Инвариант Фоменко-Цишанга в интегрируемом случае О.И.Богоявленского (1103048), страница 2
Текст из файла (страница 2)
молекул, при помощи проекции я фазового многообразия ТЯ нв сферу Пуассона Я . з 3 Соответствующая методика разработана М.П,Харламовым 142) и восходит к идеям Смейла )30). В настоящей днссертациолной работе, однако, рассмотрен случай, для которого метод проекции на сферу Пуассона неприменим, поскольку потенциальная энергия задана не на сфере, а на касательном расслоении окружностей. Фазовая топология случал О,И.Богоявленского изучена с использованием меченых молекул И" Я,), з что подтверждает значение теории топологической классификации, как эффективного метода качественного исследования движения, значительно расцхиряющего круг решаемых задач, Для иллюстрации некоторых результатов работы построена компьютерная модель перестроек лиувиллевых торов, реализованная и среде Вог1апс) РеясаЦрис.7-9).
Предлагаемая общая методика может использоваться в экспериментах по компьютерной визуализации геометрических объектов. Полная механическая знергия: Н = -(М,о7) — тд(т", у) — а(М,б). Геометрические интегралы движения: (7,7) = 1, (е,е) = 1, (7',е) = с (И < 1), Пусть 6е - подгруппа группы движений К~, порожденная сиюсронными вращениями некоторои пары 3-мерных ортогональных подпространств и сдвигами пространства Ке.
Полученная группа Ли моделируется на многообразии ~о(3) „Ве ~Р(3), Вз Вз, (А, ж, р) . (В, й, е) = (АВ, Ай+ я, Ае+ р). Алгебра Ли данной группы изоморфна алгебре, которую, следуя (4), обозначим зо(3) ЯК ®К = зо(3)®К . '(М' Ю = еб1М 1М' 7д = ечя7ы 1Мобд = ебьеы (7о7;1 = О, (7о Ю = О, ЬА1 = О Уравнения (1.1) определяют на (зо(3) ф Ке)' динамическую систему о: М; = 1Н, М;), 7( = (Н,7;), 4 = (Н,4). При )с~ < 1 инвариантное подмногообразие О =1(М,7 е)6( (3)ЕК):(77)=1, (7,Х)=.с (е,е)=1) является регулярной орбитой коприсоединенного представления 6 = екр(зо(3) ф В, ).
6 6 Лвижение по сингулярным орбитам (~с~ = 1) рассмотрено в главе 2, где доказана его эквивалентность т,н, смещенному случаю С.В.Ковалевской. В предположениях, что 1 = 1 = 21~, г"= (г„О,О), М =(О,М,О) (1.2) Заметим, что здесь не имеет места прямая сумма алгебр - каждая из двух подалгебр зо(3) ф Кз, пересекающихся по зо(3), объединением которых является зо(3) ф Ве, представляет собой полупрямую сумму зо(3) и векторной алгебры Кз. При атом коммутатор злементов из подалгебры Ке тривиален. Вырожденная скобка Пуассона, "склеенная" из стандартных скобок Кириллова на орбитах коприсоединенного представления [37], следующим образом выглядит в координатах пространства (за(3) ф Ке) С.И,Богоюленский в [4) нашел интеграл движения типа С.В,Ковалевской: з = ٠— Мз+41зпздгз 7з — 41зЬМз.4з) +(2МзМз+41зпздг~.7з+4ХзйА4з" А) . (1.2) Далее А.И.Бобенко, А.Г.Рейман, М.А.Семенов-Тян-Шанский в [2) открыли другой интеграл движения, коммутирующий с я и более универсальный, т.к.
не требуется (1.2): д = (М,с)'+ (М,О)з+ 2Мз(М,(,О)+ сз(сз+ пз) — сиз — сз6, где 1 = 4!з дгг7., Ч = 41зАМз3, с~ — — (41зпздгд, сз — — (41зйМз), сз = (41з)зпздт~ЬА4з соз(Ф), (1.4) В координатах (1.4) интегралы з и Н выглядят так: = (Мз — Мз + ~~ — пз) -~ (2М М + (~ + О~)~, Н = М,'+Мз'+2Мз'-6-Оз. Бели тело размагничено (А4 = О) „или устранено магнитное поле (6 = 0), то функция /д превращается в интеграл площадей, а з - в интеграл С.В.Ковалевской, Препполагзл, что И7 Х)[ = [с[ < 1, ограничим динамическую систему о на орбиту Оз.
Получаем гамнльтонову систему и = здгад(Н), где косой градиент здгао' вычисляется в стандартной симплектической структуре орбиты [37].'Итак, в [2) гамильтонова система здгаН(Н) на Ое проинтегрирована по Лиувнллю, т.е. в предположениях (1.2) проннтегрированы Ь квадратурах уравнения (1.1), однако не глобально, а в окрестностях лиувиллевых торов Тз, отвечающих регулярным значениям отображений момента 0' Э ° - р + (Н(р), (р),д(р)) б В' регулярной орбиты Оз. Лля полноты решения необходимо проинтегрировать уравнения траекторий, которые состоят из критических точек отображения зп, что и было сделано в основополагающей работе [4), предшествующей [2).
Пусть М =(р60:к(р)=О) - подмногообразне произвольной регулярной орбиты 0 . Ясно, что М инвариантно 6 з относительно о. Легко проверить, что з(р) = О ез оз(р) = О, следовательно М» целиком состоит из критических точек отображения»п: О» -+ гьз. ФУнкцик (зы азу, где ~~ = М, — Мз~+(~ — »1», яз =2М М +6+ гд, = ~ +яз, 3 3 3 3 коммутирует с Н в точках подмногообразия М» (но не коммутирует на 0~ 1, М»). Ограничим форму Кириллова вз О» на М».
Получим замкнутую 2-форму ю, которая поч» ти всюду невырождена, но вырождается в точках подмногообразия Моз, определенного уравнением (зы з»1 = О (скобка Пуассона вычисляется в О»). Далее„ограничим на М» векторное поле и, гамильтониан Н и интеграл О.И.Богоявленского У = (зы зд = Мз(М' + М') + М~~з + Мзцз. Очевидно, что на всюду плотном в М» симплектическом подмногообразии Динамическая система о на М» имеет два независимых интеграла: Н и у. Непосредственно проверяется, что интеграл д, ограниченный на М», так функционально выражается через у и Н: 2 д = "'"Н- У', (1.7) где с~ и сз - параметры орбиты 0 (1.4), Движение тяжелого магнита, отвечающее нулевому значению з на фиксированной орбите О» (т.е.
динамическую систему о на М» (4]), назовем интегрируемым случа- ем О.И,Богоявленского. Оказывается, что симплектические особенности многообразия М», связанные с вырождением 2-формы ы в точках подмногообразия Мз, не препятз ствуют применению теории топологической классификации (7,1Ц.
В эааес к рассмотрено движение магнита при ~с( = 1 (когда магнитное и грави- тационное поля параллельны). -С использованием результатов О.И.Богоявленского (4), оно эквивалентно следующему естественному обобщению случал С.В.Ковалевской: а) моменты инерции (ненамагниченного тела) связаны соотношением С.В. Ковалевской 6» = 1г = 27з,' б) неподвижная точка находится в экваториальной плоскости Х, У зллипсонда инерции так, что й = 8д(»»), где а угол между главной осью Х и направлением из фиксированной точки на центр масс, отсчитываемый по часовой стрелке.
Н главах 3-7 предполагается, что векторы магнитного поля и силы тяжести не коллинеарны (1.6). Также исключается случай, когда направления гравитационного и магнитного полей ортогональны, а моменты силы тяжести и магнитной силы относите~в~о непод~~ж~~й т~ч~и равны по в~~~ч~не, При (и только при) этих ограничениях М» является гладким 4-мерным подмногообразием орбиты 0».
В $ 2.3 определяются функции р, д, с, я, г, Ф, вместе с функциями Мы Мз, Мз задающие координаты пространства (эо(3) 9 К»)", в которых проводятся основные вычисления. В этих координатах; /с — р 4- Ь д Н 2Мзз+ Р— с, У = Р~ элп(Мз) ~гъ/Р' э»а(»Р ф 2 В славе э' найдены критические значения и подмногообразия энергии Н: М» -> В.. Доказана теорема 1, согласно которой: а) у энергии Н имеется одно глобально-минимальное критическое значение Ь~ и два седловых критических значения: Ьз, Ьз, б) на критических уровнях энергии Ь», Ьз имеется по одной невырожденной критической окружности, а на уровне Ьз их две.
Критические значения явно выражены через физические параметры задачи Мз, Ь, тв, г~, а критические подмногообразия явно вычислены в координатах объемлющего пространства (зо(3) ® К~)'. В гяаес 4 найдены критические значения и подмногообраэия интеграла 7, ограниченного на произвольную неособую изоэнергетическую поверхность Яь, и доказана з боттовость функции при всех регулярных Ь, кроме некоторого Ьэ, определенного в теореме 3. Доказана теорема 2, согласно которой: а) для произвольного регулярного значения Ь критические значения функции 7: Язь -+ В.
свЯзаны следУющим УРавненнем: (4Ь (2Й вЂ” 9~;~ + 36ЬЬ з + 27с] = 647~ ~~Й вЂ” 3) т+ ЗЬ), где (1.8) х>0, Ь'=2 +Ьс, У=~— 2з,%' константы сс н с определяются физическими параметрами .44з, Ь, гп, гь б) все критические подмногообразия(вложенные минимаксные и седловые окружности) явно вычислены в координатах пространства (зо(3) 9 Н~)". Доказана теорема 3, согласно которой: а) Интеграл 7": ٠— » В. является боттовским для всех регулярных значений Ь, кроме Ьс = 1/2сс + Ь с, где Ь вЂ” - единственный положительный корень уравнения Р» + 8 — Ь' + 18йз — 27 = 0; б) Интеграл у: 9~, -+ К имеет два вырожденных критических значения, отличающихся знаками, каждому из которых отвечают по две вырожденных критических окружности; в) каждый из 2-х непересекающихся торов, образукпцих вырожденный критический уровень функпии У: Щ, -+ К, имеет негладкую особенность типа "ребро" — вдоль вырожденной критически окружности.
По результатам анализа зависимости корней уравнения (1.3) от Ь построена бифуркационнал диаграмма (множество критических значений) отображения момента В мазе б исследован нулевой уровень функции 7: 1~а„-з В для всех регулярных значений энергии Ь. Доказана теорема 4: ПУсть Мз(Ь) — нУлевой УРовень интегРала ~: 9ь -+ В., тогда: 1) при Ь, < Ь < Ьз подмногообразне Мвз(Ь) днффеоморфно тору Тз; 2) прп Ьз < Ь < Ьз подмногообразие Мвз(Ь) состоит из двух связных компонент, каждая из которых диффеоморфна тору Тз; 3) прн Ь > Ьз подмногоабразие Мрз(Ь) состоит из четырех связных хомпонент, каждая из которых диффеоморфна тору Тз.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
