Быстроменяющиеся асимптотические решения некоторых нелинейных эволюционных уравнений в частных производных (1102451), страница 2
Текст из файла (страница 2)
Параметр µ может быть связан с параметром ε, в простейшем случае µ = ε. Обычно, ситуацию, когда V = ω(t)x2 /2 + εV 1 (x, t), называют слабонелинейным случаем в противоположность сильнонелинейному случаю,3когда ddxV3 |ε=0 ̸= 0. Хорошим примером слабонелинейного случая служит осциляторВан-дер-Поля: ẍ + x − ε α ẋ (1 − x2 ) = 0.
В качестве примера сильнонелинейногослучая мы рассмотрим задачу Коши для физического маятника с медленноменяющейся частотой ω(t) и нелинейным неконсервативным членом, описывающимтрение при α(t) < 0 и накачку при α(t) > 0: ẍ + ω 2 (t) sin x − εα(t) ẋ cos x = 0.Упомянутое разделение на “слабо-” и “сильнонелинейные” случаи являетсянесколько искусственным и зависит от начальных условийx0 , p0 . Действитель√√24но, предполагая, что V =√ω(t) x2 +√γ(t) x4 + O(x6 ) и x0 = εx̃0 , p0 = εp̃0 , послезамены переменных x = εx̃, p = εp̃ мы получим слабонелинейное уравнение с24V = ω(t) x̃2 + εγ(t) x̃4 + O(ε2 ).
Для упрощения обозначений, мы не будем включатьпараметр µ в V, g, x0 , p0 и другие функции и параметры, но будем держать в уметакую возможность.Понятно, что обычно точное решение задачи Коши (0.1), (0.2) неизвестно, иможно говорить только об асимптотическом решении при ε ≪ 1. Интересно, что1В классической теории осреднения обычно принято обозначать “быстрое” и “медленное” время соответственночерез t и τ .
Здесь же мы приняли другие обозначения, а именно те, которые используются в следующем разделе вслучае уравнений в частных производных.7VHxL2XupHΤL,XHΤL1.511.00.5x-3-21-123Τ12345-0.5-1-1.0-2-1.5Рис. 1: The potential V (x, t) and E for various t: t = 0.1, t = 0.2 (left). The exampleof a fast oscillating solution (right).построение таких асимптотик возможно на больши́х временах, по крайней мереτ ∼ 1ε .
В переменных медленного времени t = ετ “больши́е времена” означаютt ∈ [0, O(1)], и желаемые решения являются быстроосциллирующими (см. рис. 1).В теории нелинейных колебаний существуют различные асимптотические методы, которые обычно называются методами осреднения. Существует большое число статей и монографий, посвященных методам осреднения, подробную библиографию можно найти в книгах В. И. Арнольда, В. В. Козлова и А. И.
Нейштадта,Н. Н. Боголюбова и Ю. А. Митропольского, J. D. Cole, J. Kevorkian. Несмотря на то,что методы осреднения основаны на похожих идеях, их реализация различается.Можно условно разбить их на две группы: методы, связанные с “заменой переменных” и методы “прямого расчета”. Так метод Крылова-Боголюбова, теория КАМи им подобные попадут в первую группу, а так называемый метод Кузмака и егообобщение на случай уравнений в частных производных – метод Уизема или нелинейный метод ВКБ следует отнести ко второй группе.Заметим, что задачи, рассматриваемые в первой главе относятся к так называемым сингулярно возмущенным, которые допускают асимптотики с составляющейтипа пограничного слоя.
Исследованию последних посвящены, в частности, работы В. Ф. Бутузова, А. Б. Васильевой, М. И. Вишика, С. А. Ломова, Л. А. Люстерника, Н. Н. Нефедова, А. Н. Тихонова, и других. В отличие от таких асимптотик, вдиссертации рассматриваются асимптотики, имеющие быстрые осцилляции.Задача (0.1), (0.2) решена в статье F. J. Bourland and R. Haberman2 (см. также книгу J. D.
Cole, J. Kevorkian и статью А. М. Ильина3 ), посредством метода Кузмака-Уизема, с использованием некоторых идей, предложенных в работеС.Ю. Доброхотова и В. П. Маслова4 . Окончательный ответ представлен в двух разных формах: для слабонелинейного случая и для сильнонелинейного случая (приэтом нет перехода от одного к другому). Основной результат данной главы – единаяасимптотическая формула, работающая в обоих случаях.
В этом разделе сформу2F. J. Bourland and R. Haberman, SIAM J. Appl. Math., 48, 1988, pp.737-748А. М. Ильин, ТМФ, 118:3, 1999, 383-3894С.Ю. Доброхотов, В. П. Маслов, Итоги науки и техники. ВИНИТИ, т. 15, 198038лирована и доказана следующая теорема [1]:Теорема 1Пусть существуют положительные числа a, b, t0 , такие что для I ∈ [a, b], t ∈[0, t0 ]:(i1 ) вектор-функция (X(θ, I, t), P (θ, I, t)) – 2π-периодическая по θ и являетсярешением невозмущенной системы с “замороженным” временем t:ṗ = −Hx (x, t),ẋ = Hp ,p2H=+ V (x, t),2θ, I – переменные “действие-угол” для невозмущенной системы:∫1 x+ √I(t) =2(H(I, t) − V (x, t))dx,π x−∫ x+dx√,θ̇ = Ω(I, t), Ω(I, t) = HI (I, t) = π/2(H(I,t)−V(x,t))x−и x± (t) – корни уравнения V (x, t) = E(I, t);(i2 ) для t ∈ [0, t0 ] существует решение I(t, ε) ∈ [a, b], Φ(t, ε) задачи Коши для“осредненных” уравненийdΦdIdΦdI= εΩ(I, t),= −εG(I, t) ⇐⇒= Ω(I, t),= −G(I, t),dτdτ ∫dtdt2π()1G(I, t) =Xθ (θ, I, t) · g P (θ, I, t), X(θ, I, t), t dθ,2π 0с начальными условиями:I|τ =0 = I 0 (x0 , p0 ) + εI10 (x0 , p0 ),Φ|τ =0 = εϕ0 (x0 , p0 ),где ϕ0 , I 0 определяются из условий X(ϕ0 , I 0 , 0) = x0 , P (ϕ0 , I 0 , 0) = p0 , и поправкаI10 равнаI10 (x0 , p0 )∫ ϕ0 (∫ 2π)110′ 0′Vt (X(θ, I , 0), 0) −=−Vt (X(θ , I , 0), 0)dθ dθ+(Ω(I 0 , 0))2 02π 0∫ ϕ0 ()Xθ (θ, I 0 , 0)g(P (θ, I 0 , 0), X(θ, I 0 , 0), 0) − G(I 0 , 0) dθ.0Тогда для главного члена асимптотического разложения x(τ, ε), p(τ, ε) длязадачи Коши (0.1), (0.2) на временах τ ∈ [0, t0 /h] справедливо следующее пред-9ставление( Φ(ετ, ε)), I(ετ, ε), ετ + O(ε),ε( Φ(ετ, ε))p(τ, ε) = P, I(ετ, ε), ετ + O(ε).εx(τ, ε) = XОсновная цель данного раздела в том, чтобы показать, что этот (и более сильный) результат может быть доказан при помощи теоремы А.
И. Нейштадта5 , которая развивает группу методов “замены переменных”, а также сравнить эффективность обоих подходов: методов “замены переменных” и методов “прямого счета”.По нашему мнению, методы осреднения, связанные с заменой переменных, лучшеподходят для рассмотренной задачи Коши (0.1), (0.2), а привлекательность методаКузмака-Уизема (или нелинейного метода ВКБ) состоит в том, что он естественным образом обобщается на случай уравнений в частных производных.В пункте 1.2 первой главы рассмотрены однофазовые (формальные) асимптотические решения в форме Кузмака-Уизема для нелинейного уравнения КлейнаГордона и уравнения Кортевега-де-Фриза.
В этом случае главный член асимптотического решения также ищется в форме анзаца Кузмака-Уизема X(S(x, t)/ε +Φ(x, t)), I(x, t), x, t) + O(ε), где ε ≪ 1 – малый параметр, фаза S(x, t) и медленно меняющиеся параметры I(x, t) находятся из системы “осредненных” уравнений Уизема. Вообще говоря, уравнение для фазового сдвига Φ(x, t) получаетсяиз исследования второй поправки к главному члену. При этом соответствующаяпроцедура нахождения фазового сдвига неравномерна относительно перехода клинейному (и слабонелинейному) случаю.Здесь представлены результаты [2], где показано, как, подправляя на O(ε) подходящим образом решения уравнений Уизема (мало изменяя начальные условиядля них), можно добиться зануления фазового сдвига в анзаце Кузмака-Уиземадля главного члена.
Тем самым эволюция главного члена полностью определяетсярешениями уравнений Уизема.Именно, сформулированы и доказаны следующие теоремы. Рассмотрим задачуКоши для нелинейного уравнения Клейна-Гордона:ε2 (utt − c2 (x, t)△u) + Vu (u, x, t) = 0,u(x, t, ε)|t=0 = u0 (x), εut (x, t, ε)|t=0 = v 0 (x),(0.4)(0.5)где V (u, x, t), c(x, t), u0 (x) и v 0 (x) ∈ R – гладкие функции; t ∈ R, x ∈ Rn ,0 < ε ≪ 1 – малый параметр. От функции V (u, x, t) потребуем выполненияусловия, обеспечивающего существование у уравнения (0.4) быстроосциллирующих вещественнозначных асимптотических решений: пусть существуют гладкиефункции a(x, t) < b(x, t), такие что при каждых фиксированных x, t на интер5А. И. Нейштадт, ПММ, 48:2, 1984, 197–20410вале a < E < b уравнение V (u, x, t) = E имеет по крайней мере два решенияumin (x, t, E), umax (x, t, E), umin < umax , гладко зависящих от x, t, E и таких, чтоVu (umin , x, t) ̸= 0, Vu (umax , x, t) ̸= 0 и V (u, x, t) < E при umin < u < umax .Теорема 2 Пусть существует положительное число t0 и гладкие функцииa(x, t) < b(x, t), такие что для t ∈ [0, t0 ], I(x, t) ∈ [a(x, t), b(x, t)] выполненыусловия:(i1 ) Существует 2π-периодичное по переменной θ решение X(θ, x, t) =X(θ, I(x, t), x, t) уравнения нулевого приближения Ω2 (x, t)Xθθ + Vu (X, x, t) = 0.Это решение задается неявной формулой∫X(θ,x,t)θ = ±Ω(x, t)u∫minumaxΩ(x, t) = π/umindz√,2(E(I, x, t) − V (z, x, t))dz√.2(E(I, x, t) − V (z, x, t))где∫ для√параметризации использована переменная типа действия: I(x, t) =1 umax2(E(I, x, t) − V (z, x, t))dz;π umin˜ t, ε) задачи Коши для системы Уизема:(i2 ) Существует решение S̃(x, t, ε), I(x,St2 − c2 (x, t)(∇S)2 = Ω(I, x, t),]⟨⟩∂[II2St − c (x, t) ∇,∇S = 0,∂t Ω(I, x, t)Ω(I, x, t)(где операторы дифференцирования во втором уравнении действуют также нафункцию I(x, t, ε)), удовлетворяющее начальным условиям:S̃(x, t, ε)|t=0 = εΦ0 (x),˜ t, ε)|t=0 = I 0 (x) + εI10 (x),I(x,где поправка I10 (x) определяется формулойI10 (x)1≡− 0(Ω (x))2∫Φ0 (x)Vt (X(θ, x, 0)) − ⟨Vt ⟩(x, 0)dθ.0Тогда главный член асимптотического разложения для решения исходной задачи Коши (0.4), (0.5) на временах t ∈ [0, t0 ] определяется формулой с “нулевымфазовым сдвигом”:u(x, t, ε) = X(S(x, t)+ Φ(x, t), I(x, t), x, t) + O(ε).ε11Рассмотрим теперь уравнение Кортевега-де-Фризаut − 6uux + ε2 uxxx = 0, x ∈ R, t ≥ 0(0.6)где 0 < ε ≪ 1 – как и раньше, малый параметр.
Некоторые формальные асимптотические решения этого уравнения представляются в виде анзаца Кузмака-Уизема.Дифференциальное уравнение, из которого определяется главный член асимптотического разложения X(θ, x, t), в этом случае имеет вид:Ω(x, t)Xθ − 6K(x, t)XXθ + K 3 (x, t)Xθθθ = 0,где K(x, t) ≡ Sx (x, t), Ω(x, t) ≡ St (x, t) – волновое число и частота.
Здесь также θ – периодическая переменная, x, t – “замороженные” переменные. Для параметризации функция X(θ, x, t) удобно использовать корни E0 , E1 , E2 многочлеΩ(x,t) 2z + A1 (x, t)z + A2 (x, t) = (z − E0 )(z − E1 )(z − E2 )на R2 (z, x, t) = z 3 − 2K(x,t)(см. работы G. B. Whitham (1965), Н. И. Ахиезера (1970), В. Б. Матвеева (1976),А. В. Гуревича и Л. П.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
