Инварианты слоений в симплектической и пуассоновой геометрии (1103054), страница 19
Текст из файла (страница 19)
Поле эндоморфизмов = 0−1 1 задаётся формулой⎛ 1 = + ∑ ∑ ( +1 + ( + ) ) ⊗ +2 ⎝=1 =1 (+ ( +1− ) −+1 + 1 ) ⊗ +1− ) +2 −⎛ 11 ⎞∑ ∑ −(( − ) + 1 1 ) + ( + ) ⊗ ,22 ⎠⎝=1 =1(3.4.5)где мы формально полагаем = = 0, если > или ≤ 0. Иными словами,матрица этого поля эндоморфизмов имеет вид0⎛ 1 ()⎜ 01 ()⎜⎜⎜⋱⎜⎜ =⎜ ()0⎜⎜⎜0 ()⎜⎜⎜ 1 + ⋯ ⎜1⎝ 00⋯000 −1 − ⎞01 ⎟⎟⎟⎟⋮⋮⎟⎟0 − ⎟⎟,⎟0 ⎟⎟⎟⎟0⎟⎠0(3.4.6)где вектора , и задаются формулами (3.4.4).Из формулы (3.4.5) немедленно следует, что1( − ) = +1 + ( + )2 1( − ) +1− = − + ( + − ) −+1 + 1 2(3.4.7) ⎛ 11 ⎞( − )= ∑ ∑ −(( − ) + 1 1 ) + ( + ) .
=1 ⎝=122 ⎠Несколько раз применяя формулы (3.4.7) получаем, что1( − ) = ( − ) +−1 = + + ( + − )+−12и что( − ) +1− = ( − ) +2−− =3 +1 = +1−− + ( + − − ) +2−− + 1 +2119(3.4.8)(3.4.9)Вещественный случай. Случай одной пары комплесно-сопряжённыхсобственных значений на самом деле аналогичен соответствующему комплексному случаю, потому что почти-комплесная структура из леммы 17оказывается интегрируемой.Теорема 41 (Ф. Туриэль, [57]). Пусть (0 , 1 ) — пара согласованных2 форм на вещественном многообразии с одной парой комплексносопряжённых собственных значений ± . Тогда полупростая часть −1оператора − , где = 0 1 является комплексной структурой на .Пусть C — комплексификация многообразия при помощи комплекснойструктуры .
Тогда формы 0C и 1C заданные формулами0C (, ) = 0 (, ) − 0 (, ),и 1C (, ) = 1 (, ) − 1 (, ) (3.4.10)являются согласованными голоморфными формами на C . Оператор коммутирует с комплексной структурой , поэтому он задаёт оператор C на C . Имеет место равенство C = (0C )−1 1C , поэтому паре форм(0C , 1C ) на C соответствует ровно одно собственное значение = +.Замечание 15. В условиях теоремы 41, если вместо комплексной структуры взять комплексную структуру −, то при комплексификации пареформ будет соответствовать собственное значение − .3.5Доказательство основных теоремТеорема 27 является прямым следствием теоремы 36.
Теорема 28 вытекаетиз теорем 27 и 32. Таким образом, остаётся доказать только Теорему 29. Случай пары комплесно-сопряжённых собственных значений сводится к случаюодного собственного значения при помощи теорем 35 и 41, поэтому теорему 29 достаточно доказать для случая одного собственного значения. Этомупосвящён весь настоящий раздел.Регулярные некритические точки образуют открытое всюду плотное множество, поэтому достаточно доказать теорему 29 только для них. Случай,когда собственные значения постоянны (т.е.
когда невырожденная бигамильтонова структура плоская), тривиален. Поэтому остаётся разобрать случай120одного непостоянного собственного значения без критических точек (т.е. случай из теоремы 40). Доказательство проводится прямым вычислением. Явно опишем каждое инвариантное распределение и проверим его инволютивность (формула для векторных полей, задающих распределения, приведенав лемме 18).Вначале опишем локальный репер01 , 11 . . .
, 1 , 10 , . . . , 11 , 12 , . . . , , 1 , . . . , (3.5.1)в окрестности точки 0 , в котором матрицы форм 0 и 1 состоят из жордановых блоков. Базис меньших блоков (т.е. жордановых 2 , . . . , -блоков):1где( + 12 ) ,= 1− 1 1( 2 1 + 1) 1( + 12 ) +,= (= − 1 1−+1 ( 2 1 + 1) 1 1 12 = 1 − 1 1, ( 2 1 + 1) 11 1 − = ( − ) = − 1 21+, ( 2 1 + 1) 1− )−1 11 −1 ( + 12 ) 3= ( − ) − 1 1(( − + )1 −+2 + +1 )22( 2 1 + 1)1 11 +11 = ( + ) − 1 21(( + )+11 + 0 )22( 2 1 + 1)121(3.5.2)(3.5.3)Базис большего (1 + 1)-блока:01 = − ⎛ 11 −1 ⎞+ ∑ ∑ −( + )+1+(−) =1 ⎝=122 ⎠111 = ( − ) 01 = ∑ (( 1 + 1 ) − ( + ) −+1 ) + 22=11(3.5.4)11 = 1 1,1( 2 1 + 1) 11 1 = ( − )1 − 11 = 1 1,+1( 2 1 + 1) 110 =где1113 = ∑( 1 + 1 )( − )−1 − ( + ) ( − + ) −+2222=1 2111 = 1 1(( + ) +11 + 0 ) .22 1 + 1(3.5.5)При этом мы формально полагаем = = 0, если > или ≤ 0. Вчастности, 1 = 0.Векторные поля (3.5.2) и (3.5.4) были выбраны так, чтобы было выполнено следующее утверждение.Утверждение 40.
В условиях теоремы 40 в локальном репере (3.5.1), заданном формулами (3.5.2) и (3.5.4), матрицы форм 0 и 1 имеет блочнодиагональный вид⎛ 1⎜⎜1 = ⎜⎜⎜⎝2⎞⎟⎟⎟,⎟⋱⎟ ⎠⎛1⎜⎜0 = ⎜⎜⎜⎝2⋱⎞⎟⎟⎟,⎟⎟ ⎠(3.5.6)где 1 , 1 — это жорданов (1 +1)-блок, а , при > 1 — это жордановы -блоки.Из устройства инвариантных подпространств (см. замечание 13) вытекаетследующее утверждение.122Лемма 18. В условиях теоремы 29 в базисе (3.5.1), заданном формулами(3.5.2) и (3.5.4), инвариантные распределения имеют вид , 1 , . . .
, 1 , 11 , . . . , 11 −1 ̃︀⊕ 11( + 21 ) ,⊕∐︀ , . . . , − +2 , − +1 − 1 1(3.5.7)( 2 1 + 1) 1=2 1 12 ,...,,− ̃︀.1 −1 ( 12 11 + 1) 1 1 +1 (1 +1 ) ⊕ ⋅ ⋅ ⋅ ⊕ ( ) = ∐︀Доказательство теоремы 29. Для доказательства теоремы 29 остаётсяпроверить инволютивность распределений (3.5.7). Это делается прямым вычислением — нужно найти коммутаторы векторных полей, задающих распределение (3.5.7) и проверить, касаются ли они этого распределения.Распределения Ker ( − ) , где > 1, неинтегрируемы, потому чтокоммутатор векторных полей( + 21 ) , = − +1 − 1 1( 2 1 + 1) 11 12 = − 1 1( 2 1 + 1) 1(3.5.8)(3.5.9)не касается соответствующего распределения. Действительно,(︀ , ⌋︀ = ().+ 1) 1( 12 11Несложно проверить, что векторные поля1(3.5.10)касаются инвариантного рас-пределения (3.5.7) тогда и только тогда, когда 1 ≥ .
Для распределенийKer ( − ) , где > 1, выполнены соотношения 1 = − 1 < = .Поэтому в этих случаях коммутатор (︀ , ⌋︀ не касается Ker ( − ) .Доказательство того, что инвариантные распределения, отличные отKer ( − ) , где > 1, интегрируемы, можно немного упростить, есливоспользоваться следующими соображениями. Заметим, что(︀1 ,⌋︀∈∐︀̃︀,(︀1 ,123⌋︀∈∐︀̃︀ −принадлежат любому инвариантномупри > 1, и что векторные поля распределению (за исключением тривиального нульмерного распределения).Отсюда следует, что единственные нетривиальные коммутаторы векторныхполей из формулы (3.5.7), которые могут не касаться распределения — этопопарные коммутаторы векторных полей 01 , 11 , и .
Из устройства инвариантных подпространств (см. замечание 13), следует, что единственноеинвариантное распределение, содержащее векторное поле 01 , совпадает совсем касательным расслоением. Также из замечания 13 следует, что единственное инвариантное распределение, содержащее векторное поле 11 , отличное от всего касательного расслоения и от Ker ( − ) , где > 2, —это распределение Im ( − ). Отдельно докажем инволютивность этогораспределения.Утверждение 41.
В условиях теоремы 40 распределение Im ( − ) инволютивно.Доказательство. Так как = 0 , выполнено равенство(︀( − ), ( − )⌋︀ = ( − )((︀, ⌋︀ + (︀ , ⌋︀ − ( + )(︀, ⌋︀)+(ℒ( −) ) − (ℒ( −) )(3.5.11)Распределение Im ( − ) инволютивно, потому что ℒ( −) = 0 длялюбого векторного поля .Таким образом, теорема 29 полностью доказана.124Глава 4Топология слоения Лиувилля дляинтегрируемого случая Ковалевской наалгебре Ли so(4)4.1Постановка задачиВ главе 4 диссертации мы вычислим некоторые топологические инвариантыдля интегрируемого случая на алгебре Ли so(4), который является обобщением классического случая Ковалевской в динамике твёрдого тела. Хорошоизвестно (см., например, [6]), что классический случай Ковалевской можетбыть задан уравнениями Эйлера на алгебре Ли e(3).
В этой работе мы изучим однопараметрическое семейство интегрируемых гамильтоновых систем,заданных на пучке алгебр Ли so(4) − e(3) − so(3, 1), найденное в работе [12],которое включает в себя классический случай Ковалевской как интегрируемую гамильтонову систему на алгебре Ли e(3). В этой работе для рассматриваемых интегрируемых случаев на алгебре Ли so(4) сделано следующее:1. построены бифуркационные диаграммы отображения момента (теоремы 42 и 45),2. проверена невырожденность точек ранга 1 и 0 (леммы 20, 21 и 23),3. найдены типы невырожденных положений равновесия (леммы 20 и 23),4. определены перестройки торов Лиувилля (теорема 43) и круговые молекулы для особых точек бифуркационных диаграмм (теорема 44).125Замечание 16.
Используя полученные в этой работе результаты, несложно получить классификацию изоэнергетических поверхностей с точностьюдо грубой лиувиллевой эквивалентности. Иными словами, для каждой изоэнергетической поверхности = const несложно построить соответствующую молекулу без меток (инвариант Фоменко). В этой работе мы не приводим полный список инвариантов Фоменко для рассматриваемой интегрируемой системы, поскольку описание всех возможных молекул будет достаточногромоздким — молекулы будут зависеть не только от типа бифуркационныхдиаграмм, но и от значения гамильтониана в особых точках ранга 0.При вычислении этих топологических инвариантов мы будем использовать некоторые факты и обозначения из теории топологической классификации, развитой в работах А.
Т. Фоменко и его учеников. Определения топологических инвариантов (атомов, молекул), а также основные факты этойтеории можно найти в книге [6].Кроме того, в разделе 4.4 мы покажем, как связаны между собой результаты для классического случая Ковалевской и для рассматриваемой вэтой работе системы на алгебре Ли so(4). Топологические свойства классического случая Ковалевской хорошо известны и были подробно изучены вкниге М. П. Харламова [31] (см. также [29] и [30]). В частности, там описаны бифуркационные диаграммы отображения момента и исследованы перестройки торов Лиувилля при критических значениях отображения момента.Круговые молекулы (а также тонкий лиувиллев анализ) для классическогослучая Ковалевской содержатся в работе [5]. Все необходимые результатыо классическом случае Ковалевской в удобной для нас форме собраны вкниге [6].Бифуркационные диаграммы и типы невырожденных особенностей дляслучая нулевой постоянной площадей ( = 0) были описаны в работе [63].Опишем теперь рассматриваемое однопараметрическое семейство интегрируемых гамильтоновых систем на пучке алгебр Ли so(4) − e(3) − so(3, 1).Начнём с описания этого пучка алгебр Ли.126Рассмотрим шестимерное пространство R6 и фиксируем в нём некоторыйбазис 1 , 2 , 3 , 1 , 2 , 3 .
Введём на этом пространстве R6 следующее однопараметрическое семейство коммутаторов, зависящих от параметра κ ∈ R:(︀ , ⌋︀ = ,(︀ , ⌋︀ = ,(︀ , ⌋︀ = κ ,(4.1.1)где — знак перестановки {123} → {}. Несложно проверить, что случайκ > 0 соответствует алгебре Ли so(4), случай κ = 0 — алгебре Ли e(3), а κ < 0— алгебре Ли so(3, 1).В координатах 1 , 2 , 3 , 1 , 2 , 3 двойственного линейного пространства,соответствующих базису 1 , 2 , 3 , 1 , 2 , 3 , скобка Ли-Пуассона имеет аналогичный вид{ , } = ,{ , } = ,{ , } = κ .(4.1.2)Для любого значения параметра κ ∈ R скобка (4.1.2) обладает двумя функциями Казимира:1 = x2 + κJ2 ,2 = ∐︀x, J̃︀,(4.1.3)где через x и J обозначены трёхмерные вектора (1 , 2 , 3 ) и (1 , 2 , 3 ) соответственно, а через ∐︀⋅, ⋅̃︀ обозначено евклидово скалярное произведение двухвекторов из R3 .
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
