Инварианты и геометрические свойства орбит коприсоединенного действия групп Ли (1103050), страница 8

Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла (страница 8)

Эта конструкция во многом повторяетидеи, описанные в работе [14],Рассмотрим линейное пространство V размерности n и невырожденнуюбилинейную форму Λ на нем. Предположим, что форма Λ является либо симметричной либо кососимметричной.Обозначим G группу линейных преобразований пространства V , сохраня49Глава 2.

Инварианты и орбиты для полупрямых сумм50ющих форму Λ. Эту группу можно считать вложенной в SL(n). Для группыG определено естественное действие на V , поэтому можно рассмотреть полупрямое произведение R = G × V , операция в котором определяется как(g, u) ◦ (h, v) = (gh, u + gv).(2.1)Здесь gv обозначает действие g на вектор v.В дальнейшем будет удобно рассматривать матичную реализацию такогополупрямого произведения:1u ..

 C. , C ∈ G, u ∈ V.nu 0...0 1Элементы алгебры Ли r группы R в матричном виде имеют видu1 ..  ξ. , ξ ∈ g, u ∈ V.nu 0...0 0Элементы коалгебры удобно представлять в виде матриц0..  X. , X ∈ g∗ , a ∈ V ∗ .0a1 . . . an 0(2.2)(2.3)(2.4)Глава 2. Инварианты и орбиты для полупрямых сумм51Здесь g∗ обозначает ортогональное дополнение к V , а V ∗ – ортогональное дополнение к g. Спаривание элементов алгебры и коалгебры – след произведения соответствующих матриц.Для того, чтобы работать в координатах удобно использовать тензорныеобозначения. Элементы пространства V – векторы, элементы пространстваV ∗ –ковекторы, элементы пространств g и g∗ – линейные операторы на V , тоесть тензоры типа (1, 1).

Действие оператора C ∈ g на вектор u ∈ V – сверткаCij ui .В этих обозначениях нетрудно установить, каким условиям удовлетворяют матрицы из G и g. Условие того, что операторы из G сохраняют форму Λзаписывается в видеΛij Cαi Cβj = Λαβ .(2.5)Ясно, что для алгебры g это условие переписывается в видеΛiβ ξαi + Λαi ξβi = 0.(2.6)Наша цель – описать инварианты коприсоединенного действия группы ЛиR в инвариантных терминах.

Для этого нам понадобится явное выражение дляAd∗ в выбранных нами координатах. Для сокращения обозначений будем матрицу (2.2) записывать в виде пары элементов (C, u). (Соответственно матрицы(2.3) и (2.4) в виде пар (ξ, u) и (X, a)).Теорема 2.1. Пусть Λij – тензор обратный к Λij , то есть такой, чтоΛij Λjk = δik . Тогда1Ad∗(C,u) (X, a) = (CXC −1 + (ai uj − Λjα aα Λiβ uβ ), (C −1 )ji aj )2(2.7)Глава 2. Инварианты и орбиты для полупрямых сумм52Доказательство.

Чтобы выписать явную формулу для Ad∗ можно воспользоваться общей формулой для Ad∗ для полупрямых сумм вида g +ϕ V (см. [5]):Ad∗(C,u) (X, a) = (Ad∗C (X) + A(u, a), ϕ(C)a).(2.8)A в этой формуле обозначает отображение A : V × V ∗ → g∗ , определяемоеравенствомhA(u, a), ξi = hϕ(ξ)u, ai.(2.9)В нашем случае получаемhA(u, a), ξi = ξij ui aj = hξ, ui aj i.(2.10)Матрица ui aj вообще говоря не лежит в g∗ .

Для того, чтобы получить выражение для A(u, v) нужно спроектировать эту матрицу на g∗ ортогонально g.Лемма 2.1. Матрица Y1 = ui aj − Λiα aα Λβj uβ лежит в g∗ , а матрица видаY2 = ui aj + Λiα aα Λβj uβ лежит в g⊥ .Оба утверждения проверяются непосредственно. Для того, чтобы проверить, что матрица Y1 лежит в подпространстве g∗ нужно проверить, что дляматрицы Ȳ1 ∈ g, которая имеет те же координаты, что и Y1 выполняется соотношение: (2.6):Λik (Y1 )ij = Λik (ui aj − Λiα aα Λβj uβ ).(2.11)Если поменять порядок индексов у Λik и у Λβj выражение не изменится, нопосле всех сверток получимΛik (Y1 )ij = Λki ui aj − ak Λjβ uβ .(2.12)Глава 2.

Инварианты и орбиты для полупрямых сумм53Аналогично для Λji (Y1 )ik получаемΛji (Y1 )ik = Λij ui ak − aj Λkβ uβ ,(2.13)а значит Λik (Y1 )ij + Λji (Y1 )ik = 0.Остается проверить, что Y2 ортогонален g. Пусть ξ ∈ g. ТогдаhY2 , ξi = ξij (ui aj + Λiα aα Λβj uβ ).(2.14)Пользуясь (2.6), получаемhY2 , ξi = ξij ui aj − Λiα aα Λji ξβj uβ = 0.(2.15)Доказанная лемма означает, что проекцию матрицы ai uj на подпространство g∗ можно записать в виде 12 (ai uj − Λjα aα Λiβ uβ ), что и требовалось.Для того, чтобы получить выражение для инвариантов Ad∗ , сопоставим каждому элементу (X, a) ∈ g∗ матрицу следующего вида:Λ1i ai ..  X.

M(X,a) = .ni Λaia1 . . . an0(2.16)То есть в последней строке запишем координаты a, а в последнем столбце запишем координаты вектора, который получится, если у a поднять индекс с помощью Λ.Посмотрим, что происходит с матрицей M(X,a) если мы действуем на (X, a)с помощью Ad∗ .

Нетрудно проверить, чтоMAd∗(C,0) (X,a) = C̄M C̄ −1 ,(2.17)Глава 2. Инварианты и орбиты для полупрямых сумм54где C̄ обозначает матрицу CC̄ = 0...00.. ..01(2.18)Это означает, что при действии элементов вида (C, 0) инварианты матрицы Mне меняются. Посмотрим, что происходит при действии элементов вида (E, u).Из явного вида для Ad∗ ясно, что последние строка и столбец остаются неизменными, а к каждой строке (столбцу) матрицы X прибавляется с некоторымвесом последняя строка (столбец).Ясно, что при такой операции остаются неизменными диагональные миноры матрицы M , содержащие последнюю строку и последний столбец. Напомним, что коэффициенты характеристического многочлена любой матрицымогут быть записаны как суммы ее диагональных миноров.

Для того, чтобыполучить сумму диагональных миноров матрицы M , содержащих последнююстроку и столбец нужно из суммы всех ее диагональных миноров вычесть сумму миноров матрицы X соответствующего порядка.Приведенные выше рассуждения показывают, что коэффициенты многочленаdet(M − λE) + λ det(X − λE)(2.19)являются инвариантами коприсоединенного действия группы R.Из доказательства ясно, что ответ не сильно изменится, если вместо дей-Глава 2.

Инварианты и орбиты для полупрямых сумм55ствия g на V рассмотреть несколько его “копий”:rk = g +ϕk V k .(2.20)В этом случае удобно считать, что у векторов a и ковекторов u есть дополнительный индекс ζ, меняющийся от 1 до k. Действие ha, ui теперь будет записываться в виде uiζ aiζ . Соответственно в формуле для A(u, v) ((2.10)) получимhA(u, a), ξi = ξij uiζ ajζ = hξ, uiζ ajζ i.(2.21)Далее нужно описать проекцию последней матрицы на g, но поскольку приведенные выше выкладки справедливы для каждого слагаемого в сумме по ζ, тоони справедливы и для всей суммы в целом.Ясно, что если рассмотреть матрицуM(X,a),kΛ1i ai1Λ1i aik ..

. . . ..  X.. niniΛ ai1Λ aik =aan1 110. . . . . . . . .a1k ank(2.22)для нее будут справедливы те же рассуждения, что и для матрицы M(X,a) , аименно, суммы ее диагональных миноров, содержащих последние k столбцовбудут инвариантами.Таким образом мы получаем следующее выражение для инвариантов rk :Теорема 2.2. Рассмотрим многочлен det(M − λE). Коэффициент при λmявляется многочленом Fm от элементов X и переменных aij .

Обозна-Глава 2. Инварианты и орбиты для полупрямых сумм56чим F̄m сумму тех мономов в Fm , в которых суммарная степень по переменным aij равна 2k. Тогда многочлены F̄m являются инвариантамикоприсоединенного действия группы rk .Отказаться от условия на форму Λ не удается. Если группа G сохраняетпроизвольную билинейную форму Λ на V , то она сохраняет одновременно еесимметричную часть и кососимметричную части, поскольку они выражаются через Λ.

Это значит, что интересующая нас группа является пересечениемдвух групп и проекция на ее алгебру устроена более сложно.Вопрос о полноте полученного набора нужно рассматривать отдельно длякаждого вида алгебр.2.2Инварианты и орбиты коприсоединенного представления2.2.1Инварианты для алгебры Ли so(n) +ϕk (Rn )kПосмотрим, какой результат дает формула, полученная в предыдущем разделе. Инварианты для алгебр этого вида были описаны в работе [14].Для того, чтобы показать, что построенные в теореме 2.2 инварианты выделяют орбиты найдем в начале индекс алгебры Ли so(n) +ϕk (Rn )k , воспользовавшись теоремой Раиса.Инвариантами представления ϕ∗ являются скалярные произведения векторов из Rn (мы будем обозначать скалярное произведение круглыми скобками).

Независимыми будут всевозможные попарные произведения векторовГлава 2. Инварианты и орбиты для полупрямых сумм57(ai , aj ) (включая скалярные квадраты), то есть индекс представления ϕ равенk(k+1)2 .Аннулятором для элемента (Rn )k общего положения будет so(n − k).Окончательно получаемind so(n) +ϕkk(k+1)n−k(Rn )k =+.22Это совпадает с количеством ненулевых функций, построенных нами.Покажем, что градиенты построенных нами функций независимы в точкеобщего положения. Для этого достаточно указать подпространство, в ограничении на которое рассматриваемые функции независимы. Рассмотрим матрицы видаM(X,a)0 0 . . .

Характеристики

Список файлов диссертации