Исследование нелинейных анормальных задач и динамических управляемых систем (1103188), страница 3
Текст из файла (страница 3)
Áóäåìïðåäïîëàãàòü, ÷òî îòîáðàæåíèÿ F è G óäîâëåòâîðÿþò óñëîâèÿì Êàðàòåîäîðè, òî åñòü:1) îòîáðàæåíèÿ F (·, x, z, u) è G(·, x, u) èçìåðèìû äëÿ âñåõ x, z ∈ Rn ,u ∈ U;2) îòîáðàæåíèÿ F (t, ·) è G(t, ·) íåïðåðûâíû äëÿ ï.â. t ∈ [t0 , t1 ];3) äëÿ êàæäîãî R > 0 ñóùåñòâóåò ÷èñëî M > 0 òàêîå, ÷òî åñëè|x| + |z| + |u| ≤ R, òî |y| ≤ M äëÿ ï.â. t ∈ [t0 , t1 ], äëÿ âñåõ y ∈ F (t, x, z, u).Ïðåæäå ÷åì ñôîðìóëèðîâàòü îñíîâíîé ðåçóëüòàò ïàðàãðàôà 2.2, íàïîìíèì íåîáõîäèìûå îïðåäåëåíèÿ. Ïóñòü X, Y ìåòðè÷åñêèå ïðîñòðàíñòâà ñ ìåòðèêàìè ρX , ρY , ñîîòâåòñòâåííî, è çàäàíî ÷èñëî α > 0.Îïðåäåëåíèå 2 (ñì.
5 ) Ìíîãîçíà÷íîå îòîáðàæåíèå F : X ⇒ Y íàçû5 ÀðóòþíîâÀ. Â. Íàêðûâàþùèå îòîáðàæåíèÿ â ìåòðè÷åñêèõ ïðîñòðàíñòâàõ è íåïîäâèæíûå òî÷êè// Äîêë. ÐÀÍ. 2007. Ò. 416, 2 Ñ. 151-155.12âàåòñÿ α-íàêðûâàþùèì, åñëèF (BX (x0 , r)) ⊇ BY (F (x0 ), αr) ∀r ≥ 0,∀x0 ∈ X.×èñëî α > 0 íàçûâàåòñÿ êîíñòàíòîé íàêðûâàíèÿ îòîáðàæåíèÿ F.Îïðåäåëåíèå 3 (ñì. 5 ) Áóäåì ãîâîðèòü, ÷òî ìíîãîçíà÷íîå îòîáðàæå-íèå F : X ⇒ Y óäîâëåòâîðÿåò óñëîâèþ Ëèïøèöà â êîíñòàíòîé L ≥ 0,åñëèh(F (x1 ), F (x2 )) ≤ LρX (x1 , x2 ) ∀x1 , x2 ∈ X. ýòîì îïðåäåëåíèè h ýòî îáîáùåííîå ðàññòîÿíèå ïî Õàóñäîðôó.Ïóñòü çàäàíû ôóíêöèè x0 ∈ AC∞ ([t0 , t1 ], Rn ), u0 ∈ L∞ ([t0 , t1 ], U ), f0 ∈L∞ ([t0 , t1 ], Rk ), g0 ∈ L∞ ([t0 , t1 ], Rs ) òàêèå, ÷òîf0 (t) ∈ F (t, x(t), ẋ(t), u(t)),˙ ∈ [t0 , t1 ].g0 (t) ∈ G(t, x(t), u(t)) ∀tÒåîðåìà 3 Ïðåäïîëîæèì, ÷òîa) îòîáðàæåíèÿ F (t, ·, v, u), F (t, x, v, ·), G(t, ·, u) óäîâëåòâîðÿþò óñëîâèþ Ëèïøèöà ñ êîíñòàíòàìè L1 ≥ 0, L2 ≥ 0 è L3 ≥ 0, ñîîòâåòñòâåííî,äëÿ ï.â.
t ∈ [t0 , t1 ], äëÿ âñåõ x, v ∈ Rn , u ∈ U ;b) îòîáðàæåíèÿ F (t, x, ·, u), G(t, x, ·) ÿâëÿþòñÿ íàêðûâàþùèìè ñ êîíñòàíòàìè αF > 0 è αG > 0, ñîîòâåòñòâåííî, äëÿ ï.â. t ∈ [t0 , t1 ], x ∈ Rn ,u ∈ U.Òîãäà óïðàâëÿåìàÿ ñèñòåìà (5) ëîêàëüíî ðàçðåøèìà. Ïðè÷åì äëÿ âñåõαF αGε > 0 è τ ∈ (0, τ0 ), ãäå τ0 =, ñóùåñòâóåò ðåøåíèå (x, u)L2 L3 + L1 αGñèñòåìû (5) íà îòðåçêå [t0 , t0 + τ ] òàêîå, ÷òî âûïîëíåíû îöåíêè][L2 ∥g0 ∥∞ + αG ∥f0 ∥∞˙ ∈ [t0 , t0 + τ ],)+ε∀t|x0 (t) − x(t)| ≤ τ (αF − τ L1 αG − τ L2 L3()αF − τ L1 ∥g0 ∥∞ + τ L3 ∥f0 ∥∞)(+ε|u0 (t) − u(t)| ≤αF − τ L1 αG − τ L2 L313˙ ∈ [t0 , t0 + τ ].∀tÎñíîâíûå ðåçóëüòàòû âòîðîé ãëàâû îïóáëèêîâàíû â [3], [4].Òðåòüÿ ãëàâà ïîñâÿùåíà ïðîáëåìàì îïòèìàëüíîãî óïðàâëåíèÿ è ñî-ñòîèò èç ÷åòûðåõ ïàðàãðàôîâ.
 ïàðàãðàôå 3.1 ïðèâåäåíû ïîñòàíîâêèçàäà÷ îïòèìàëüíîãî óïðàâëåíèÿ â äèñêðåòíîì è íåïðåðûâíîì âðåìåíè. Âïàðàãðàôå 3.2 ïîëó÷åíû íåîáõîäèìûå óñëîâèÿ îïòèìàëüíîñòè âòîðîãîïîðÿäêà äëÿ äèñêðåòíîé çàäà÷è îïòèìàëüíîãî óïðàâëåíèÿφ(x(N + 1)) → min, x(t + 1) = f (t, x(t), u(t)), t ∈ [0, N ],x(0) = x0 , u(t) ∈ U (t), t ∈ [0, N ].(6)Çäåñü N çàäàííîå íàòóðàëüíîå ÷èñëî èëè íóëü, t ∈ [0, N +1] := {0, 1, ..., N, N +1} äèñêðåòíîå âðåìÿ, x(t) ∈ Rn ôàçîâàÿ ïåðåìåííàÿ, u(t) ∈ Rm óïðàâëåíèå, f : [0, N ] × Rn × Rm → Rn è φ : Rn → R çàäàííûå ôóíêöèè, U : [0, N ] ⇒ Rm çàäàííîå ìíîãîçíà÷íîå îòîáðàæåíèå.(Äîïóñòèìûì ïðîöåññîì â çàäà÷å (6) áóäåì íàçûâàòü ïàðó (x, u), u =)()u(0), ..., u(N ) , u(i) ∈ Rm , x = x(0), ..., x(N + 1) , x(i) ∈ Rn , òàêóþ, ÷òîu óäîâëåòâîðÿåò óñëîâèþ u(t) ∈ U (t), t ∈ [0, N ], à x ÿâëÿåòñÿ ðåøåíèåìðàçíîñòíîãî óðàâíåíèÿ x(t + 1) = f (t, x(t), u(t)), t ∈ [0, N ], ñ íà÷àëüíûìóñëîâèåì x(0) = x0 .Äîïóñòèìûé ïðîöåññ (x̄, ū) íàçîâåì ëîêàëüíî îïòèìàëüíûì ïðîöåññîìâ çàäà÷å (6), åñëè φ(x̄(N + 1)) 6 φ(x(N + 1)) äëÿ âñåõ äîïóñòèìûõ ïðîöåññîâ (x, u) èç íåêîòîðîé îêðåñòíîñòè îïòèìàëüíîãî ïðîöåññà (x̄, ū).Ïðèâåäåì îñíîâíîé ðåçóëüòàò, ïîëó÷åííûé â ïàðàãðàôå 3.2.
Äëÿ p ∈Rn ïîëîæèìH(t, x, u, p) := pT f (t, x, u).Òåîðåìà 4 Ïóñòü (x, u) ëîêàëüíî îïòèìàëüíûé ïðîöåññ â çàäà÷å (6).Ïóñòü òàêæå ôóíêöèÿ φ óäîâëåòâîðÿåò óñëîâèþ Ëèïøèöà â îêðåñòíîñòè òî÷êè x̄(N +1), äèôôåðåíöèðóåìà â ýòîé òî÷êå è äëÿ âñåõ t ∈ [0, N ]âûïîëíÿþòñÿ ñëåäóþùèå ïðåäïîëîæåíèÿ: ôóíêöèÿ f (t, ·, ·) íåïðåðûâíà,14ôóíêöèÿ f (t, ·, ū(t)) äèôôåðåíöèðóåìà â òî÷êå x = x̄(t), ìíîæåñòâà U (t)çàìêíóòû, ìíîæåñòâà f (t, x̄(t), U (t)) âûïóêëû.Òîãäà ñóùåñòâóåò ðåøåíèå p : [0, N ] → Rn ñîïðÿæåííîé ñèñòåìûp(t) = Hx (t, x(t), u(t), p(t + 1)),t ∈ [0, N ],p(N + 1) = −φx (x(N + 1)),(7)äëÿ êîòîðîãî âûïîëíÿåòñÿ óñëîâèå ìàêñèìóìàH(t, x(t), u(t), p(t + 1)) = max H(t, x(t), u,p(t + 1)),u∈U (t)t ∈ [0, N ].(8)Îòìåòèì, ÷òî ïðèâåäåííàÿ òåîðåìà óñèëèâàåò èçâåñòíûå óñëîâèÿ îïòèìàëüíîñòè ïåðâîãî ïîðÿäêà (ñì.
6 ), ïîñêîëüêó â íåé ïðåäïîëàãàåòñÿ, ÷òîôóíêöèÿ f äèôôåðåíöèðóåìà ïî x ëèøü â òî÷êå x̄(t), à íå â öåëîé îêðåñòíîñòè òî÷êè x̄(t), è ëèøü ïðè u = ū(t). Ìíîæåñòâà äîïóñòèìûõ ñêîðîñòåéf (t, x̄(t), U (t)) ïðåäïîëàãàþòñÿ âûïóêëûìè òàêæå òîëüêî ïðè x = x̄(t), àíå â îêðåñòíîñòè òî÷êè x̄(t). ïàðàãðàôå 3.3 ïîëó÷åíû íåîáõîäèìûå óñëîâèÿ îïòèìàëüíîñòè âòîðîãî ïîðÿäêà äëÿ îñîáûõ óïðàâëåíèé äëÿ çàäà÷è îïòèìàëüíîãî óïðàâëåíèÿ ñ íåïðåðûâíûì âðåìåíåìφ(x(t1 )) → min, ẋ = f (t, x, u) ∀t˙ ∈ [t0 , t1 ],x(t0 ) = x0 , u(t) ∈ U (t) ∀t˙ ∈ [t0 , t1 ].(9)Çäåñü t0 , t1 ∈ R çàäàííûå ÷èñëà, t ∈ [t0 , t1 ] âðåìÿ, x ∈ Rn ôàçîâàÿïåðåìåííàÿ, u ∈ Rm óïðàâëåíèå, φ : Rn → R, f : [t0 , t1 ] × Rn ×Rm → Rn çàäàííûå ôóíêöèè, U : [t0 , t1 ] ⇒ Rm çàäàííîå ìíîãîçíà÷íîåîòîáðàæåíèå.Äîïóñòèìûì óïðàâëåíèåì â çàäà÷å (9) ÿâëÿåòñÿ òàêàÿ èçìåðèìàÿ ôóíêöèÿ u : [t0 , t1 ] → Rm , ÷òî u(t) ∈ U (t) äëÿ ïî÷òè âñåõ t ∈ [t0 , t1 ].
Ïàðó (x, u)áóäåì íàçûâàòü äîïóñòèìûì ïðîöåññîì, åñëè u ýòî äîïóñòèìîå óïðàâëåíèå, à x ðåøåíèå çàäà÷è Êîøè ẋ = f (t, x, u(t)), x(t0 ) = x0 .6 ÈîôôåÀ. Ä., Òèõîìèðîâ Â. Ì. Òåîðèÿ ýêñòðåìàëüíûõ çàäà÷. Ì. : Íàóêà, 1974.15Âñþäó äàëåå áóäåì ïîëàãàòü, ÷òî âûïîëíåíû ñëåäóþùèå óñëîâèÿ:(H1) ôóíêöèè φ(·), f (t, ·, ·) íåïðåðûâíû âìåñòå ñî ñâîèìè ÷àñòíûìè ïðî-èçâîäíûìè φx (·), φxx (·), fx (t, ·, ·) è fxx (t, ·, ·) äëÿ âñåõ t ∈ [t0 , t1 ];(H2) ôóíêöèè f (·, x, u), fx (·, x, u) è fxx (·, x, u) èçìåðèìû äëÿ âñåõ (x, u);(H3) U (·) ìíîãîçíà÷íîå îòîáðàæåíèå ñ çàìêíóòûìè îãðàíè÷åííûìèçíà÷åíèÿìè, íåïðåðûâíîå â ñìûñëå ìåòðèêè Õàóñäîðôà.Îïðåäåëåíèå 4 (ñì. 7 ) Äîïóñòèìûé ïðîöåññ (x̄, ū) íàçûâàåòñÿ ïîíò-ðÿãèíñêèì ëîêàëüíûì ìèíèìóìîì, åñëè äëÿ êàæäîãî c > 0 ñóùåñòâóåòε = ε(c) > 0 òàêîå, ÷òî äëÿ âñåõ äîïóñòèìûõ ïðîöåññîâ (x(·), u(·)), óäîâëåòâîðÿþùèõ óñëîâèÿì|x(t1 ) − x̄(t1 )| + µ {t ∈ [t0 , t1 ]| u(t) ̸= ū(t)} 6 ε,˙ ∈ [t0 , t1 ],|u(t)| ≤ C ∀tâûïîëíÿåòñÿ íåðàâåíñòâî φ(x(t1 )) ≥ φ(x̄(t1 )).
Çäåñü µ îáîçíà÷àåò ìåðóËåáåãà.Äîïóñòèìîå óïðàâëåíèå u(·) íàçûâàåòñÿ îñîáûì íà îòðåçêå [t2 , t3 ] ⊂[t0 , t1 ], åñëè äëÿ ïî÷òè âñåõ t ∈ [t2 , t3 ] ñóùåñòâóåò òî÷êà w ∈ U (t) òàêàÿ,÷òî u(t) ̸= w èH(t, x(t), u(t), p(t)) = H(t, x(t), w, p(t)).Çäåñü x(·) òðàåêòîðèÿ, ñîîòâåòñòâóþùàÿ óïðàâëåíèþ u(·), H : [t0 , t1 ] ×Rn × Rm × Rn → R, H(t, x, u, p) ≡ pT f (t, x, u) ôóíêöèÿ ÃàìèëüòîíàÏîíòðÿãèíà äëÿ çàäà÷è (9), p(·) ðåøåíèå ñîïðÿæåííîé ñèñòåìû ṗ(t) =−Hx (t, x(t), u(t), p(t)) ñ êîíöåâûì óñëîâèåì p(t1 ) = −φx (x(t1 )).Îäíîé èç ïåðâûõ ðàáîò, ïîñâÿùåííûõ èññëåäîâàíèþ îñîáûõ óïðàâëåíèé, ÿâëÿåòñÿ ðàáîòà 8 . Îñîáûå óïðàâëåíèÿ èçó÷àëèñü ìíîãèìè àâòîðàìè ( ñì., íàïðèìåð,7 Àðóòþíîâ9 , 10). Óñëîâèÿ ãëîáàëüíîãî ìèíèìóìà äëÿ êóñî÷íî-À.
Â., Ìàãàðèë-Èëüÿåâ Ã. Ã., Òèõîìèðîâ Â. Ì. Ïðèíöèï ìàêñèìóìà Ïîíòðÿãèíà. Ì.: Ôàêòîðèàë Ïðåññ, 2006.8 Ðîçîíîýð Ë. È. Ïðèíöèï ìàêñèìóìà Ë. Ñ. Ïîíòðÿãèíà â òåîðèè îïòèìàëüíûõ ñèñòåì, III //Àâòîìàòèêà è òåëåìåõàíèêà. 1959. Ò. 20, Âûï. 12. Ñ. 15611578.9 Ãàáàñîâ Ð. Ô., Êèðèëëîâà Ô. Ì. Îñîáûå îïòèìàëüíûå óïðàâëåíèÿ.
Ì. : Ëèáðîêîì, 2013.10 Gabasov R., Kirillova F. M. High-Order Necesssary Conditions for Optimality // SIAM J. Controland Optimization. 1972. Vol. 10, no. 1. P. 127-169.16íåïðåðûâíûõ óïðàâëåíèé áûëè âíà÷àëå ïîëó÷åíû â ïðåäïîëîæåíèè íåïðåðûâíîñòè ôóíêöèè f ïî t è ïðè óñëîâèè U (t) ≡ const. Çàòåì ýòîò ðåçóëüòàò áûë ðàñïðîñòðàíåí â11íà ñëó÷àé èçìåðèìîé ïî t ôóíêöèè f . ïàðàãðàôå 3.3 ïîëó÷åíû íåîáõîäèìûå óñëîâèÿ ëîêàëüíîãî (à íåãëîáàëüíîãî) ïîíòðÿãèíñêîãî ìèíèìóìà äëÿ çàäà÷è (9). Ñîîòâåòñòâóþùèåðåçóëüòàòû ïîëó÷åíû ìåòîäîì êîíå÷íîìåðíûõ àïïðîêñèìàöèé.
Ìåòîä çàêëþ÷àåòñÿ â ñâåäåíèè áåñêîíå÷íîìåðíîé çàäà÷è (9) ê ïîñëåäîâàòåëüíîñòèêîíå÷íîìåðíûõ çàäà÷ è ïîëó÷åíèþ óñëîâèé îïòèìàëüíîñòè â èñõîäíîé çàäà÷å ñ ïîìîùüþ ïðåäåëüíîãî ïåðåõîäà. Ýòîò ïîäõîä ïðèìåíÿëñÿ ðàíåå äëÿïîëó÷åíèÿ óñëîâèé îïòèìàëüíîñòè â çàäà÷àõ ñ êîíöåâûìè îãðàíè÷åíèÿìè (ñì.12 , 13), â çàäà÷àõ ñ ôàçîâûìè îãðàíè÷åíèÿìè ïðè áîëåå ñëàáûõïðåäïîëîæåíèÿõ äèôôåðåíöèðóåìîñòè (ñì.14).Ïðèâåäåì îñíîâíîé ðåçóëüòàò, ïîëó÷åííûé â ïàðàãðàôå 3.3. Äëÿ ñèììåòðè÷íîé ìàòðèöû A è âåêòîðîâ y, y1 , y2 ñîîòâåòñòâóþùåé îäèíàêîâîéðàçìåðíîñòè ïîëîæèìA[y]2 := y T Ay, A[y1 , y2 ] := y1T Ay2 .Êðîìå òîãî, ïîëîæèìfx (t) := fx (t, x̄(t), ū(t)),∆v f (θ) := f (θ, x̄(θ), v(θ)) − f (θ, x̄(θ), ū(θ)).Ôóíäàìåíòàëüíóþ ìàòðèöó ðåøåíèé ëèíåéíîãî äèôôåðåíöèàëüíîãîóðàâíåíèÿṙ(t) = fx (t, x̄(t), ū(t))r, t ∈ [t0 , t1 ],îáîçíà÷èì ÷åðåç Φ(·, ·).11 Ìîðäóõîâè÷Á.
Ø. Ìåòîäû àïïðîêñèìàöèè â çàäà÷àõ îïòèìèçàöèè è óïðàâëåíèÿ. Ì. : Íàóêà,1988.12 Àëåêñååâ Â. Ì., Òèõîìèðîâ Â. Ì., Ôîìèí Ñ. Â. Îïòèìàëüíîå óïðàâëåíèå. Ì. : Ôèçìàòëèò, 2007.13 Arutyunov A. V., Vinter R. B. A Simple `Finite Approximations' Proof of the Pontryagin MaximumPrinciple under Reduced Dierentiability Hypotheses // Set-Valued Analysis. 2004. Vol.
12. P. 5-24.14 Shvartsman I. New approximation method in the proof of the maximum principle for nonsmoothoptimal control problems with state constraints // J. Math. Analysis and Applications. 2007. Vol. 326,no. 2, P. 974-1000.17ÏîëîæèìpT (t) := −φTx (x̄(t1 ))Φ(t1 , t), t ∈ [t0 , t1 ].(10) ñèëó ñâîéñòâ ôóíäàìåíòàëüíîé ìàòðèöû ôóíêöèÿ p óäîâëåòâîðÿåò ñîïðÿæåííîé ñèñòåìå:ṗT (t) = −pT (t)fx (t, x̄(t), ū(t)), p(t1 ) = −φx (x̄(t1 )).(11)ÏîëîæèìH(t, x, u, p) = pT f (t, x, u),Hx (t) := Hx (x̄(t), ū(t), p(t)), Hxx (t) := Hxx (t, x̄(t), ū(t), p(t)),∆v Hx (t) := Hx (t, x̄(t), v(t), p(t)) − Hx (t, x̄(t), ū(t), p(t)).Îïðåäåëèì ìàòðè÷íóþ ôóíêöèþ Ψ(t), t ∈ [t0 , t1 ], êàê ðåøåíèå óðàâíåíèÿΨ̇(t) = Hxx (t) − fxT (t)Ψ(t) − Ψ(t)fx (t)(12)ñ êîíöåâûì óñëîâèåìΨ(t1 ) = φxx (x̄(t1 )).(13)Òåîðåìà 5 Ïóñòü ôóíêöèÿ f (·, x, u) íåïðåðûâíà ñïðàâà äëÿ âñåõ (x, u).Ïðåäïîëîæèì, ÷òî ïàðà (x̄(·), ū(·)) ÿâëÿåòñÿ ïîíòðÿãèíñêèì ëîêàëüíûì ìèíèìóìîì â çàäà÷å (9), ôóíêöèÿ ū(·) íåïðåðûâíà ñïðàâà, v(·) òàêàÿ íåïðåðûâíàÿ ôóíêöèÿ, ÷òî v(t) ∈ U (t) äëÿ ïî÷òè âñåõ t ∈ [t0 , t1 ]è ñóùåñòâóåò îòðåçîê [t2 , t3 ] ⊂ [t0 , t1 ] òàêîé, ÷òî v(t) ̸= ū(t) äëÿ ïî÷òèâñåõ t ∈ [t2 , t3 ] è âûïîëíåíîH(t, x̄(t), v(t), p(t)) ≡ H(t, x̄(t), ū(t), p(t)) ∀t ∈ [t2 , t3 ],(14)ãäå p(·) ðåøåíèå ñîïðÿæåííîé ñèñòåìû (11).ÒîãäàΨ(t)[∆v f (t)]2 − ∆v HxT (t)∆v f (t) > 0 ∀t ∈ [t2 , t3 ].(15) ïàðàãðàôå 3.4 òðåòüåé ãëàâû èññëåäîâàíû ñâîéñòâà ôóíêöèè ìèíèìóìà äëÿ ëèíåéíîé çàäà÷è îïòèìàëüíîãî óïðàâëåíèÿ.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
