Инвариант Фоменко-Цишанга в интегрируемом случае О.И.Богоявленского (1103048), страница 3
Текст из файла (страница 3)
При доказательстве теоремы 4,получены параметрические уравнения каждой связной компоненты Мрз(Ь), задающие диффеоморфизмы стандартного тора У к У, В главе б предлагается алгоритм построения гомеоморфизма 3-мерного полиздра (р б (~~: ~р < ~, + е1 ( или 1р б Щ» . ~р > у, — в) ) в сферическую окрестность окружности У С Кз, переводящий в У критическую окружность боттовского интеграла у; Д~ь -> О., отвечакяцую критическому значению ~„,. Данный гомеоморфизм является локальным диффеоморфизмом всюду, кроме точек окружности У. Фактически он проектирует в Пз торы Лиувилля, перестраивающиеся вблизи крптического уровня 7„после чего процесс бифуркации становится доступным для визуального отображения. Для бифуркаций, происходящих на уровне 7 '(О) при изменении Ь, с помощью компьютерной программы на Вог1апй-разса1, получены рис.7- 0 В авиве 7 вычислены инварианты Фоменко-Цишанга И~ Яь~) н топология каждой регулярной изоэнергетнческой поверхности (~зю а также топология фазового многообразия М~.
В теореме 5 указаны инварианты Фоменко-Цишанга И" Яь~) для всех регулярных нзоэнергетических поверхностей (,1~ с боттовским интегралом 7. Инварианты представлены ориентированными графами ГЯ~~„~) с метками г,е (рис.10-13). Все а - метки равны нулю, либо отсутствуют. 10 Вид графов Р(Щ, у) следует из теорам 1,2,3,4„прн атом теорема 4 возмепьзет не. достающую информацию об ориентнруемостп сецаратриспых диаграмм, необходимую для вычисления графов 'Гфзл, у) (37-39), Ориептнруемость сепаратрнспык диаграмм„ в свою очередь, следует из теоремы 4.
Метки г, е, и (7,11) вычисляются на основе бифуркапионной диаграммы по специально разработанной методике, Из вида ннварнанта И" (14лз) прямо следует топология неособой изознергетпческои поверхности ® котораж - при Ь| < Ь < Ьз диффеоморфна Яз х Я»; - при Ьз < Ь < Ьз днффеоморфпа тору Тз; - при Ь > Ьз состоит из двух связных компонент, диффеоморфных Яз х 'з'1; Доказано важное следствие нз теоремы б; фазовое многообразие М4 гомеоморфно зз х Я' х В, Основные результатьг диссертации, взяносимьге на защиту: - критические значения и подмногообразия энергии Н: М'-л К, где Мл — фазовое многообразие случая О.И.Богоявлелского (теорема 1); - бифуркационная диаграмма отображения момента д: М' Э р ~ (Н(р) У(р)) б В' где у — дополнительный интеграл движения (интеграл О.И,Богоявленского) (рис.
2); - критические значения и критические подмногообразия функции У:0л-~В Юл=Н '(Ь) доказана ее боттовость (37) для всех регулярных значений Ь знергин Н (теоремы 2,3): - фазовые траектории устойчивого периодического движения тяжелого магнита в случае О.И.Богоявленского (теорема 2); - параметрические уравнения лиувнллевых торов У-'(О) и О'„, образующих слоение нулевого уровня интеграла О.И.Богоявленского (теорема 4); - инварианты Фоменко-Цншанга И~'(® для каждой неособой изоэпергетической поверхности Ол (теорема 5, рис.10-13); 11 - топология каждой неособой изоэпергетнческой поверхности ф~ (теорема 5, таб.
Ц: гомеоморфлость фазового М» и многообразия о'з х У х з1 (следствие теоремы б); - эквивалентность движения тяжелого магнита в случае типа С,В.Ковалевской (4), в параллельных магнитном и гравитационном полях, некоторому естественному обобщени»о классического случая С.В.Ковапевской ($ 2.2); - функциональная зависимость на М» между интегралом А,И.Бобенко, А.Г.Реймана, М.А.Семенова-Тян-Шанского д (2), интегралом О,И.Богоявленского / (4) и интегралом энергии Н (формула 1.7). Публикации по теме диссертации: 1, Зотьев Д.Б.
г'о»пспйо-Ъгзсйаод»пэа»зап1 ка Йс Водюуаи1спйу» зп1гдгайг сазе, // Регулярная и хаотическая динамика. Х4, 2000. 2. Зотьев Д.Б, Фаэоеая п»апология интегрируемого слу иая движения пзяжглого магнита при нулевом значении интпеграла п»ипа С,В,Ковалевской.// Деп. в ВИНИТИ. 1986-В 00. 2000. 3. Зотьев Д.Б. Каноническое погружение оупзылни Клейна.// Деп. в ВИНИТИ. 896 - В ОО. 2000.
3 2.1. Вырожденные особенности симплехтн»»есной формы на фазовом мно- гообразии М» Фазовое многообразие М» не является симплектнческим многообразнем, т,к. замкнутзл 2-форма ы вырождается в точках подмногообразия Мз = ~ '(О), Ясно, что М211Щ есть нулевой уровень интеграла ~: ф, -2 В.. Из теоремы 2 следует, что для всех РегУлЯРных Й нУлевое значение фУнкции У; Чь -2 В. не Явлкетск кРитическим. Следовательно, МсзЯ~зь = у '(О) диффеоморфно у 1(с) при с -2 О. Для последнего выполнены все предпосылки теоремы Лиувилля. 'Гак как 9'„компактна, то у '(с) — конечный набор торов Лиувилля.
Итак, на каждой регулярной изоэнергетической поверхности 1,,1ь точки вырождения ь2 заполняют несколько торов — неособых подмногообразий уровня интеграла у ". 1 >~~ -+ В.. 'Гах как Щ - неособзл поверхность и 21 = здга«о» (Н), то о 14 0 в каждой точке Д~~. Очевидно, что все существенные исходные предпосылки теорий типа Морса (33-39) и топологической классификации (40,7,1Ц налицо, следовательно препятствий к их прнмелению в случае О.И.Богоявленского нет, 3 2.2.
Движение тяжелого магнита в случае тица С.В.Ковалевской в парал- лельных гравитационном и магнитном полях Если условие (1.6) не выполняется, т.е. то фаэовое пространство случая О.И.Богоявленского вырождается в 3-х мерное многс образке. Рассмотрим движение намагниченного гиростата при ~с~ = 1, пусть й = хл2112/2229г1, 21 = 412»нргЛ, 12 = 1, Уравнение з= (с, ь2) прямо следует из з = х у, следовательно его можно не учитывать. Иэ (1.1) получаем: М2МЗ «М1М2 М1 = + й212, М2 = 131 Мз = 1"2 йз'1~ «1 21 ' «2 21 ' «1 «2Мз1'г — Мгиз «М1 из — 2Мзн1 «Мгиг — М1 112 «1 21 ' «1 21 ' <Н 21 То гно такие уравнения описывают движение ненамагннченного тяжелого твердого тела с фиксированной точкой, если: а) главные моменты инерции связаны соотношением С.Б, Ковалевской 11 = 12 = 212,' б) неподвижная точка находится в экваториальной плоскости Х, У эллипсоида инерции так, что й =- Фу(сг), где а угол между главной осью Х и направлением из фиксированной точки на центр масс, отсчитываемый по часовой стрелке.
Назовем зто движение смещенным случаем С.'В, Ковалевской. Имеется 4 интеграла г = (Мг — Мг + 4111 — 4Ипг) + (2М1Мг + 411 г + 4Иг 1)', и= Мг+Мг+2Мзг, г г г л1 — йг"г г = пг + ~ъг + гз з = М1 ' 1'1 + Мг ' 1'г + Мз ' из 41 (з - интеграл площадей), Система интегрируется по Лнувиллю на каждом подмногообразии уровня интегралов з и 1 ~ О, которое диффеоморфно ТО'г и является орбитой коприсоединенного представления группы евклидовых движений В.з. Итак, в предположениях (1,2) каждый из двух случаев движения, отвечающих сонаправленности или противонаправленности магнитного и гравитационного полей, эквивалентен смещенному случаю С.В.
Ковалевской. В дальнейшем предполагается, что 1с~ < 1, т.е. векторы индукции магнитнОго поля и силы тяжести не параллОльны. 2 2.3, Удобные координаты в объемлющем пространстве (зо(3) йг Ве)' Фазовое пространство М" суть поверхность в (зо(3) ф В.~)* с ксюрдинатами М1, Мг, Мз, 11, -гг, 'гз, Б11 ег, ез. Заменим коорднпатыу, е на (, гг по формулам (1.4). Поверхность М~ определяется системой уравнений: Мг — Мг+ ~1 — 11г = 0 2М,Мг+6+Л1 =0 6'+ 6г + сз = с1 6%+ 6Ъ+ ~газ = сг % + Чг +'Чз = сз. Введем следующие координаты: 41 — бг — — р соз д 4г + пг — — рзгп0 6+чг =- с 111 — Сг —— и 4з =- гсозФ бз -'= T 810 гг, —.я<ф,д<я, гр>0, Поверхность М" в координатах Мз, Мз, Мз, р, д, с, в, г,зр выглядит так: вр = -сап(д — с»с) — гз »за(2ф — д) ер = е сов (д — ос) - г' сов (2ф — д) ез+ рз+вз+2 з = 2ее Мз = т 'рвзп» Мз = х /рсоа 4», 3 з ез — сз, 2 с» Константы: се = с~+с», е = (с~ — сз) + 4е, со»ос —— —, ззлсзе —— — „.
(2,4) с с 2 2.4. Особенность типа самопересечения в случае, когда направления гравитационного и магнитного полей ортогональны, а моменты сил равны по абсолютной величине Легко проверить, что ее > е сз е1 > О, ез > О, ~сз~ < з/е1 ° ез ез пзо ° г1 ф О, 6.44з ф О, ( у, 1) ф х1, Так как с = 0 ФФ ез -сз —— ез = О, то при е = О моменты силы тяжести и магнитной силы равны по абсолютной величине, а направления гравитационного и магнитного полей ортогонзльны. В этом случае М» не является гладким подмногообразием, поскольку в точках цилиндра М = Мз — — г = Р = О, ез + ез = 2е, — оо < Мз < +со) ( возникает негладкая особенность — самопересечение.
Поверхность М» является подмногообразнем(т.е. гладким многообразием) тогда и только тогда, когда с > О. Итак, в дальнейшем всюду предполагается, что у ЗЛ. Теорема $ о гкрытичесиих зиаченыии ж критических подмиогообразиии ижт'овраги виерг зги Теорема 1. Гамиюьтониан Н: М4 -г гг. имеет саедугоигие критические значение и неаыронсденные критические подмноеоооуазиаг ь,=- '㫠— 2Р, Й «%:27, ь «'г««н Гаоуааьно минимааьнаа окуузкность — Н 1(ьг), седаоааа окруисность индекса ~1,ф — С Г1 Н г(Ьг), науа непересекагощизса сеАюеыз округкности индекса ф,2) — С й Н '(Ьз), еде С - множестео критические точек Н. Остааьные значенигг Н уееуазуны Доказатеаьстао. Константы определены в (2А) при условии (2.5), Пусть Л: М' -> Н,г (Мп Мг, Мз,р,ь,с,е,г,ф) б М4 точкУ (с, Р) = (с, Мг + Мгг), Множество паР (с, Р), длк каждой из котоуых сУществУет решение системы (2.3), определаетск условиаыи." сг+ рг О < р < се+~/е~~ — с., се — > шпф~: г > О, -н < гр <н~, еде Из этих неравенств следует, что Л(М~) представлает собой шестиугольник АВСХИР '(рис,ц в плоскости Кг(с, р), описаниыи ниже.
Пусть Ь,=-~2а — 2«~«= '2а-2Е, Ь= «,««, '[АВ] = ((с, р); р = — с — Ьг -рг < с < -Лгу, [ВС] = ((с, р): р = с+ Ьз, -рг < с < -рД, [СВ] = ((с, р) . "р = рг, -рг < с < ргу, [ВЕ] = ((с, р): р = -с+ Ьз, рг < с < рД, [ЕР] = Цс, р): р = с — йг, йг < с < рг), [РА] = ((с, р): р = О, -ггг < с < Ьг). Н=2Мз+р Дальнейшие вычисления — в локальных координатах многообразия М~, среди которых всегда присутствует координата Мэ.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
