Золотые пропорции в структуре и оптических характеристиках апериодических самоподобных систем (1102659), страница 2
Текст из файла (страница 2)
Перечень публикаций приведен в конце спискалитературы.СТРУКТУРА И ОБЪЕМ ДИССЕРТАЦИИДиссертация изложена на 115 страницах. Она состоит извведения, пяти глав, выводов, списка литературы из 145наименований, содержит 66 рисунков, 3 таблицы.6КРАТКОЕ СОДЕРЖАНИЕ ДИССЕРТАЦИИВВЕДЕНИЕВо введении содержится обоснование актуальности выбраннойтемы, излагаются цели диссертационной работы, сформулированыосновные положения, выносимые на защиту, приводятся сведенияоб апробации результатов работы и о публикациях автора.ПЕРВАЯ ГЛАВАВ первой главе, дан литературный обзор свойств феноменаЗолотого сечения (ЗС).
ЗС и связанные с ним Золотые пропорциичаще всего ассоциируются с геометрической задачей деленияотрезка на две неравные части в таком соотношении, когда большаячасть относится к меньшей, как весь отрезок к большей части.Величина этих отношений равна иррациональному числу()Φ = 1 + 5 2 ≈ 1,618 , называемому коэффициентом ЗС.Кратко рассмотрены различные формы проявления ЗС вприродных объектах, в произведениях искусства, в физическихсистемах и явлениях, представляющих ценность с точки зрениянаучных исследований. Показано, что проявления Золотыхпропорций чаще всего носит многочастный фрактальный характер.Его можно обнаружить в структуре человеческого тела, в формахживотных и растений, памятниках архитектуры, в скульптуре,живописи, художественной литературе, музыке и поэзии.
Сказанноеиллюстрирует рис. 1., приведенные на нем стрелки характеризуютприсутствующие на изображениях Золотые пропорции.абРис. 1. а - Главное здание МГУ; б - Агесандр «Афродита Милосская».В обзоре рассмотрена также группа вопросов, относящаяся канализу эвристической ценности феномена ЗС. Обращается7внимание на то, что ассоциации, связанные с ЗС, сыграли важнуюроль при открытии структуры фуллеренов, при изучении иинтерпретации свойств квазикристаллов, обнаружение которыхкардинально изменило существовавшие взгляды на различие живойи неживой материи, при анализе сценариев перехода динамическихсистем к детерминированному хаосу. Математическая модель,описывающая апериодическую структуру квазикристаллов, нашлаприменение и в оптике.Одномерная модель квазикристалла (рис. 2) может бытьиспользована для построения нового типа оптических элементов:апериодических дифракционных решеток (ДР) и многослойныхструктур (МС).
Такие решетки и структуры имеют разнообразныепрактические применения. Одновременно указанные элементыявляются удобным средством для исследования физическихэффектов, связанных с формированием самоподобных световыхструктур.Рис. 2. Структура одномерного квазикристалла.Все вышеприведенные объекты (математические структуры,природные объекты, произведения искусства) обладают однимобщим свойством: свойством самоподобия (фрактальности). Приэтом присутствующие в них Золотые пропорции реализуются вмногочастной форме. Выполненный анализ литературных данныхпоказывает, что остается открытым вопрос о существовании общихзакономерностей, характеризующих форму проявления Золотыхпропорций в объектах различной природы.
В последующих главахэтот вопрос рассмотрен применительно к световым структурам,формирующимся при прохождении излучения через апериодическиеоптические элементы.ВТОРАЯ ГЛАВАВо второй главе с учетом литературных сведений, изложенасхема построения ДР Фибоначчи и подробно рассмотреныособенности дифракции на них световых волн.Чередование элементов решетки определялось суммационнымпринципом Фибоначчи. В качестве таких элементов в случаеамплитудных решеток можно рассматривать ширины щелей или8расстояния между ними; в случае фазовых решеток – высота,наносимых на подложку штрихов. В общем случае фигурировалидва вида элементов: А и В.Процедуру построения последовательности {AB} можно такжеосуществить путем объединения блоков элементов, определяющихразличные структурные уровни n.
При начальных блоках S0 = B ,S1 = A , блок Sn удовлетворяет рекурсивному правилу: Sn = Sn −1Sn − 2(для n ≥ 2 ). Это правило совпадает с алгоритмом построенияпоследовательности Фибоначчи, где каждый последующий элементравен сумме двух предыдущих.Анализ поля дифракции световой волны на ДР Фибоначчиосуществлялся в контексте общей проблемы прохожденияизлучения через фрактальные объекты. Однако проведение этогоанализа требовало учета некоторых особенностей геометрии ДР,которые в строгом смысле не являются фрактальными объектами.Присутствующие в них элементы самоподобия проявляютсяопосредованно.
Так, если рассмотреть последовательностьпорядковых номеров элементов A, то при увеличении всех еечленов в Φ раз она переходит в последовательность индексов дляB. Это указывает на наличие самоподобия, сочетающегося сЗолотыми пропорциями, в структуре решетки. При этомкоэффициент самоподобия оказывается равным Φ.Для расчета поля дифракции световых волн, прошедшихамплитудные решетки Фибоначчи с изменяющейся шириной щелей,использовалсяметодсуммированиясветовыхпучков,распространяющихся от отдельных элементов решетки. Поледифракции в дальней зоне характеризуется выражениемAa (k ) = AN dnK + 1 K +1 sinc d n s k − Dn . exp- i 2πs k −{}min2d2 nn=0∑Здесь N – число щелей в решетке, k – пространственная частота,0≤k ≤K ,K–числозначащихмасштабирующие множители,dnточек,i = −1 ,A,– ширина n-ой щели,s–Dnопределяет положение n-ой щели.
Считалось, что ширины щелейзначительно уступают размерам непрозрачных зон, количествощелей равно N = 500 . Рассчитанное для этих параметров9распределение амплитуды поля дифракции приведено на рис.3,а.Для сравнения на рис. 3,б показана картина дифракции света напериодической решетке.Анализ графиков показывает, что основное отличие решетокФибоначчи от обычно применяемых периодических решеток состоитв наличии в поле дифракции системы дополнительных пиков,положениекоторыхсоответствуетпринципуЗС.Так,дополнительные максимумы D и E, делят в соответствии с ЗСрасстояние между максимумами A и B. Максимумы F и G находятсяв точках ЗС между максимумами D и E и т.д. При этом структурадифракционных максимумов в интервале AB подобна структуремаксимумов в интервалах DE и FG. Дробление самоподобныхфрагментовможетпроисходитьдобесконечностиприсоответствующем увеличении числа щелей.Рис.
3. Картина дифракции на амплитудной решетке. a – решеткаФибоначчи, б – периодическая решетка.Расположение максимумов обладает высокой степеньюустойчивости. Расчеты полей дифракции на ДР Фибоначчи (какамплитудных, так и фазовых) с другими размерами и конфигурациейотдельных элементов показали, что и для них сохраняетсяуказанная выше закономерность расположения дифракционныхпиков при условии выполнения принципа Фибоначчи длячередования двух типов элементов решеток.Таким образом, можно утверждать, что самоподобие в структуреДР Фибоначчи, сочетающееся с Золотыми пропорциями, находитотражение в структуре поля дифракции световых волн. При этомскейлинг положения дифракционных пиков характеризуется10коэффициентом Ф.
Скейлинг же в общей конфигурациидифракционных пиков определяется коэффициентом r = 4,2.Расчеты показывают, что ширина дифракционных пиков решеткиФибоначчи, как главных, так и дополнительных, совпадает сшириной пиков периодической решетки с той же площадью штрихов.Следовательно, решетки Фибоначчи обладают той же самойразрешающей способностью, что и периодические решетки.ХарактерныедлярешетокФибоначчиособенностираспределенияамплитудысветовыхколебанийвполедифракции устойчиво проявляютсяи при изменении в широкихпределах расстояния z от решеткидоплоскости,вкоторойрассматриваетсякартинадифракции.
Формирующиеся уже нарасстоянияхz < (2π λ )L2отрешетки размера L дифракционныемаксимумы, хотя и обладаютзначительнойшириной,расположены в точках ЗС. В этомРис. 4. Структура полядифракции на разныхможноубедиться,анализируярасстояниях от решетки:которыеграфики(рис. 4),z=10 250 (а); z=25 000 (б);определяютструктуруполяz=50 000 (в); z=100 000 (г);z=200 000 (д).дифракции на амплитудной ДРФибоначчи с бесконечно узкимищелями. Графики рассчитывались по формулеN1 2πexpi2 λ+ z2∑ (x − x )A( x) = An =04n(x − xn )2 + z 2 ,xn - координата щели.
Считалось, что число щелей N = 78 , длинаволны λ = 10 −2 (x2 − x1 ) . Размеры решетки соответствуют областиизменения поперечной координаты (в количестве значащих точек) xот 0 до 110.Отдельно был рассмотрен вопрос о точности воспроизведенияЗолотых пропорций в дифракционных картинах. Для этого11рассчитывались поля дифракции для решеток с различающимисязначениями геометрических параметров. Расчеты показали, чтоотклонения в значениях соответствующих пропорций не превышали1%, что говорит о высокой степени воспроизводимости ЗС вкартинах дифракции.Также был изучен вопрос об устойчивости картин дифракциисвета на решетках Фибоначчи к различным случайным возмущениямих структуры. Использовались два варианта рандомизациихарактеристик решеток: случайное «перемешивание» положенияопределенной части образующих элементов и смещение внекотором диапазоне по случайному закону каждого из элементоврешетки.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
