Инвариант Фоменко-Цишанга в интегрируемом случае О.И.Богоявленского (1103048), страница 7
Текст из файла (страница 7)
21. проекция Мв(Ь) при Ь = О, 0056в + О, 995Ьв, На рис, 22. проекция М„'(Ь) при Ь = Ьв. Подмножество плоскости й~ф-г1в, «в+О,), в котоРое пРоектиРУетсЯ Мв(Ь), пРи Ь > Ьв определяется следующим неравенством: « с. 1 — сов(д — ав) 1 — сов(д — ав) Ь + Ь, - Р - с ' Ь Ь, На Рис. 23 изобРажена пРоекциЯ Мвз(Ь) на Квф — г1в, ~в + гЬ) пРи Ь = 20Ьз. Теорема доказана. Рис.14-23 выполнены в Мав11саг1 5.0+ при св = 3, с = 2. Теорему 4 также иллюстрируют рис.7-9. Для вычисления проекций-диффеоморфизмов связных компонент Мсв(Ь) в К~ использовались формулы из теоремы 4, Метод проектирования описан в следующем Разделе.
На Рнс.7 изобРажен тоР Мз(Ь) пРи Ь + Ьг + О, котоРый стЯгиваетсЯ на минимальную окружность гамнльтониана Н. На рис. 6 и 9 связная компонента Мз(Ь) перестраивается при Ь вЂ” в Ьв — 0 н Ь вЂ” ~ Ьв — О, соответственно, Глава 6. Компьютерная визуализации торов Лиувиллл и бифу ржаний Для создания рис.7-9 разработан следующий метод визуализации бифуркаций торов Лиувилля. Пусть, например, тор Т~(с+ е) отвечает значению с+ е боттовского интеграла уз[ез при с б (О;ее[, где сс -+ +О.
Здесь |~з - подмногообразие уровня интеграла уь коммутиру1ощего с уз, и с - критическое значение функции Яцз, Можно считать, что соответствУющнй цолиэдР Р, = 1пп, +с 2'з(с+ е) пеРесекаетск с множеством кРитических точек функции уз [Оз по единственной окружности У(с). Если это не так, то малым возмущением интеграла уз устраним на Р, все лишние критические окружности, кроме У(с) [37[. В частности, полиэдр Р, может совпадать с У(с), которал в этом (и только в этом) случае является минимаксной. Предположим, что: 1, Для каждого с б (О; со[ конструктивно определен гомеоморфизм Ф, стандартного тора У х У (с угловымн координатами 1, и) на тор 7 з(с+ с). 1.1.
Гомеоморфизм Ф, непрерывно зависит от е. 1.2. Для всех (1, и) существует ?иа, +е Ф,(1, и), причем сходимость равномерна по (1, и). 2. Конструктивно определен гомеоморфизм 4 стандартной окружности У (с угловой координатой $) на криткческую окружность У(с). 3.1. Если 5 (с) - седловая окружность, то Ьп1, ++с Ф,(1, х-) = ф(1). 3.2. Если У(с) - минимаксная окружность, то Бш, >+с Ф,($, и) = ф($). Гомеоморфизмы Ф,(1, и) фактически построены при доказательстве теоремы 4, Если Ь~ < Ь < Ьз, то гомеоморфизм с?(1), согласованный с (6.1) и отображающий У на Н '(ЬзЯС (теоРема1), в кооРдинатах Мь Мз, Мз,Р,д,г,ф, с,в пРостРанства Вэ Э Мэ определяют следующие формулы: 1 ф=-(й,+р,+э,— р) 2ес; д р, 2 р(с= и~+~, ес=ж .(с=О, Ф=,э+мэ?:~ю.
Ф(1) = 1~ [, /2[О[,/2;я[=э -1 1 б [-и/2.„Я~2] =Э Язэ, М,(1) = ~/р(1) з)п — здяЯ, Мз(1) = — ~lр(1) соэ — ° здп(1), Мз(1) = О. 2 Соответственно, при Ь + Ьз — 0 на экране компьютера отображается бифуркации типа ?П [37) тоРа [Н = Ь, 7" = 0) (Рис.8). Если в этих фоРмУлах всюдУ заменить Ьь Рь Ьз ° а„р,, ь, („.
р, = ~/~ ч. ~э; 1, * уц.„... °,~ г ° ~6.1~ физм 4(1) на минимэльну|о окружность Н (т.е. на уровень Н = Ь1). При Ь + Ь, + О на экране отображается бифуркация типа 1 (рис,7). Наконец, согласованный с (6.2) гомеоморфизм ф(1) на одну из двух седловых критических окружностей Н, соответствующих значению Ьз, определяют следующие формулы: с(1) = (Рз — Р1)ззцзф2) — Рз, Р(1) = с(1) + Ьз, д(1) = -и+ ссс, в(1) = О, г(1) = 1Ь(1) = — — — «здзъ(з), щ1 и 2 2 М,(с) = — ~/р(1) з1п — ", М,(1) = /р(1) ° соз —, Мз(1) = О, Гомеоморфизм на вторую окружность Ьз получается обрицением знаков Мм Мз.
При Ь -+ Ьз — О на экране отображается бифуркации типа Ш (рис.9). Как только получены формулы(или вычислительные процедуры) Ф,(1,и) и Ф(1), можно стРоить гомеомоРфизм полиэдРа Р' = 1Р 6 Чз: с < Уз(Р) < с+ соу на 3-х мерный полиэдр в Н.з, который в случае 3.2 совпадает с полноторием стандартного тора У х У (бифуркации типа 1), а в случае 3.1 получается так: внутри каждого из плоских дисков, ограниченных меридианами стандартного тора, высверлим пару дисков, границы которых пересекаются в центре меридионального диска, т.е.
в точке окружности У; сверлим так, чтобы после обхода вокруг У каждая из дырок вернулась в исходное положение(при бифуркации типа Ш), или чтобы дырки поменялись местами (при бифуркации типа 1Ч). Заметим, что дырка может совершить несколько полных оборотов вокруг оси тора. На экране хомпьютера мы увидим - сколько получится таких витков ? Итак, измерим в Н." евклидову длину з(1, и) дуги 1Ф,(1, и'): — и < и' < и). Также измерим длину з(1) окружности (Ф,(1,и'): — я < в' < яу.
Пусть Н(з,и) - евклидово расстояние от точки Ф,(1, и) до точки ф(1), Тогда точке Ф,(1, и) соотнесем точку из Н.з: а) которая лежит в плоскости Кз(с), ортогональной У в точке 1 б У; б) а также удалена от точки г 6 У на расстояние Я(1, и); в) и повернута в некотором фиксированном направлении на угол з(1,и)/з(и) относительно прямой, по которой Н з(с) пересекается с плоскостью окружности У. Очевидно, что для фиксированного с образы точек Ф,(1,и) при -я < 1,и < и заполняют в Нз гладко продеформированный стандартный тор, который при с -+ +О перестраивается вдоль У; по типу 1 в случае 3.2, по типам 1П или?У в случае 3.1.
Переходя к пределу при с -+ +О, получаем искомый гомеоморфизм полиэдра Рз, В настоящей задаче удалось задать гомеоморфнзмы Ф, и зз явными аналитическими формулами, но только для нулевого уровня интеграла Богоявленского, т.е. Я = 1 (О) з и ~з = Н. В общем случае их можно вычислять приближенно. Построенная таким образом в Кз модель бифуркации оживает на экране компьютера. Мы увидим бифуркацию типа 1, или половину бифуркации типа Ш(17) - вплоть до момента склеивания тора вдоль пари(одного) нетривиальных циклов, Эксперименты по компьютерной визуализации бифуркаций лиувнллевых торов, возможно впервые, проводились в 1988г.
в США (13). Глава 7. Инвариант Фоменко-Цишанга, тсзпологии ивоэнергетииеекик новеркноетей и фазового многообравии 3 7.1. Теорема б о меченых молекулах Ит'Щ) в случае О.И.Богоивленсясого При вычислении инвариалта Фоменко-Цишанга мы следуем работе [7), Техничес ки оказалось проще изобразить метки на ребрах графов, чем на молекулах — в этом несущественное терминологическое отличие от [7[. Новейшие достижения теории то пологической и траекторной классификации интегрируемых систем, которая далеко продвинулась в трудах А.Т.
Фоменко, А.В. Болсинова, их коллег и учеников, в т"и числе методы вычисления инвариаптов систематизированы в [1Ц, Теорема б. Различные значения инвариантов Фоменно-Цитпанга Ит (®, олл осе* регулярных изоэнергетпттчесних поверхностей Щ с боттовсними интпегралами, т Ре стпавлены на рис.10-1э ориснтпированными графами Г(1~~~, 1) с метками г, е. Все и - метана равны нулю, либо отсутстпвуют.
Соответствуютпие молекулы собратзы в таб,1, Тоттологття наэтсдой неособой изоэнергетпичесной поверхности Щ указана в тпаб.1, Следствие Фазовое многообразие М' гомеоморфно У х У х И., Доказательство. Изознергетическая поверхность Я определяется системой (2-3) и ур ° ° ль=~Я.-т~Гтпр б <Ь - ~ ° р* .* О'„ что Мз — — с — р + 6 = О, проектируется на плоскость Из(с, р) в отрезок [КХ] (рис 1). Прн Ь > Йз таких точек вообще нет. т.к. Щ распадается на две связные компонем™ Из (2.3) следует, что Мл = Уз х И(Мз). Подмногообразие )т1з определяется в И.з(Мы Мз, ~, т7) системой (2.3).
ПРи 6 > 1тз каждак свазнаЯ компонента Щ есть гРафи" над 1т'з, следовательно гомеоморфна Атз. Таким образом, М" = Д~+(6) х Н(Мз), а так как т)з (Ь) = 1Зз (ь) = .сз х У, то М4 = сз х У х И.. з 7.2. Доказательство теоремы бт вспомогательные леммы 1-4 Конструкция графов Г(Ц~~, 1) прямо следует из теорем 2-4.
Каждая регулярнаЯ нзо энергетическая поверхность Я~~ склеена из штанов 1тз х У(Атг — диск с двумя дырн амн) н полноторий У х Вз — по обращающим ориентацию диффеоморфизмам грани гных торов, в соответствии со своим графом ГЯгю 1), задающим разбиение на элементарные кирпичи (37). Выберем на граничных торах допустимые системы координат (ллл, Л,) и вычислим метки т;, е;, пь (7). Предполагается, что: а) исходное многообразие М» ориентировано; б) каждая неособвя поверхность 1.1ь ориентировала полем нормалей дгал1(Н); в) все кирпичи, нз которых склеена каждая неособая Щ, ориентированы вместе с 1,1ь.
Пусть Рл,' — — « '(6) — поверхность уровня интеграла «, (все Рьь являются гладкими многообразиями, т.к, д«(р) ф 0 для всех р б М»), Р; М» -г хьг — отображение момента, переводящее р в (Н(р), «(р)). Критические значения интеграла «: ф -+ В., в соответствии с теоремой 2, обозначаем «; или «л~(1), множество критических точек - Сл(1). Пусть М»: 1(Н)„= Л д(«),, Л б Щ. Ясно, что Ст О Щ = С1(1л) для каждого регулярного Ь. Критические окружности гамильтониана Н, соответствующие критическим значениям Ьл, Ьг, Ьз, а также замкнутые траектории поля о, образующие эти окружности, обозначаем 1т, 7г, уз. Предпо- лагается, что каждая критическая окружность ориентирована соответствующей тра- екторией. Лемма 1. Существуют такие два семейства дисков .Ог (1) и 1У~+(1), гладко завис»- щит от 1 из (Ьл+ 6л,оо), нто: а1 диск П~г(1) вложен в ф и тРансвеРсален минимаксной окРУжностпи «л(«т~(1)) инттлеграла « ' л»З — т Ц.
б) НВ„'(1) С Р-'(1,6), 6 = «,"(1) ~ е; в) «;(Ь,+6)+ =«'(Ь,+6) — =О аа'(Ь,+6) =М+(Ьл+6). Лемма 2, Существуют такие два семейства ориенттлрованньлг окружностей Лг+(1') и Лг-(1'), гладко зависящтлх от 1' тлз [Ьг, со), »тол а) ЛгДГ) — один из двух изотопных циклов, которые сепаратрисная диаграмма седловой крипшнеской окрглжности Су й «л(«г (1)) интеграла «: ф, — > лл. выеекаетп на тпоре Р л(1л,6), 6 = «г (Г) х е(Г); б1 гладкалт улункция е(1') монотонно не тдбываетп, г(Ьг) = О и П' > Ьг + 6г(е(1') = е); в) окружность Лг+(Ьг) = Лг (Ьг) образована траекторией 7г, г) ориентпация каждой из окружностей Лгл. (Г) индуцирована замкнутой траекториетз тлоля о, порождающей соотпветствуютцую седловую окружность.
Т.к. все минимаксные окружности «л(«л (1)) изотопны между собой вдоль бифуркационной диаграммы(рис.2), и аналогично изотопны все седловые окружности Су О «л(«г (Г)), то для достаточно малых е, 6, и 6г указанные семейства, очевидно(рис.2), существуют. Отметим, что два изотопных цикла, которые сепаратрнсная диаграмма высекает на торе Р '(с,6), 6 = уг~(Р) ~ е(Р), при Р -+ Ьг сливаются в траекторию уг.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
