Инварианты и геометрические свойства орбит коприсоединенного действия групп Ли (1103050), страница 12

Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла (страница 12)

Поскольку x — регулярный элемент, в канонической форме не будет блоков, отвечающих “бесконечному” собственному значению. Количество кронекеровых блоков равноразмерности ядра формы Ax , то есть индексу алгебры g.Рассмотрим ограничение формы Ax на ядро формы Aa . Это ограничениебудет совпадать со скобкой Пуассона–Ли на Ann(a), взятой в точке π(x).

Изканонического вида пучка легко понять, как устроено ядро Aa : каждой кронекеровой клетке соответствует одномерное подпространство, каждой жордановой клетке с нулевым собственным значением — двумерное. Для того, чтобы понять, как устроено ядро ограничения формы на Ax на KerAa достаточноГлава 3. Бигамильтоновы структуры на алгебрах Ли85понять, как оно устроено в каждом из блоков. Поскольку для кронекеровыхблоков ядро одномерно, ограничение формы Ax на него вырождено. Для жордановых блоков размера 2 с нулевым собственным значением (то есть не имеющих единиц над диагональю) ядро формы Aa будет двумерно, а ограничениеформы Ax на него — невырожденным. В случае, если жордановы блоки имеют больший размер, ядро формы Aa по прежнему двумерно, но ограничениеформы Ax вырождено.Мы получаем, что размерность ядра ограничения Ax на KerAa не меньшеколичества кронекеровых блоков, но это в точности означает, что выполняется неравенство ind Ann(a) ≥ ind gПомимо доказательства теоремы Винберга, рассматриваемая конструкциядает простой путь для построения контрпримера к гипотезе Болсинова–Элашвилив неполупростом случае.

Ясно, что для того, чтобы контрпример был возможен, размерность алгебры должна быть не менее 4, поскольку в матрице формы Aa должен поместиться хотя бы один жорданов блок размера два. Для четырехмерной алгебры такой пример легко строится: рассмотрим базис ξ1 , ξ2 ,η1 , η2 . Пусть [ξ1 , η1 ] = [ξ2 , η2 ] = η1 , [ξ1 , η2 ] = η2 , [ξ2 , η1 ] = [ξ1 , ξ2 ] = [ξ2 , η1 ] = 0.Справедливость тождества Якоби легко проверяется непосредственно:[[ξ1 , ξ2 ], η1 ] + [[η1 , ξ1 ], ξ2 ] + [[ξ2 , η1 ], ξ1 ] = 0 − [η1 , ξ2 ] + 0 = 0[[ξ1 , ξ2 ], η2 ] + [[η2 , ξ1 ], ξ2 ] + [[ξ2 , η2 ], ξ1 ] = 0 − [η2 , ξ2 ] + [η1 , ξ1 ] = 0[[ξ1 , η1 ], η2 ] + [[η2 , ξ1 ], η1 ] + [[η1 , η2 ], ξ1 ] = [η1 , η2 ] − [η2 , η1 ] + 0 = 0[[ξ2 , η1 ], η2 ] + [[η2 , ξ2 ], η1 ] + [[η1 , η2 ], ξ2 ] = 0 − [η2 , η1 ] + 0 = 0.Рассмотрим базис ξi∗ , ηi∗ , двойственный к базису ξi , ηi .Глава 3.

Бигамильтоновы структуры на алгебрах Ли86Теорема 3.7. Для построенной алгебры неравенство в теореме Винберга является строгим для a = η2∗ .Доказательство. Взяв в качестве x и a элементы η1∗ и η2∗ соответственно, мыувидим, что в описанном базисе формы приведены к каноническому виду и приэтом матрица Aa имеет жорданову клетку с нулевым собственным значениемразмерности два.Индекс всей алгебры равен 0: скобка Пуассона в точке общего положенияневырождена. Посмотрим теперь, как устроен аннулятор элемента η2∗ . Он состоит из таких элементов τ , что [τ, φ] ортогонально η2∗ при всех φ.

Получаем,что аннулятор натянут на базис ξ2 , η1 , то есть является коммутативной подалгеброй, индекс которой равен 2.Теорема 3.8. Разность ind g−ind Ann(a) является неотрицательным четным числом и может быть любой.Доказательство.

Из конструкции, применяемой в доказательстве теоремыВинберга, видно, что индекс аннулятора элемента a может увеличиваться только за счет наличия в каноническом виде пучка Ax + Aa нетривиальных жордановых клеток. Но каждая такая клетка порождает двумерное подпространство, ограничение Aa на которое тривиально. Это доказывает первое утверждение.Разность 2k можно получить взяв прямую сумму k экземпляров алгебр, построенных в предыдущей теореме.Описанную выше конструкцию можно использовать, чтобы доказать теорему Костанта 3.5.Глава 3.

Бигамильтоновы структуры на алгебрах Ли87Доказательство. Центр аннулятора можно описать как пересечение ядерформ Ax |Ker Aa для всевозможных регулярных x. Градиенты инвариантов df (a)лежат в Ker Aa . Покажем, что градиент df (a) лежит в подпространстве, отвечающем кронекеровой части канонического базиса для пучка Ax + λAa . Рассмотрим инвариант f (x) и запищем разложениеf (x − λ0 a + λa) =Xgj (x)λj .jВекторы dgj образуют кронекерову цепочку, то следовательно любая их линейная комбинация лежит в подпространстве, отвечающем кронекеровой чаPсти канонического базиса. Но df (a) = j dgj (x)λj0 .

Если f является гладкимв точке a, то выбирая λ0 достаточно малым получим сходящийся ряд.Получаем, что вектор df (a) лежит в Ker Ax |Ker Aa при всех x, что эквивалентно утверждению теоремы.Замечание 3.1. Из теоремы Винберга следует также классическая теорема о том, что аннулятор регулярного элемента в смысле коприсоединенного представления алгебры Ли коммутативен.3.4Оценка степеней инвариантов коприсоединенного представленияСледующая теорема показывает применение кронекеровых индексов для оценки степеней полиномиальных инвариантов алгебры Ли снизу:Теорема 3.9. Пусть g — алгебра Ли, f1 , .

. . , fs (s = ind g) — набор алгебраически независимых полиномиальных инвариантов коприсоединен-Глава 3. Бигамильтоновы структуры на алгебрах Ли88ного представления и deg f1 ≤ deg f2 ≤ . . . . Тогдаdeg fi ≥ ri ,где r1 ≤ r2 ≤ · · · ≤ rs — кронекеровы индексы алгебры Ли g.Доказательство. Выберем элементы x и a так, чтобы дифференциалы инвариантов f1 , . . . , fk были независимы в точке a, а размеры кронекеровых блоковв каноническом виде для пучка Aa + λAx были равны кронекеровым индексамалгебры g. Рассмотрим цепочки, получающиеся сдвигом инварианта из каждого инварианта fi .По теореме 3.2 размеры кронекеровых блоков не превосходят длин соответствующих цепочек, но длины цепочек по определению не могут быть больше степеней соответствующих инвариантов.Отсюда получаем, что deg fi ≥ ri .В случае, если коразмерность множества особых точек в g не меньше 2 иPi deg fi= 21 (dim g + ind g) оценка в теореме 3.9 становится точной, то естьстепени инвариантов равны кронекеровым индексам алгебры Ли.

Условие коразмерности два означает, что можно выбрать a и x так, что все формы в пучкеAa + λAx имеют один и тот же коранг, равный индексу алгебры. Это означает,что в каноническом виде пучка отсутствуют жордановы клетки. Таким образомсумма размерностей кронекеровых блоков равна размерности алгебры g, а количество векторов, получаемых из сдвигов инвариантов равно 12 (dim g+ind g).Это означает, что в точке общего положения все эти векторы независимы, тоесть длина кронекеровых цепочек совпадает с их эффективной длиной.Глава 3.

Бигамильтоновы структуры на алгебрах Ли89В рассматриваемом случае размеры кронекеровых блоков равны кронекеровым индексам алгебры Ли тогда и только тогда, когда все формы в пучкеAa + λAx регулярны, то есть когда прямая a + λx не пересекается со множеством особых точек.Замечание 3.2. В теореме 3.9 можно отказаться от условия k = ind g.Пусть g — алгебра Ли, f1 , . . .

, fs (s ≤ ind g) — набор алгебраическинезависимых полиномиальных инвариантов коприсоединенного представления и deg f1 ≤ deg f2 ≤ · · · ≤ deg fs . Пусть r1 ≤ r2 ≤ · · · ≤ rk —кронекеровы индексы алгебры Ли g. Тогда deg fi > ri ∀i ≤ s.Доказательство. Выберем регулярную точку a, в которой дифференциалыfk независимы. Выберем локальные инварианты (необязательно полиномиальные) fs+1 , . .

. , fk , k = ind g так, чтобы градиенты dfk были независимы вточке a. Предложение 3.1 справедливо и для локальных инвариантов, поэтому для набора f1 , . . . , fk можно воспользоваться теми же рассуждениями, чтои в доказательстве теоремы 3.9 (если добавленные нами инварианты не полиномиальны, их степень будем считать равной бесконечности). Получим длястепеней всех инвариантов оценку deg fi ≥ ri , но она тем более верна если мыограничимся меньшим количеством инвариантов.С помощь теоремы 3.9 можно получить оценку на степени полиномиальныхинвариантов произвольного представления алгебры Ли g.Следствие 3.1.

Пусть задано представление алгебры Ли g в пространстве V , коразмерность орбиты общего положения равна q, инварианты этого действия f1 , . . . , fq полиномиальны, их градиенты независимыГлава 3. Бигамильтоновы структуры на алгебрах Ли90в некоторой регулярной точке x ∈ V и deg f1 ≤ deg f2 ≤ . . . . Рассмотрим полупрямую сумму r = g +φ∗ V ∗ , где φ∗ — действие , двойственное кφ. Пусть k1 ≤ k2 ≤ · · · ≤ kq ≤ . .

. — кронекеровы индексы алгебры Ли r.Тогда deg fi ≥ ki .Доказательство. Инварианты действия φ являются также инвариантами коприсоединенного представления группы r. Замечание 3.2 показывает, что теорема 3.9 дает в этом случае оценку степеней инвариантов действия φ.Литература[1] А. С. Воронцов, Инварианты алгебр Ли, представимых в виде полупрямой суммы с коммутативным идеалом Матем. сб., 200:8 (2009), 45–62[2] А.С. Воронцов, Кронекеровы индексы алгебры Ли и оценка степенейинвариантов, Вестн. моск.

Характеристики

Список файлов диссертации