Инварианты и геометрические свойства орбит коприсоединенного действия групп Ли (1103050), страница 11
Текст из файла (страница 11)
Бигамильтоновы структуры на алгебрах Ли77лочкой всех векторов aij , j < ni . Назовем ni эффективными длинами цепочек.Вообще говоря эти величины определены неоднозначно: на очередном шагенам может потребоваться выбрать один из нескольких зависимых векторов иоборвать соответствующую цепочку. Тем не менее набор чисел ni (без учетаих порядка) имеет инвариантный смысл, поэтому определяется однозначно.Опишем это инвариантное определение.Если мы укоротим все цепочки до их эффективной длины, мы можем интерпретировать разность dim Vl+1 − dim Vl как количество цепочек, эффективнаядлина которых превосходит j.
Но выше было уже отмечено, что эта разностьравна количеству кронекеровых блоков размера больше 2l − 1. Это означает,что количество кронекеровых блоков размера 2nl − 1 равно количеству цепочек с эффективной длиной nl . Иначе говоря каждой цепочке соответствуеткронекеров блок, при этом размер этого блока равен 2nl − 1, где nl — эффективная длина соответствующей цепочки. Набор чисел nl таким образомне зависит от произвола в выборе базиса в span(aij ), поскольку определяетсянабором размеров кронекеровых блоков в каноническом виде.Теорема 3.2 показывает, что структура кронекеровых клеток в канонической форме пучка полностью определяется набором кронекеровых цепочек.Вернемся теперь к случаю алгебр Ли.
Как уже отмечалось, зафиксировав произвольный элемент a ∈ g∗ мы можем рассмотреть пучок кососимметрическихформ Aa + λAx . Оказывается, что часть канонического базиса, соответствующая кронекеровым клеткам тесно связана с инвариантами коприсоединенно-Глава 3. Бигамильтоновы структуры на алгебрах Ли78го представления.
Ключевым соображением здесь является следующий факт,отмеченный Мищенко и Фоменко ([7]):Утверждение 3.1. Пусть f (x) — (локальный) инвариант коприсоединенного представления в окрестности регулярной точки a ∈ g∗ . Рассмотрим разложение f (a − λx) в ряд по степеням λ:Xf (a − λx) =λi gi (x),iгде gi (x) — однородные многочлены степени i. Тогда градиенты dgi образуют кронекерову цепочку относительно пучка форм Aa + λAx .Доказательство. Поскольку f (x) — локальный инвариант, градиент df (x)лежит в ядре формы Ax для любого x.
Запишем это условие в точке a − λx:XXiAa−λx df (a − λx) = Aaλ dgi − λAxλi dgi = 0.iПриравнивая коэффициенты при одинаковых степенях λ получаемAa dgi = Ax dgi−1 , i ≥ 2(3.5)Aa dg1 = 0.(3.6)что доказывает утверждение.Можно показать, что для алгебры Ли g размеры кронекеровых блоков одинаковы для почти всех пар (x, a) ∈ g∗ × g∗ . Рассмотрим регулярный элементa. Выберем локальные инварианты fi (x), такие что в точке a их градиенты порождают ядро скобки Aa . В соответствии с теоремой 3.1 построим для каждого инварианта кронекерову цепочку.
Размеры кронекеровых блоков определяются тем, каковы эффективные длины построенных цепочек. Эти длины зависят вообще говоря от точки x. Рассмотрим размерности подпространств ViГлава 3. Бигамильтоновы структуры на алгебрах Ли79для всевозможных x и выберем di = maxa,x Vi (a, x). Условие dimVi (a, x0 ) < diозначает, что какие-то из векторов высоты i, независимые в какой-то точкеx оказались зависимы в точке x0 .
Все такие точки выделяются некоторымиалгебраическими условиями, а значит образуют множество коразмерности покрайней мере 1.Из приведенного выше рассуждения видно, что множество пар (x, a) длякоторых размерности dim Vi (a, x) < max(a,x) dim Vi имеет коразмерность покрайней мере 1.Определение 2. Кронекеровыми индексами алгебры Ли назовем величины ki , определяемые равенствомki =max(a,x)∈g∗ ×g∗dim Vi (a, x).Кронекеровы индексы равны размерам кронекеровых блоков в нормальнойформе пучка λ{, }x + λ{, }a для пары (x, a) общего положения.3.2Критерий Болсинова и теорема КостантаПусть fi – один из инвариантов коприсоединенного представления.
Рассмотрим fi (a − λx) и разложим его в ряд по степеням λ:fi (a + λx) = gi0 +Xλj gij (x),jгде gij (x) – однородные многочлены степени k. Говорят, что функции gij получены методом сдвига аргумента. А.С. Мищенко и А.Т. Фоменко показали ([8]),что эти функции находятся в инволюции относительно скобки Пуассона–Ли.Глава 3.
Бигамильтоновы структуры на алгебрах Ли80Будем говорить, что набор является полным, если количество алгебраическинезависимых функций в нем равно размерности лагранжева подпространстваскобки Пуассона–Ли в точке общего положения, то есть 12 (dim g + ind g).Применяя описанную конструкцию ко всем инвариантам алгебры Ли мыполучаем набор функций gij .
А.В. Болсиновым доказан следующий критерий,показывающий будет ли набор функций, построенный методом сдвига инварианта полным:Утверждение 3.2 (А.В.Болсинов). Пусть Fa — набор полиномов, построенный методом сдвига аргумента. Тогда их дифференциалы df (x), f ∈ Faпорождают в точке x подпространство размерности 21 (dim g + ind g)тогда и только тогда, когда все элементы вида a + λx регулярны.Это утверждение легко выводится из теоремы Кронекер–Жордана о пучкекососимметрических форм.Доказательство. Условие, что все точки вида a+λx регулярны эквивалентно требованию, чтобы в каноническом виде пучка Aa + λAx отсутствовалижордановы клетки.
Наличие жордановой клетки означает, что при −λ0 равном собственному значению соответствующей клетки ранг формы Aa + λ0 Axменьше, чем ранг формы общего положения в пучке. Это означает, что точке a + λ0 x не является регулярной. Таким образом отсутствие Жордановыхклеток эквивалентно отсутствию синглярных элементов на прямой a + λ.Из 3.2 и 3.1 следует, что в каждой клетке размерности 2q + 1 градиентысдвигов инвариантов задают q + 1-мерное подпространство.
Поскольку количество кронекеровых клеток равно индексу алгебры g, размерность подпро-Глава 3. Бигамильтоновы структуры на алгебрах Ли81странства, натянутого на градиенты сдвигов инвариантов равна 12 (Q + ind g),где Q — суммарная размерность кронекеровых клеток. Ясно, что это выражение равно 12 (dim g + ind g) тогда и только тогда, когда Q = dim g, то естьжордановы клетки отсутсьвуют.Критерий Болсинова позволяет получить простое доказательство утверждения Костанта.Теорема 3.3 (Костант).
Пусть g — полупростая алгебра Ли. Пусть fi— канонические инварианты коприсоединенного представления. Тогда градиенты dfi независимы во всех регулярных точках g∗ .Сам Костант приводит достаточно сложное доказательство этого факта,основанное на явном виде инвариантов коприсоединенного представления полупростых групп Ли. Мы докажем более сильную теорему. Назовем множеством особых точек в g∗ множествоS = {x ∈ g∗ |corankAx < ind g}Теорема 3.4. Пусть g — алгебра Ли, множество особых точек в двойственном пространстве имеет коразмерность не меньше двух, f1 , .
. . , fk ,k = ind g – полиномиальные алгебраически независимые инвариантыPкоприсоединенного представления иdeg fi = 21 (dim g + ind g). Тогдаградиенты инвариантов dfi независимы во всех регулярных точках g∗ .Доказательство. Рассмотрим произвольную регулярную точку x. Поскольку множество особых точек имеет коразмерность 2 найдется такой регулярный вектор a, что прямая x + λa не пересекает множество особых точек. Полнота набора в точке x означает, что на дифференциалы функций gij натянутоГлава 3. Бигамильтоновы структуры на алгебрах Ли82подпространство размерности 12 (dim g + ind g).
Поскольку в наборе gij ровноPPdegfфункций,изусловияdegfi = 21 (dim g + ind g) следует, что дифiiференциалы функций gij независимы в точке x. Сами инварианты fi входятв набор как gi0 , а значит их дифференциалы также независимы. Размерностьаннулятора регулярного элемента совпадает с индексом алгебры Ли, а значитградиенты инвариантов образуют базис в аннуляторе x.Оба условия — коразмерность множества особых точек и условие на сумму степеней инвариантов существенны.
Приведем примеры, когда из-за нарушения одного из условий теорема не выполняется. Продемонстрируем, что вслучае, если условия теоремы не выполняются, могут нарушаться оба свойства: инварианты могут быть зависимы в регулярных точках или независимыв сингулярных точках.Пример. Рассмотрим полупрямую сумму so(2) +φ R2 +φ R2 , где φ – естественное представление so(2).
Если ввести в коммутативных идеалах координаты x1 , y1 , x2 , y2 , то инвариантами коприсоединенного представления g будутf1 = x21 + y12 , f2 = x22 + y22 , f3 = x1 x2 + y1 y2 . Сумма степеней инвариантов неудовлетворяет условию, сформулированному в теореме. Сингулярными будутточки, у которых x1 = x2 = y1 = y2 = 0.
Для регулярных точек, у которыхx1 = x2 6= 0, y1 = y2 6= 0 справедливо равенство df3 = 21 (df1 + df2 ).Пример. Рассмотрим полупрямую сумму sl(2) +φ R2 +φ R2 , где φ – естественное представление sl(2). Введем в R2 +R2 координаты x1 , y1 , x2 , y2 . Единственным инвариантом будет f1 = x1 y2 − x2 y1 . При этом для сингулярных точек вида (x1 , y1 ) = λ(x2 , y2 ) градиент f1 не равен 0.Глава 3. Бигамильтоновы структуры на алгебрах Ли83Теорема, аналогичная 3.4, доказана А.
Панюшевым в работе [25] с использованием другой техники. Он показывает также, что если codim S ≥ 2 условиеPdeg fi = 12 (dim g + ind g) эквивалентно тому, что дифференциалы dfi линейно зависимы в точности в точках множества S.Отдельный интерес представляет вопрос о том, как устроено подпространство, натянутое на градиенты инвариантов в особой точке. Костант доказываетследующее утверждение:Теорема 3.5. Пусть f — инвариант коприсоединенного представленияалгебры Ли g. Пусть a ∈ g∗ . Тогда df (a) лежит в центре (Ann(a)).Костант приводит это утверждение для редуктивных алгебр, ниже мы приведем доказательство для произвольной алгебры Ли в духе бигамильтоноваподхода.3.3Теорема Винберга.Основываясь на наблюдениях А.В.
Болсинова, А.Г. Элашвили выдвинул гипотезу, что индекс аннулятора произвольного элемента в алгебре Ли совпадает с индексом всей алгебры.На сегодняшний день эта гипотеза доказана Шарбонелем для редуктивных алгебр Ли [23] и независимо Якимовой [24] для полупростых алгебр Ли.В доказательстве Шарбонеля активно используются идеи, связанные с бигамильтоновой структурой на алгебрах Ли. Ниже будет построен пример нильпотентной алгебры, показывающий, что для нильпотентных алгебр утверждение гипотезы вообще говоря не выполняется.Глава 3. Бигамильтоновы структуры на алгебрах Ли84В общем случае наиболее сильным результатом, связанным с гипотезойБолсинова–Элашвили является теорема ВинбергаТеорема 3.6. Пусть g — алгебра Ли, a ∈ g∗ — произвольный элемент.Тогда ind Ann(a) ≥ ind g.Доказательство, предложенное Э.Б.
Винбергом основано на общих свойствах представлений алгебр Ли. Мы приведем другое доказательство этогофакта, основанное на теореме Жордана–Кронекера. Оно позволяет понять,что именно является препятствием для равенства индексов в общем случае.Доказательство. Пусть a — произвольный элемент. Нас интересуют индексы алгебр g и Ann(a).
Иначе говоря, размерности ядра скобки Пуассона–Ли для регулярного элемента в каждой алгебре. Пусть x — регулярный элемент в g∗ такой, что его естественная проекция π : g∗ → Ann(a)∗ переводитего в регулярный элемент в Ann(a)∗ . Рассмотрим пучок кососимметрическихформ Ax + λAa и приведем его к каноническому виду.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
