Исследование нелинейных анормальных задач и динамических управляемых систем (1103188), страница 2

Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла (страница 2)

Ðàññìîòðåíà ñëåäóþùàÿ çàäà÷à. Ïóñòü X , Y, Σ áàíàõîâû ïðîñòðàíñòâà, U ⊂ X âûïóêëîå çàìêíóòîå ìíîæåñòâî. Ïóñòüäàíû îòîáðàæåíèå F : X × Σ → Y è òî÷êè x∗ ∈ U , σ∗ ∈ Σ, äëÿ êîòîðûõF (x∗ , σ∗ ) = 0. Ðàññìîòðèì óðàâíåíèåF (x, σ) = 0, x ∈ U,(1)â êîòîðîì x íåèçâåñòíîå, à σ ïàðàìåòð. Ãîâîðÿò, ÷òî äëÿ óðàâíåíèÿ (1)ñóùåñòâóåò íåïðåðûâíîå ðåøåíèå â îêðåñòíîñòè (x∗ , σ∗ ), åñëè ñóùåñòâóþòîêðåñòíîñòü O òî÷êè σ∗ è íåïðåðûâíàÿ ôóíêöèÿ x : O → U, òàêàÿ, ÷òîF (x(σ), σ) ≡ 0, x(σ∗ ) = x∗ .Èçâåñòíî (ñì. 1 ), ÷òî ðåøåíèå â çàäà÷å (1) ñóùåñòâóåò, åñëè F ñòðîãîäèôôåðåíöèðóåìà ïî x ðàâíîìåðíî ïî σ â òî÷êå (x∗ , σ∗ ), ìíîæåñòâî U ÿâëÿåòñÿ çàìêíóòûì âûïóêëûì êîíóñîì è âûïîëíåíî óñëîâèå ðåãóëÿðíîñòèÐîáèíñîíà∂F(x∗ , σ∗ ) cone(U − {x∗ }) = Y.(2)∂xÎ÷åâèäíî, óñëîâèå (2) ñóùåñòâåííî.

Òàê, íàïðèìåð, åñëè X = U = R2 ,Y = R = Σ, x∗ = (0, 0), σ∗ = 0, F (x, σ) = x21 + x22 − σ, ãäå x = (x1 , x2 ), òî(2) íàðóøàåòñÿ, è, êàê íåñëîæíî âèäåòü, ðåøåíèå â îêðåñòíîñòè (x∗ , σ∗ )1 ÀðóòþíîâÀ. Â. Ê òåîðåìàì î íåÿâíîé ôóíêöèè â àíîðìàëüíûõ òî÷êàõ // Òð. Èí-òà ìàòåì. èìåõ. ÓðÎ ÐÀÍ. 2010. Ò. 16,  1.

C. 30-39.7íå ñóùåñòâóåò. Åñëè æå â ýòîì ïðèìåðå ïîëîæèòü F (x, σ) = x21 − x22 −σ, òî óñëîâèå (2) òàêæå íå âûïîëíÿåòñÿ, îäíàêî ðåøåíèå â ýòîé çàäà÷åñóùåñòâóåò, íåïðåðûâíî, íî íå óäîâëåòâîðÿåò óñëîâèþ Ëèïøèöà.Âîïðîñ î ñóùåñòâîâàíèè ðåøåíèÿ â çàäà÷å (1) â ñëó÷àå, êîãäà óñëîâèåÐîáèíñîíà íå âûïîëíÿåòñÿ, áûë èçó÷åí À.Â. Àðóòþíîâûì â ïðåäïîëîæåíèè, ÷òî ìíîæåñòâî U ÿâëÿåòñÿ çàìêíóòûì âûïóêëûì êîíóñîì (ñì.3, 41, 2 ,).  äèññåðòàöèè ýòîò ðåçóëüòàò ðàñïðîñòðàíåí íà ñëó÷àé, êîãäà U çàìêíóòîå âûïóêëîå ìíîæåñòâî. Ïðèâåäåì ñîîòâåòñòâóþùèé ðåçóëüòàò.Ââåäåì ñëåäóþùåå îïðåäåëåíèå. Ïóñòü G : X → Y çàäàííîå îòîáðàæåíèå, G(x∗ ) = 0.

Îòíîñèòåëüíî G áóäåì ïðåäïîëàãàòü, ÷òî îíî äâàæäûäèôôåðåíöèðóåìî â íåêîòîðîé îêðåñòíîñòè òî÷êè x∗ . Îáîçíà÷èìU = cone (U − {x∗ }) .Îïðåäåëåíèå 1 Ïóñòü ñóùåñòâóåò∂G∂ 2G∂Gh ∈ U : h ∈ ker(x∗ ), − 2 (x∗ )[h, h] ∈(x∗ )U.∂x∂x∂xÎòîáðàæåíèå G íàçûâàåòñÿ 2-ðåãóëÿðíûì â òî÷êå x∗ îòíîñèòåëüíî ìíîæåñòâà U ïî íàïðàâëåíèþ h, åñëè èìååò ìåñòî∂G∂ 2G∂G(x∗ )U +(x)[h,U∩ker(x∗ )] = Y.∗∂x∂x2∂xÁóäåì ïðåäïîëàãàòü, ÷òî F óäîâëåòâîðÿåò ñëåäóþùèì ïðåäïîëîæåíèÿì.(F1) F äâàæäû íåïðåðûâíî äèôôåðåíöèðóåìî ïî x â íåêîòîðîé îêðåñò-íîñòè òî÷êè (x∗ , σ∗ ). Ïðè êàæäîì σ èç íåêîòîðîé îêðåñòíîñòè σ∗∂ 2Fîòîáðàæåíèå(·, σ) óäîâëåòâîðÿåò óñëîâèþ Ëèïøèöà ñ êîíñòàí∂x2∂F∂ 2Fòîé, íå çàâèñÿùåé îò σ .

Îòîáðàæåíèÿ F (x∗ , ·),(x∗ , ·),(x∗ , ·)∂x∂x22 ÀðóòþíîâÀ. Â. Íàêðûâàíèå íåëèíåéíûõ îòîáðàæåíèé íà êîíóñå â îêðåñòíîñòè àíîðìàëüíîéòî÷êè // Ìàòåì. çàìåòêè. 2005. Ò. 77,  4. C. 483-497.3 Àðóòþíîâ À. Â. Òåîðåìà î íåÿâíîé ôóíêöèè áåç àïðèîðíûõ ïðåäïîëîæåíèé íîðìàëüíîñòè // Æ.âû÷èñë. ìàòåì. è ìàòåì. ôèç. 2006. Ò. 46,  2. Ñ. 205-215.4 Àðóòþíîâ À. Â.

Òåîðåìà î íåÿâíîé ôóíêöèè íà êîíóñå â îêðåñòíîñòè àíîðìàëüíîé òî÷êè //Ìàòåì. çàìåòêè. 2005. Ò. 78,  4. C. 619-621.8íåïðåðûâíû â òî÷êå σ∗ . Îòîáðàæåíèå F (·) íåïðåðûâíî â îêðåñòíîñòèòî÷êè (x∗ , σ∗ ).ÏîëîæèìV =∂F(x∗ , σ∗ )U.∂x(F2) Ëèíåéíàÿ îáîëî÷êà span V êîíóñà V çàìêíóòà, è ýòî ïîäïðîñòðàí-ñòâî òîïîëîãè÷åñêè äîïîëíÿåìî.×åðåç π áóäåì îáîçíà÷àòü íåêîòîðûé ëèíåéíûé íåïðåðûâíûé îïåðàòîð, ïðîåêòèðóþùèé Y íà êàêîå-íèáóäü ïîäïðîñòðàíñòâî, äîïîëíÿþùååspan V . ×åðåç BX (x, r) áóäåì îáîçíà÷àòü øàð â ïðîñòðàíñòâå X ñ öåíòðîì â òî÷êå x ðàäèóñà r.Òåîðåìà 1 Ïóñòü îòíîñèòåëüíàÿ âíóòðåííîñòü riV íåïóñòà, è îòîá-ðàæåíèå F (·, σ∗ ) 2-ðåãóëÿðíî â òî÷êå x∗ îòíîñèòåëüíî U ïî íåêîòîðîìó íàïðàâëåíèþ h ∈ X .

Òîãäà ñóùåñòâóþò òàêèå îêðåñòíîñòü Oòî÷êè σ∗ , ÷èñëà c ≥ 0 è íåïðåðûâíîå îòîáðàæåíèå x(·) : O → U, ÷òîF (x(σ), σ) ≡ 0, è)( √ ∂F∥x(σ) − x∗ ∥ ≤ c ∂x (x∗ , σ) + ∥F (x∗ , σ)∥∀σ ∈ O.(3) ïàðàãðàôå 1.2 èññëåäóåòñÿ çàäà÷à âû÷èñëåíèÿ êîíñòàíòû íàêðûâàíèÿ ëèíåéíîãî îïåðàòîðà íà âûïóêëîì êîíóñå. À èìåííî, ðàññìîòðåíàñëåäóþùàÿ çàäà÷à. Ïóñòü çàäàí ëèíåéíûé îïåðàòîð A : Rn → Rk è âåêòîðû b1 , ..., bs ∈ Rn .

ÏîëîæèìK = {x ∈ Rn : ⟨x, bj ⟩ ≤ 0, j = 1, s}.Çäåñü ⟨·, ·⟩ ñêàëÿðíîå ïðîèçâåäåíèå. Èçâåñòíî, ÷òî îòîáðàæåíèå Ψ : K →AK, Ψ(x) ≡ Ax ÿâëÿåòñÿ α-íàêðûâàþùèì äëÿ íåêîòîðîãî α > 0, ò.å.∀ x0 ∈ K,∀ y ∈ AK∃x ∈ K :y = Ψ(x) è |x − x0 | ≤|y − Ψ(x0 )|.α ïàðàãðàôå 1.2 ïðåäëîæåí àëãîðèòì, ïîçâîëÿþùèé çà êîíå÷íîå ÷èñëî øàãîâ âûðàçèòü íàèáîëüøóþ êîíñòàíòó íàêðûâàíèÿ α îòîáðàæåíèÿ Ψ9÷åðåç ñîáñòâåííûå çíà÷åíèÿ íåêîòîðûõ ëèíåéíûõ îïåðàòîðîâ, ïîðîæäàåìûõ îïåðàòîðîì A è âåêòîðàìè bj , j = 1, s.Îñíîâíûå ðåçóëüòàòû ïåðâîé ãëàâû îïóáëèêîâàíû â [5].Âòîðàÿ ãëàâà ïîñâÿùåíà äîñòàòî÷íûì óñëîâèÿì ëîêàëüíîé ðàçðåøè-ìîñòè óïðàâëÿåìûõ ñèñòåì è ñîñòîèò èç äâóõ ïàðàãðàôîâ.  ïàðàãðàôå2.1 ïîëó÷åíû äîñòàòî÷íûå óñëîâèÿ ëîêàëüíîé ðàçðåøèìîñòè óïðàâëÿå-ìûõ ñèñòåì äèôôåðåíöèàëüíûõ óðàâíåíèé ïðè íàëè÷èè ñìåøàííûõ îãðàíè÷åíèé. Ðàññìîòðåíà óïðàâëÿåìàÿ ñèñòåìà äèôôåðåíöèàëüíûõ óðàâíåíèé ñî ñìåøàííûìè îãðàíè÷åíèÿìè è ãåîìåòðè÷åñêèì îãðàíè÷åíèåì íàóïðàâëåíèåẋ(t) = f (t, x, u) ∀˙ t, x(t0 ) = x0 ,g(t, x, u) = 0 ∀˙ t, u(t) ∈ U ∀ t.(4)Çäåñü t ∈ R âðåìÿ; t0 ∈ R çàäàííûé íà÷àëüíûé ìîìåíò âðåìåíè; x0 ∈Rn çàäàííàÿ íà÷àëüíàÿ òî÷êà; x ∈ Rn ôàçîâàÿ ïåðåìåííàÿ; u ∈ Rm óïðàâëÿþùèé ïàðàìåòð; f : R × Rn × Rm → Rn è g : R × Rn × Rm → Rk çàäàííûå ôóíêöèè, ïðè÷åì ôóíêöèÿ g íåïðåðûâíà; U ⊂ Rm çàäàííîåçàìêíóòîå âûïóêëîå ìíîæåñòâî. êà÷åñòâå äîïóñòèìûõ óïðàâëåíèé â çàäà÷å (4) ðàññìàòðèâàþòñÿ âñåâîçìîæíûå ôóíêöèè u(·) ∈ C([t0 , t0 + τ ], Rm ), τ > 0, äëÿ êîòîðûõ âûïîëíÿåòñÿ óñëîâèå u(t) ∈ U äëÿ âñåõ t.Cèñòåìà (4) íàçûâàåòñÿ ëîêàëüíî ðàçðåøèìîé â òî÷êå (t0 , x0 ), åñëèñóùåñòâóþò ÷èñëî τ > 0 è äîïóñòèìîå óïðàâëåíèå u(·) òàêèå, ÷òî çàäà÷àÊîøèẋ = f (t, x, u(t)), x(t0 ) = x0 ,íà îòðåçêå [t0 , t0 + τ ] èìååò ðåøåíèå x(·), äëÿ êîòîðîãî âûïîëíÿåòñÿ óñëîâèå˙ ∈ [t0 , t0 + τ ].g(t, x(t), u(t)) = 0 ∀tÏðèâåäåì îñíîâíîé ðåçóëüòàò, ïîëó÷åííûé â ïàðàãðàôå 2.1.

Ïóñòü çà10äàíà òî÷êà u0 ∈ U, äëÿ êîòîðîé g(t0 , x0 , u0 ) = 0, è íåêîòîðîå γ > 0.Ïîëîæèì D = [t0 , t0 + γ] × BRn (x0 , γ).Áóäåì ïðåäïîëàãàòü, ÷òî ôóíêöèÿ f : D × Rm → Rn óäîâëåòâîðÿåò óñëîâèÿì Êàðàòåîäîðè: ïðè ï.â. t ôóíêöèÿ f (t, ·, ·) íåïðåðûâíà; ïðèëþáûõ (x, u) ôóíêöèÿ f (·, x, u) èçìåðèìà; ñóùåñòâóþò òàêàÿ ñóììèðóåìàÿ ôóíêöèÿ ψ : R → R è ÷èñëî τ > 0, ÷òî |f (t, x, u)| ≤ ψ(t) äëÿ ï.â.t ∈ [t0 , t0 + τ ], äëÿ ëþáûõ u ∈ BRm (u0 , γ), x ∈ BRn (x0 , γ).Ïðåäïîëîæèì, ÷òî äëÿ ëþáûõ (t, x) ∈ D ôóíêöèÿ g äâàæäû íåïðåðûâíî äèôôåðåíöèðóåìà ïî u íà BRm (u0 , γ), ïðè÷åì ñîîòâåòñòâóþùèå ïðîèçâîäíûå íåïðåðûâíû ïî ñîâîêóïíîñòè ïåðåìåííûõ â îêðåñòíîñòè òî÷êè∂ 2g(t0 , x0 , u0 ), à îòîáðàæåíèå 2 (t, x, ·) óäîâëåòâîðÿåò óñëîâèþ Ëèïøèöà íà∂uBRm (u0 , γ) äëÿ ëþáûõ (t, x) ∈ D ñ êîíñòàíòîé Ëèïøèöà, íå çàâèñÿùåé îò(t, x).Òåîðåìà 2 Ïóñòü ñóùåñòâóåò òàêîé âåêòîð h ∈ Rm , ÷òî ôóíêöèÿg(t0 , x0 , ·) 2-ðåãóëÿðíà ïî ïåðåìåííîé u â òî÷êå u0 îòíîñèòåëüíî U ïîíàïðàâëåíèþ h.

Òîãäà ñèñòåìà (4) ëîêàëüíî ðàçðåøèìà â òî÷êå (t0 , x0 ). ïàðàãðàôå 2.2 ïðèâåäåíû äîñòàòî÷íûå óñëîâèÿ ëîêàëüíîé ðàçðåøèìîñòè óïðàâëÿåìûõ ñèñòåì äèôôåðåíöèàëüíûõ âêëþ÷åíèé ñî ñìåøàííûìè îãðàíè÷åíèÿìè. Ðàññìîòðåíà óïðàâëÿåìàÿ ñèñòåìà äèôôåðåíöèàëüíûõ âêëþ÷åíèé ñî ñìåøàííûìè îãðàíè÷åíèÿìè, ãåîìåòðè÷åñêèì îãðàíè÷åíèåì íà óïðàâëåíèå è äèôôåðåíöèàëüíûì âêëþ÷åíèåì, íå ðàçðåøåííûì îòíîñèòåëüíî ñòàðøåé ïðîèçâîäíîé˙ ∈ [t0 , t1 ],0 ∈ F (t, x, ẋ, u) ∀t x(t0 ) = x0 ,˙ ∈ [t0 , t1 ],0 ∈ G(t, x, u) ∀t u(t) ∈ U ∀t˙ ∈ [t0 , t1 ].(5)Çäåñü F : [t0 , t1 ] × Rn × Rn × U ⇒ Rk , G : [t0 , t1 ] × Rn × U ⇒ Rs çàäàííûåìíîãîçíà÷íûå îòîáðàæåíèÿ, U ⊆ Rm çàäàííîå íåïóñòîå çàìêíóòîå ìíîæåñòâî, x0 ∈ Rn çàäàííûé âåêòîð, t0 , t1 ∈ R çàäàííûå ÷èñëà. Çäåñü è11äàëåå ïîä ìíîãîçíà÷íûì îòîáðàæåíèåì áóäåì ïîíèìàòü îòîáðàæåíèå, êîòîðîå êàæäîé òî÷êå îáëàñòè îïðåäåëåíèÿ ñòàâèò â ñîîòâåòñòâèå íåïóñòîåçàìêíóòîå ìíîæåñòâî.Äëÿ ýòîé ñèñòåìû äîïóñòèìûå óïðàâëåíèÿ ðàññìàòðèâàþòñÿ â êëàññåL∞ ([t0 , t1 ], U ).Óïðàâëÿåìóþ ñèñòåìó (5) áóäåì íàçûâàòü ëîêàëüíî ðàçðåøèìîé, åñëèñóùåñòâóþò ÷èñëî τ > 0, äîïóñòèìîå óïðàâëåíèå u(·), àáñîëþòíî íåïðåðûâíàÿ ôóíêöèÿ x(·) òàêèå, ÷òî ôóíêöèÿ x(·) ÿâëÿåòñÿ ðåøåíèåì çàäà÷èÊîøè0 ∈ F (t, x, ẋ, u(t)),x(t0 ) = x0 ,íà îòðåçêå [t0 , t0 +τ ], è äëÿ ïî÷òè âñåõ t ∈ [t0 , t0 +τ ] âûïîëíåíî âêëþ÷åíèå0 ∈ G(t, x(t), u(t)).Ïàðó (x, u) â ýòîì ñëó÷àå ïðèíÿòî íàçûâàòü ðåøåíèåì ñèñòåìû (5) íàîòðåçêå [t0 , t0 + τ ].Ïðèâåäåì îñíîâíîé ðåçóëüòàò, ïîëó÷åííûé â ïàðàãðàôå 2.2.

Характеристики

Список файлов диссертации