûé â ïàðàãðàôå 3.4. Ðàññìîòðèì ñèñòåìó Ψ̇ = −A∗ (t)Ψ, Ψ(0) = E,(17)ãäå E åäèíè÷íàÿ ìàòðèöà. Òàêèì îáðàçîì, Ψ ôóíäàìåíòàëüíàÿ ìàòðèöà ñèñòåìû Ψ̇ = −A∗ (t)Ψ.
Îáîçíà÷èì ÷åðåç ξi (t), i = 1, n, ñòîëáöûìàòðèöû B ∗ (t)Ψ(t), t ∈ [0, 1].Òåîðåìà 6 Ïðåäïîëîæèì, ÷òî âûïîëíÿþòñÿ ñëåäóþùèå óñëîâèÿ:15 ÊëàðêÔ. Îïòèìèçàöèÿ è íåãëàäêèé àíàëèç. Ì. : Íàóêà, 1988.À. Ñèñòåìû îïòèìàëüíîãî óïðàâëåíèÿ. Âîçìóùåíèÿ, ïðèáëèæåíèÿ è àíàëèç ÷óâñòâè-16 Äîí÷åâòåëüíîñòè. Ì. : Ìèð, 1987.17 Àðóòþíîâ À. Â. Ñâîéñòâà ôóíêöèè ìèíèìóìà â êâàäðàòè÷íîé çàäà÷å // Ìàòåì. çàìåòêè. 2013. Ò.
94, 1. Ñ. 3645.20à)n∑λi ξi (t) ̸≡ 0 äëÿ âñåõ λ = (λ1 , ..., λn ) ̸= 0;i=1á) q0 (x) ≥ 0 äëÿ âñåõ x, òàêèõ ÷òî Q(x) = 0.Òîãäà1) ôóíêöèÿ ω âûïóêëà;2) ôóíêöèÿ ω óäîâëåòâîðÿåò óñëîâèþ Ëèïøèöà;3) ôóíêöèÿ ω äèôôåðåíöèðóåìà âî âñåõ òî÷êàõ ïðîñòðàíñòâà Rk , êðîìå, áûòü ìîæåò, òî÷åê, ïðèíàäëåæàùèõ îáúåäèíåíèþ êîíå÷íîãî ÷èñëàñîáñòâåííûõ ïîäïðîñòðàíñòâ.Îñíîâíûå ðåçóëüòàòû òðåòüåé ãëàâû îïóáëèêîâàíû â [1], [2], [6] [8]. çàêëþ÷åíèè ñôîðìóëèðîâàíû îñíîâíûå ðåçóëüòàòû è âûâîäû, ïîëó÷åííûå â äèññåðòàöèè.21ÎÑÍÎÂÍÛÅ ÐÅÇÓËÜÒÀÒÛ, ÂÛÍÎÑÈÌÛÅ ÍÀ ÇÀÙÈÒÓ• Ïîëó÷åíû äîñòàòî÷íûå óñëîâèÿ ëîêàëüíîé ðàçðåøèìîñòè óïðàâëÿåìûõ ñèñòåì äèôôåðåíöèàëüíûõ óðàâíåíèé ñî ñìåøàííûìè îãðàíè÷åíèÿìè.• Ïîëó÷åíû äîñòàòî÷íûå óñëîâèÿ ëîêàëüíîé ðàçðåøèìîñòè óïðàâëÿåìûõ ñèñòåì äèôôåðåíöèàëüíûõ âêëþ÷åíèé ñî ñìåøàííûìè îãðàíè÷åíèÿìè.• Ïîëó÷åíû íåîáõîäèìûå óñëîâèÿ îïòèìàëüíîñòè âòîðîãî ïîðÿäêà äëÿäèñêðåòíîé çàäà÷è îïòèìàëüíîãî óïðàâëåíèÿ.• Ïîëó÷åíû íåîáõîäèìûå óñëîâèÿ îïòèìàëüíîñòè âòîðîãî ïîðÿäêà äëÿîñîáûõ óïðàâëåíèé äëÿ çàäà÷è îïòèìàëüíîãî óïðàâëåíèÿ ñ íåïðåðûâíûì âðåìåíåì.• Ïîëó÷åíû óñëîâèÿ âûïóêëîñòè, ëèïøèöåâîñòè è äèôôåðåíöèðóåìîñòè ôóíêöèè ìèíèìóìà äëÿ çàäà÷è îïòèìàëüíîãî óïðàâëåíèÿ ñ ëèíåéíîé äèôôåðåíöèàëüíîé ñâÿçüþ, êâàäðàòè÷íûì ôóíêöèîíàëîì èêâàäðàòè÷íûìè êîíöåâûìè îãðàíè÷åíèÿìè.• Äîêàçàíà òåîðåìà î íåÿâíîé ôóíêöèè â îêðåñòíîñòè àíîðìàëüíîéòî÷êè (ò.å.
òî÷êè, â êîòîðîé íàðóøàåòñÿ óñëîâèå ðåãóëÿðíîñòè Ðîáèíñîíà).22ÏÓÁËÈÊÀÖÈÈ ÀÂÒÎÐÀ ÏÎ ÒÅÌÅ ÄÈÑÑÅÐÒÀÖÈÈ1. Àðóòþíîâ À. Â., Æóêîâñêàÿ (Ìèíãàëååâà) Ç. Ò., Æóêîâñêèé Ñ. Å.Äèôôåðåíöèàëüíûå ñâîéñòâà ôóíêöèè ìèíèìóìà äëÿ äèàãîíàëèçèðóåìûõ êâàäðàòè÷íûõ çàäà÷ // Æ. âû÷èñë. ìàòåì. è ìàòåì. ôèç. 2012. Ò. 52, 10. Ñ. 1768-1777.2. Æóêîâñêàÿ (Ìèíãàëååâà) Ç. Ò. Ñâîéñòâà ôóíêöèè ìèíèìóìà â çàäà÷å îïòèìàëüíîãî óïðàâëåíèÿ // Âåñòíèê Òàìáîâñêîãî óíèâåðñèòåòà.Ñåðèÿ: Åñòåñòâåííûå è òåõíè÷åñêèå íàóêè. 2015. Ò. 20, Âûï.
2. Ñ. 303-307.3. Æóêîâñêàÿ (Ìèíãàëååâà) Ç. Ò., Æóêîâñêèé Ñ. Å. Äîñòàòî÷íûå óñëîâèÿ ëîêàëüíîé ðàçðåøèìîñòè óïðàâëÿåìîé ñèñòåìû // Âåñòíèê Òàìáîâñêîãî óíèâåðñèòåòà. Ñåðèÿ: Åñòåñòâåííûå è òåõíè÷åñêèå íàóêè. 2015. Ò. 20, Âûï. 1. Ñ.
31-40.4. Æóêîâñêàÿ (Ìèíãàëååâà) Ç. Ò., Æóêîâñêèé Ñ. Å. Î ðàçðåøèìîñòèóïðàâëÿåìûõ ñèñòåì // Âåñòíèê Òàìáîâñêîãî óíèâåðñèòåòà. Ñåðèÿ:Åñòåñòâåííûå è òåõíè÷åñêèå íàóêè. 2014. Ò. 19, 2. Ñ. 380-382.5. Æóêîâñêàÿ (Ìèíãàëååâà) Ç. Ò., Æóêîâñêèé Ñ. Å. Ñóùåñòâîâàíèå èíåïðåðûâíîñòü íåÿâíîé ôóíêöèè â îêðåñòíîñòè àíîðìàëüíîé òî÷êè// Âåñòíèê ÌÃÓ.
2012. Ñåð. 15, 2. Ñ. 10-15.6. Æóêîâñêàÿ (Ìèíãàëååâà) Ç. Ò., Øâàðöìàí È. À. Íåîáõîäèìûå óñëîâèÿ âòîðîãî ïîðÿäêà äëÿ äèñêðåòíîé çàäà÷è îïòèìàëüíîãî óïðàâëåíèÿ // Äèôôåðåíöèàëüíûå óðàâíåíèÿ. 2014. Ò. 50, 12. Ñ.1640-1646.7. Æóêîâñêàÿ (Ìèíãàëååâà) Ç.
Ò., Øâàðöìàí È. À. Óñëîâèÿ îïòèìàëüíîñòè äëÿ îñîáûõ óïðàâëåíèé // Âåñòíèê Òàìáîâñêîãî óíèâåðñèòåòà.Ñåðèÿ: Åñòåñòâåííûå è òåõíè÷åñêèå íàóêè. 2013. Ò. 18, 5. Ñ.2609-2611.238. Zhukovskaya (Mingaleeva) Z. T., Shvartsman I. A. Second OrderOptimality Conditions for Singular Controls // Numerical FunctionalAnalysis and Optimization. 2014. Vol. 35. P. 1245-1257.24.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
