Автореферат (1102652), страница 2
Текст из файла (страница 2)
 íåé èññëåäîâàëîñü ìàò-6ðè÷íîå äèåðåíöèàëüíîå óðàâíåíèå èêêàòè, êîòîðîå ÷àñòî âñòðå÷àåòñÿ âòåîðèè óïðàâëåíèÿ:Ṗ (t) = AP (t) + P A′ (t) + M(t) − P (t)B ′ N (t)BP (t), P (t0 ) = P0 > 0,(1)ãäå P (t) ∈ Rn×n àçîâàÿ ìàòðèöà, M(t) ∈ Rn×n è N (t) ∈ Rm×m ìàòðè÷íûå óïðàâëåíèÿ. Òðåáîâàëîñü íàéòè ïàðó {M(t), N (t)}, êîòîðàÿ ïåðåâîäèëàáû ñèñòåìó â ìîìåíò t1 â çàäàííóþ ïîëîæèòåëüíî îïðåäåë¼ííóþ ìàòðèöó P ∗ . ðàáîòå [7℄ áûëè ïîëó÷åíû óñëîâèÿ óïðàâëÿåìîñòè óðàâíåíèÿ (1) äëÿ äâóõñëó÷àåâ: êîãäà óïðàâëåíèå ÿâëÿåòñÿ ïðîèçâîëüíîé ñèììåòðè÷íîé ìàòðèöåéè êîãäà îíî ïðèíàäëåæèò ê êëàññó íåîòðèöàòåëüíî îïðåäåë¼ííûõ ìàòðèö.Äëÿ ðåøåíèÿ çàäà÷è èññëåäóåìàÿ ñèñòåìà ñâîäèëàñü ê âåêòîðíîé ñ ïîìîùüþîïåðàöèè âûòÿãèâàíèÿ ìàòðèö â âåêòîðà ñ èñïîëüçîâàíèåì òåíçîðíîãî ïðîèçâåäåíèÿ Êðîíåêåðà.Ìàòðè÷íûå àçîâûå ïåðåìåííûå òàêæå âñòðå÷àþòñÿ â çàäà÷àõ îïòèìèçàöèè íàáëþäåíèé [26℄.Öåëü ðàáîòû.Öåëüþ íàñòîÿùåé ðàáîòû ÿâëÿåòñÿ ïðîâåäåíèå äàëüíåé-øåãî èññëåäîâàíèÿ äèíàìèêè ñèñòåì ñ ìàòðè÷íîé àçîâîé ïåðåìåííîé.
Ïðèýòîì òðåáóåòñÿ, âî-ïåðâûõ, ó÷åñòü ìàòðè÷íóþ ñïåöèèêó ñèñòåìû: ðåøåíèåçàäà÷è äîëæíî áûòü ïîëó÷åíî â ìàòðè÷íûõ òåðìèíàõ èñõîäíîé ïîñòàíîâêè.Âî-âòîðûõ, ïîëó÷åííûå ðåçóëüòàòû äîëæíû áûòü ïðèãîäíû äëÿ ïðîâåäåíèÿðåàëüíûõ âû÷èñëåíèé â ñèñòåìàõ áîëüøîé ðàçìåðíîñòè.Íàó÷íàÿ íîâèçíà ðàáîòû.Ïîëó÷åííûå ðåçóëüòàòû ÿâëÿþòñÿ íîâûìè. ðàáîòå ðàññìîòðåíû íîâûå çàäà÷è ñèíòåçà óïðàâëåíèÿ äëÿ ñèñòåì ñ ìàòðè÷íûìè òðàåêòîðèÿìè. àáîòà ïðîäîëæàåò èññëåäîâàíèÿ ðàáîò [7, 3, 4℄.Òåîðåòè÷åñêàÿ è ïðàêòè÷åñêàÿ çíà÷èìîñòü.7àáîòà íîñèò, â îñíîâ-íîì, òåîðåòè÷åñêèé õàðàêòåð. Èññëåäîâàíèå âîïðîñîâ, ñâÿçàíûõ ñ óïðàâëåíèåì ñèñòåì ñ ìíîãîçíà÷íûìè òðàåêòîðèÿìè ÿâëÿåòñÿ àêòóàëüíîé çàäà÷åéñîâðåìåííîé òåîðèè òðóáîê òðàåêòîðèé. Ïîëó÷åííûå ðåçóëüòàòû ìîãóò áûòüïðèìåíåíû äëÿ ðåøåíèÿ çàäà÷ â òåîðèè ãðóïïîâîãî (êîëëåêòèâíîãî) óïðàâëåíèÿ.
Îòäåëüíîå âíèìàíèå â ðàáîòå óäåëÿåòñÿ âîïðîñàì âû÷èñëèòåëüíîéñëîæíîñòè è àëãîðèòìè÷åñêîé ðåàëèçóåìîñòè ïîëó÷åííûõ ðåøåíèé. Òàêèìîáðàçîì, ïîëó÷åííûå ðåçóëüòàòû ìîãóò áûòü èñïîëüçîâàíû äëÿ ðåøåíèÿ êîíêðåòíûõ ïðàêòè÷åñêèõ çàäà÷.Ìåòîäû èññëåäîâàíèÿ.Ïðè ðåøåíèè ðàññìàòðèâàåìûõ â äèññåðòàöèèçàäà÷ èñïîëüçîâàíû òåîðèÿ äèåðåíöèàëüíûõ óðàâíåíèé, ãàìèëüòîíîâ îðìàëèçì, ìåòîäû äèíàìè÷åñêîãî ïðîãðàììèðîâàíèÿ, ìàòðè÷íîãî àíàëèçà, òåíçîðíîãî èñ÷èñëåíèÿ, âûïóêëîãî àíàëèçà è ýëëèïñîèäàëüíîãî èñ÷èñëåíèÿ.Àïðîáàöèÿ ðàáîòû.åçóëüòàòû ðàáîòû áûëè ïðåäñòàâëåíû â âèäå äî-êëàäîâ íà ñëåäóþùèõ íàó÷íûõ ñåìèíàðàõ:1. ñåìèíàð ¾Ïðèêëàäíûå çàäà÷è ñèñòåìíîãî àíàëèçà¿ ïîä ðóêîâîäñòâîìàêàäåìèêà À.
Á. Êóðæàíñêîãî íà êàåäðå ñèñòåìíîãî àíàëèçà àêóëüòåòà ÂÌÊ ÌÓ;2. ñåìèíàð ¾Òåîðèÿ óïðàâëåíèÿ è äèíàìèêà ñèñòåì¿ ïîä ðóêîâîäñòâîìàêàäåìèêà Ô. Ë. ×åðíîóñüêî â ÈÏÌåõ ÀÍ èì. À. Þ. Èøëèíñêîãî;3. ñåìèíàð ¾Ïðîáëåìû ìàòåìàòè÷åñêîé òåîðèè óïðàâëåíèÿ¿ ïîä ðóêîâîäñòâîì ÷ëåíà-êîððåñïîíåäíåòà Ñ. Ì. Àñååâà è ïðîåññîðà Ì. Ñ. Íèêîëüñêîãî â ÌÈÀÍ èì. Â. À. Ñòåêëîâà;4. ñåìèíàð îòäåëà ¾Ìàòåìàòè÷åñêîå ìîäåëèðîâàíèå ýêîíîìè÷åñêèõ ñèñòåì¿8â ÂÖ ÀÍ èì. À. À. Äîðîäíèöûíà ïîä ðóêîâîäñòâîì ïðîåññîðà È. .
Ïîñïåëîâà.åçóëüòàòû ðàáîòû áûëè ïðåäñòàâëåíû íà ñëåäóþùèõ ìåæäóíàðîäíûõêîíåðåíöèÿõ:1. Äâàäöàòàÿ ìåæäóíàðîäíàÿ êîíåðåíöèÿ ¾Àâòîìàòèêà¿, Íèêîëàåâ, Óêðàèíà (2013);2. Ïÿòüäåñÿò âòîðàÿ ìåæäóíàðîäíàÿ êîíåðåíöèÿ IEEE Conferene on Deision and Control,Ôëîðåíöèÿ, Èòàëèÿ (CDC 2013);3. Äâàäöàòü ïåðâàÿ ìåæäóíàðîäíàÿ êîíåðåíöèÿ International Symposiumon Mathematial Theory of Networks and Systems, ðîíèíãåí, Íèäåðëàíäû (MTNS 2014).Ïóáëèêàöèè.Îñíîâíûå ðåçóëüòàòû èçëîæåíû â ðàáîòàõ [29, 30, 32, 33℄,èç êîòîðûõ äâå, [29, 30℄, îïóáëèêîâàíû â æóðíàëàõ èç ñïèñêà ÂÀÊ.Óêàçàííûå ðàáîòû âûïîëíåíû â ñîàâòîðñòâå ñ íàó÷íûì ðóêîâîäèòåëåìÀ. Á. Êóðæàíñêèì.
Íàó÷íîìó ðóêîâîäèòåëþ ïðèíàäëåæàò ïîñòàíîâêè çàäà÷.Äîêàçàòåëñüòâà òåîðåì è ðåàëèçàöèÿ âû÷èñëèòåëüíûõ ïðèìåðîâ ïðèíàäëåæàò àâòîðó äèññåðòàöèè.Ñòðóêòóðà è îáú¼ì äèññåðòàöèè.Äèññåðòàöèè ñîñòîèò èç ââåäåíèÿ,òð¼õ ãëàâ, çàêëþ÷åíèÿ è ñïèñêà ëèòåðàòóðû. Îáùèé îáú¼ì äèñåðòàöèè ñîñòàâëÿåò 102 ñòðàíèöû. Áèáëèîãðàèÿ âêëþ÷àåò 74 íàèìåíîâàíèÿ.9Ñîäåðæàíèå ðàáîòû ïåðâîì ðàçäåëå ïåðâîé ãëàâû ðàññìàòðèâàåòñÿ ëèíåéíî-êâàäðàòè÷íàÿçàäà÷à óïðàâëåíèÿ äëÿ ñèñòåìû, îïèñûâàåìîé ëèíåéíûì ìàòðè÷íûì óðàâíåíèåìQ̇(t) = T (t)Q(t) + Q(t)T ′(t) + B(t)U (t)B ′(t), Q(t0) = Q0,(2)ãäå Q ∈ Rn×n ìàòðè÷íàÿ àçîâàÿ ïåðåìåííàÿ, U ∈ Rm×m ìàòðè÷íîåïîçèöèîííîå óïðàâëåíèå, Q0 èçâåñòíîå íà÷àëüíîå ïîëîæåíèå ñèñòåìû.
Çàäà÷à ðàññìàòðèâàåòñÿ íà èêñèðîâàííîì èíòåðâàëå âðåìåíè [t0 , θ]. Òðåáóåòñÿìèíèìèçèðîâàòü èíòåãðàëüíûé óíêöèîíàë íà òðàåêòîðèÿõ ñèñòåìû,Ψ(U (·)) =ZθhU (t, Q(t)), U (t, Q(t))i dt + hQ(θ) − M, D(Q(θ) − M)i .(3)t0Çäåñü M, D = D′ > 0 èçâåñòíûå ìàòðèöû. åîìåòðè÷åñêèå îãðàíè÷åíèÿíà çíà÷åíèÿ óïðàâëåíèÿ îòñóòñòâóþò.Âîâòîðîì ðàçäåëå ïåðâîé ãëàâûýòà çàäà÷à ñâîäèòñÿ, ïîäîáíî ðà-áîòå [7℄, ê âåêòîðíîé, èñïîëüçóÿ îïåðàöèþ âûòÿãèâàíèÿ ìàòðèöû ïî ñòðîêàì â ñòîëáåö, (·) : Rn×m → Rnm .
Âàæíûì ñâîéñòâîì îïåðàöèè âûòÿãèâàíèÿ ÿâëÿåòñÿ âîçìîæíîñòü ÿâíîé çàïèñè âûòÿãèâàíèÿ ïðîèçâåäåíèÿ ìàòðèö:ABX = (A ⊗ B ′ )X , ãäå ⊗ îçíà÷àåò îïåðàöèþ òåíçîðíîãî ïðîèçâåäåíèÿ. Îíîïîçâîëÿåò ïåðåîðìóëèðîâàòü èñõîäíóþ çàäà÷ó â âåêòîðíîì âèäå.Ïîëó÷åííàÿ çàäà÷à çàòåì ðåøàåòñÿ êëàññè÷åñêèìè ìåòîäàìè äèíàìè÷åñêîãî ïðîãðàììèðîâàíèÿ [6, 18℄. Ïðè ýòîì ââîäèòñÿ âåêòîðíàÿ óíêöèÿ öåíû:V (t0, Q0) = min{Ψ(U(·)) | Q(t0) = Q0 }.U (·)10Èñïîëüçóÿ ñâîéñòâà ïðîèçâåäåíèÿ Êðîíåêåðà, óñòàíàâëèâàåòñÿ, ÷òî äëÿâåêòîðíîé çàäà÷è ìîæíî ïîëó÷èòü ÿâíûå îðìóëû äëÿ îïòèìàëüíîãî óïðàâëåíèÿ è äëÿ ïàðàìåòðîâ óíêöèè öåíû â òåðìèíàõ ðåøåíèÿ ñîîòâåòñòâóþùèõóðàâíåíèé èêêàòè.
åøåíèÿ ýòèõ óðàâíåíèé îêàçûâàþòñÿ çàïèñàíû â ïîêîìïîíåíòíîì âèäå, è âñòà¼ò âîïðîñ î âîçâðàùåíèè îò íèõ ê ïåðâîíà÷àëüíûììàòðè÷íûì îáîçíà÷åíèÿì. Èíûìè ñëîâàìè, åñëè èñõîäíàÿ çàäà÷à îðìóëèðîâàëàñü â îïåðàöèÿõ óìíîæåíèÿ, ñëîæåíèÿ è òðàíñïîíèðîâàíèÿ ìàòðèö, òîìîæíî ëè ïîëó÷åííûé îòâåò çàïèñàòü â ýòèõ æå îïåðàöèÿõ?  òðåòüåìäåëå ïåðâîé ãëàâûðàç-äîêàçûâàåòñÿ, ÷òî, âîîáùå ãîâîðÿ, ýòî âîçìîæíî íåâñåãäà.
Óêàçûâàåòñÿ êëàññ ñèñòåì, äëÿ êîòîðûõ òàêîé ïåðåõîä âîçìîæåí. Àèìåííî, äîêàçûâàåòñÿ, ÷òî ýòî âîçìîæíî òîãäà è òîëüêî òîãäà, êîãäà ïàðàìåòðû ñèñòåìû T (t) è B(t) óäîâëåòâîðÿþò ñëåäóþùåìó ñîîòíîøåíèþ:T (t) + T ′ (t) = µ(t)I, B(t)B ′(t) = ν(t)I, t ∈ [t0 , θ],ãäå µ(t), ν(t) ïðîèçâîëüíûå ñêàëÿðíûå óíêöèè.Âîâòîðîé ãëàâåîñóùåñòâëÿåòñÿ ïîëó÷åíèå ìàòðè÷íîãî âèäà ðåøåíèÿëèíåéíî-êâàäðàòè÷íîé çàäà÷è, ò.å. ïîñòðîåíèå àëãîðèòìà, ñîõðàíÿþùåãî ìàòðè÷íóþ îðìó ðåøåíèÿ íà ïðîòÿæåíèè âñåõ ïðîìåæóòî÷íûõ ñòàäèé.Âïåðâîì ðàçäåëå âòîðîé ãëàâûâíîâü ðàññìàòðèâàåòñÿ ëèíåéíî-êâà-äðàòè÷íàÿ çàäà÷à (2), (3), íî òåïåðü å¼ ðåøåíèå ñòðîèòñÿ áåç âûõîäà èç êëàññàìàòðèö. Äëÿ ýòîãî, îòòàëêèâàÿñü îò èäåé òåíçîðíîãî àíàëèçà [23℄, âî âòîðîìðàçäåëå âòîðîé ãëàâûïðåäëàãàåòñÿ ñïåöèàëüíàÿ îðìà çàïèñè äåéñòâèÿëèíåéíûõ îïåðàòîðîâ íàä ìàòðè÷íûìè ïðîñòðàíñòâàìè. Êàê èçâåñòíî, äåéñòâèå ëèíåéíîãî îïåðàòîðà íàä Rn îäíîçíà÷íî îïðåäåëÿåòñÿ çàäàíèåì îáðàçà áàçèñà ïðîñòðàíñòâà.
Åñëè ýòè îáðàçû ¾ñêëåèòü¿, òî ïîëó÷èòñÿ ìàòðèöà11ëèíåéíîãî îïåðàòîðà.  ðàáîòå ïðîâîäèòñÿ àíàëîãè÷íàÿ ïðîöåäóðà äëÿ ìàòðè÷íûõ îïåðàòîðîâ.Äåéñòâèå ïðîèçâîëüíîãî ëèíåéíîãî îïåðàòîðà A ∈ L (Rn×n , Rm×m) íà áàçèñå {E ij }ni,j=1 ìàòðè÷íîãî ïðîñòðàíñòâà, A = {AE ij }ni,j=1 , è ïðåäëàãàåòñÿïîíèìàòü ïîä àíàëîãîì ìàòðèöû îïåðàòîðà â âåêòîðíîì ñëó÷àå. Ýòè îáúåêòû â äàëüíåøéåì íàçûâàþòñÿ ïðåäñòàâëåíèÿìè ìàòðè÷íûõ îïåðàòîðîâ.
Âäàííîì ðàçäåëå òàêæå ñòðîÿòñÿ ïðàâèëà íàõîæäåíèÿ ïðåäñòàâëåíèÿ ïðîèçâåäåíèÿ îïåðàòîðîâ è ïðåäñòàâëåíèÿ ñîïðÿæåííîãî îïåðàòîðà, à òàêæå èññëåäóåòñÿ èõ âçàèìîñâÿçü ñ êëàññè÷åñêîé òåîðèåé îïåðàòîðîâ.Êëþ÷åâûì ìîìåíòîì ïðè ýòîì ïîñòðîåíèè ÿâëÿåòñÿ óêàçàíèå ñïîñîáà ñâåäåíèÿ çàäà÷è íàõîæäåíèÿ ïðåäñòàâëåíèÿ ïðîèçâåäåíèÿ îïåðàòîðîâ ê ìàòðè÷íîìó óìíîæåíèþ. Ïóñòü çàäàíû ïðåäñòàâëåíèÿ äâóõ îïåðàòîðîâ, A =ij n= {Aij }mi,j=1 , è B = {B }i,j=1 , è ïóñòü f (i, j) ïðîèçâîëüíîå âçàèìíî îä-íîçíà÷íîå îòîáðàæåíèå ìíîæåñòâà èíäåêñîâ (i, j), i, j = 1, 2, . .
. , n, â íîìåðà1, 2, . . . , n2, à g(i, j) ìíîæåñòâà (p, q), p, q = 1, . . . , m, â íîìåðà 1, . . . , m2 .Òîãäà ëþáîìó ïðåäñòàâëåíèþ D = {Dij }ni,j=1 , Dij ∈ Rm×m, ìîæíî ïîñòàâèòüâî âçàèìíî îäíîçíà÷íîå ñîîòâåòñòâèå ìàòðèöó22f −1 (β)m ,nD̊ = {D̊αβ }α,β=1, D̊αβ = Dαβ = Dg−1 (α) ,Ïîêàçûâàåòñÿ, ÷òî äëÿ ïðîèçâåäåíèÿ îïåðàòîðîâ áóäåò ñïðàâäåëèâîC̊ = ÅB̊.Òàêèì îáðàçîì, íàõîæäåíèå n2 · k 2 êîýèöèåíòîâ ïðåäñòàâëåíèÿ îïåðàòîðà C = AB ñâîäèòñÿ ê íàõîæäåíèþ êîýèöèåíòîâ ìàòðèöû C̊ ðàçìåðàk 2 × n2 , ïîëó÷àþùåéñÿ êàê ïðîèçâåäåíèå ìàòðèö Å è B̊ ðàçìåðîâ k 2 × m212è m2 × n2 ñîîòâåòñòâåííî. Äàííàÿ îðìóëà ïîëåçíà ïðè ðåàëèçàöèè âû÷èñëèòåëüíûõ àëãîðèòìîâ äëÿ ìàòðè÷íûõ îïåðàòîðîâ, ïîñêîëüêó îíà ïîçâîëÿåòîðãàíèçîâûâàòü õðàíåíèå ïðåäñòàâëåíèé îïåðàòîðîâ â ïàìÿòè ñîãëàñîâàííî ñèìåþùèìñÿ â ðàñïîðÿæåíèè àëãîðèòìîì óìíîæåíèÿ ìàòðèö.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
