Быстроменяющиеся асимптотические решения некоторых нелинейных эволюционных уравнений в частных производных (1102451), страница 3
Текст из файла (страница 3)
Питаевского (1971), Б. А. Дубровина, В. Б. Матвеева иС. П. Новикова (1976), А. Р. Итса и В. Б. Матвеева (1976), H. Flaschka, M. Forest,D. McLaughlin (1980), С. Ю. Доброхотова и В. П. Маслова (1980), И. М. Кричевера(1988), R. Haberman (1988) и других). Формула для функции X(θ, E) найдена вработе А. Р. Итса и В. Б. Матвеева6 , ее можно представить в терминах θ-функцииЯкоби, как в вышеуказанной статье С. Ю. Доброхотова и В. П. Маслова. Система уравнений Уизема при параметризации через концы зон E0 , E1 , E2 получена вработе H. Flaschka, M. Forest и D.
McLaughlin7 :∂∂El = −Λl (E) El ,∂t∂xl = 0, 1, 2.(Формулы для коэффициентов Λl (E) приведены в тексте диссертации.) Волновоечисло K и частота Ω выражаются через концы зон, после чего фаза находитсяинтегрированием уравнения dS = Ω(x, t)dt + k(x, t)dx. Чтобы получить уравнениена фазовый сдвиг Φ, необходимо исследовать уравнение второго приближения.В Теореме 3 рассматривается задача Коши для уравнения Кортевега-де-Фриза сначальными условиями из того же класса, что и строящиеся асимптотики. Показано, что, так же как и в случае волнового уравнения, уравнение на фазовый сдвигможно не решать, если включить его в фазу S̃(x, t, ε) = S(x, t) + εΦ(x, t) и одновременно скорректировать концы зон Ẽ(x, t, ε) = E(x, t) + ε δE(x, t).
Приведеныформулы для поправок δE 0 = δE|t=0 к начальным условиям для концов зон.Полученное представление для главного члена асимптотического разложения(Теоремы 1, 2 и 3) является равномерным относительно перехода к “слабонелинейному” случаю, и поэтому его можно использовать для расчета динами67А. Р.
Итс, В. Б. Матвеев, в сб. Пробл. мат. физ. № 8, Л., Ленингр. ун-т, 1976, 70—92H. Flaschka, M. Forest и D. McLaughlin, Comm. Pure. Appl. Math 33 (1980), pp. 739–78412ки волнового пакета. Хотя этот факт установлен для двух уравнений в частныхпроизводных, тем не менее, как надеется автор, то же имеет место и для других нелинейных уравнений.
Хотя, конечно, этот факт требует доказательства, ив первую очередь его стоит проверить для асимптотик уравнений, интегрируемыхметодом обратной задачи (см. работы И. М. Кричевера), и уравнений Навье-Стокса(см. работы В. П. Маслова).Системы уравнений мелкой водыВо второй главе рассматривается система нелинейных уравнений для волн наводе в приближении мелкой воды. Одномерные уравнения мелкой воды являются одной из простейших моделей распространения жидкости в каналах (см. книгуJ. J.
Stoker, 1958). Кроме того, эти уравнения могут быть использованы для исследования цунами (см. работы Е. Н. Пелиновского и Р. Х. Мазовой). В случаеровного дна уравнения могут быть сведены к линейным уравнения с помощьюпреобразования годографа (см. книгу R. Courant, 1962). При постоянном наклонедна уравнения также могут быть сведены к линейным уравнениям с помощьюпреобразования годографа, после приведения их к римановым инвариантам.
Однако, возможны дальнейшие преобразования зависимых и независимых переменных,которые позволяют выразить параметрически решения исходных уравнений черездва параметра и функцию от них (см. статью G. F. Carrier, H. P. Greenspan, 19588 ).При этом функция является решением линейного волнового уравнения.
Преимущество такого представления состоит, во-первых, в том, что решение нелинейнойсистемы первого порядка сводится к решению линейного волнового уравнения, вовторых, подвижная точка уреза (точка, в которой глубина жидкости равна нулю)переходит в нулевую точку для линейного уравнения.Хотя рассматриваемая система является бездисперсионной, но вопрос о фазовом сдвиге все равно возникает. Для уравнений мелкой воды фазовый сдвиг связансо скачком индекса Маслова при прохождении особой точки специального типа, вкоторой вырождается скорость распространения волны. Это объясняет известнуюметаморфозу профиля волны, которая описывается преобразованием Гильберта исостоит например в том, что “размазанное” δ-образное решение переходит в такназываемую N-волну. В целом оказывается, что решение системы мелкой водыдругого типа, чем рассматриваемые в Главе 1, и никаких новых эффектов, связанных с фазовым сдвигом, нелинейность не дает.В пункте 2.1 второй главы приведены точечные преобразования, связывающиетри системы уравнений первого порядка [4]: уравнения мелкой воды над ровнымдном D(z) = 0∂u ∂h∂u+u+= 0,∂t∂z ∂z8G.
F. Carrier, H. P. Greenspan, J. Fluid Mech., 4, 1958, 97–10913∂h ∂[hu]+=0∂t∂zуравнения мелкой воды над дном постоянного уклона D(x) = c2 (x) = x:∂v ∂η∂v+v+= 0,∂t∂x ∂x∂η ∂[(η + x)v]+=0∂t∂xи линейной системы, которая получается формальной линеаризацией:∂U ∂N+= 0,∂τ∂y∂N ∂[yU ]+= 0.∂τ∂yВсе найденные преобразования сохраняют дивергентный вид уравнений. Такжеприведены преобразования, связывающие линеаризованную систему и линейноеволновое уравнение, выведенное в работе G.
F. Carrier, H. P. Greenspan. Кроме того, представлены формулы специального решения линеаризованной системы в виде волны, бегущей с переменной скоростью (полученного С. Ю. Доброхотовым иС. Я. Секерж-Зеньковичем), и показана связь полученного решения с решениемдвумерного волнового уравнения с постоянной скоростью звука.В пункте 2.2 второй главы рассматривается система нелинейных уравнениймелкой воды в одномерном случае над неровным дном D(x) = c2 (x) (c(x) – скорость распространения волн):ηt + (D(x)u + ηu)x = 0,ut + (η + u2 /2)x = 0,x ≥ xmin (t), t ∈ R(0.7)для уровня свободной поверхности η = η(x, t) и скорости u = u(x, t) (см.
например, книги J. J. Stoker и Е. Н. Пелиновского). Считаем, что точка x = 0 соответствует берегу, а именно sign(D(x)) = sign(x). Значения D(x) < 0 отвечают“отрицательной глубине”, т.е. высоте берега над уровнем водоема. Задача состоит в построении некоторых ограниченных решений рассматриваемых уравнений вобласти с переменной левой границей x ∈ [xmin (t), ∞), где xmin (t) определяется изусловия D(xmin ) + η(xmin , t) = 0.Решения этой задачи в случае линейного дна, когда D(x) = γ 2 x изучались в работах J. J.
Stoker, Е. Н. Пелиновского и Р. Х. Мазовой, G. F. Carrier, H. P. Greenspan,T. Vukašinac и P. Zhevandrov (2002), С. Ю. Доброхотова и Б. Тироцци (2010), причем, в последней получено семейство точных решений, представленных в видеалгебраических функций.Мы будем рассматривать дно в виде D(x) = γ 2 xf (εx), f (0) = 1, f (k) (ξ) =O(1), где характерный размер “неровностей” дна D(x) определяется малым параметром ε ≪ 1. Изменением масштаба (x → x, t → t/γ, η → γ 2 η, u → γu) можносделать γ = 1. Решаем задачу Коши с начальным условием, удаленным от берегана расстояние порядка длины волны:η|t=0 = η 0 (x),η 0 (x) ≡ νV (x − 1),14u|t=0 = 0.(0.8)ΗΗΗ0.30.30.30.20.20.20.10.10.1xx0.2-0.20.40.60.81.00.2-0.20.40.60.81.0x0.2-0.2-0.1-0.1-0.1-0.2-0.2-0.2-0.3-0.3-0.30.40.60.81.0Рис.
2: Главный член N0 (z, τ ) для линейной системы над линейным дном (штрих) иглавный член η0 (x, t) для нелинейной системы над дном D(x) = x(1−0.1 sin(2πx))(сплошная) в окрестности фокальной точки: для времен τ, t = 1, 2, 3.Здесь V (ξ) – гладкая финитная функция supp V ⊂ [−1/2, 1/2], |V (ξ)| ≤ 1, параметр ν характеризует амплитуду в начальный момент времени. Будем считать, чтоамплитуда волны в начальный момент достаточно мала по сравнению с глубинойν ≪ D(1), чтобы волна дошла до берега без опрокидывания. Это достаточно частобывает для волн цунами (как показано в работах Е.
Н. Пелиновского и Р. Х. Мазовой).Основной результат заключается в следующем (см. [3]). Вблизи берега существует замена переменных (x, t) → (z, τ ), (η(x, t), u(x, t)) → (N (z, τ ), U (z, τ )),которая сведет исходную задачу к задаче Коши для нелинейной системы, представляющей собой слабовозмущенную линейную систему:Nτ + (zU )z = εf1 (z, N, U )zU,N |τ =0 = N 0 (z),Uτ + Nz = εf2 (z, N, U )N,U |τ =0 = 0.(0.9)(0.10)Указанная замена переменных строится как композиция двух замен. Сначала проводится замена переменных для “выравнивания дна”, которая переводит исходную систему в систему мелкой воды с дном постоянного уклона и с малой правой частью.
К полученной системе применяются формулы линеаризации методомКариера-Гринспена (см. также книгу Е. Н. Пелиновского) в форме, представленнойв статье С. Ю. Доброхотова и Б. Тироцци9 :z = y + q(y, t),τ = t − w(y, t),1N (z, τ ) = q + w2 ,2U (z, τ ) = w.Преобразование Кариера-Гринспена переводит задачу с переменным левымпределом ymin : ymin + q = 0 в задачу (0.9), (0.10) с постоянной левой границейzmin = 0, поскольку. Для этой задачи получено (формальное) асимптотическое решение методом регулярной теории возмущений.Главный член асимптотики и поправки определяются из системы неоднород9С. Ю.
Доброхотов, Б. Тироцци, УМН, 65:1(391), 2010, 185–18615√ных линейных уравнений со скоростью c = γ z (с дном постоянного уклонаD = γ 2 z). Для корректной постановки задачи Коши для системы линейных уравнений, необходимо наложить дополнительное условие на поведение решения приx → 0, поскольку скорость c(x) вырождается в точке x = 0. Как было сформулировано T. Vukašinac и P. Zhevandrov (2002) и доказано С. Ю. Доброхотовым,В. Е. Назайкинским и Б. Тироцци (2010), такая задача будет корректно поставлена, если потребовать c(x)ηx (x) ∈ L2 (R+ ), что в сущности эквивалентно тому, чтоэнергия решения должна быть конечна. Для задачи Коши для линейной системыс локализованными начальными условиями известно точное решение в интегральной форме и достаточно эффективные асимптотические формулы для этого решения вне окрестности точки z = 0 (см.
работы Е. Н. Пелиновского и Р. Х. Мазовой,С. Ю. Доброхотова, В. Е. Назайкинского и Б. Тироцци10 ). Как показано С. Ю. Доброхотовым, В. Е. Назайкинским и Б. Тироцци, эта точка является фокальной точкойили точкой поворота.В результате в пункте 2.2 главы 2 сформулирована и доказана следующаятеорема (см. [3]).Теорема 4 √Пусть скорость c(x) (дно D(x) = c(x)2 ) достаточно мало отклоняется от x (от дна постоянного уклона x), и амплитуда начальной волныдостаточно мала. Пусть кроме того начальные условия лежат в пространствеШварца на полупрямой: N 0 (z), U 0 (z) ∈ S[0, ∞) (N 0 , U 0 ∈ C ∞ [0, ∞) и убывают набесконечности быстрее любой степени).Тогда исходная задача сводится к задаче (0.9), (0.10) с границей z = 0, длякоторой можно построить формальное асимптотическое решение методом регулярной теории возмущений ∑в виде ряда по малому параметру ε: N (z, τ, ε) =∑∞∞kkk=0 ε Nk (z, τ ), U (z, τ, ε) =k=0 ε Uk (z, τ ) – в классе S[0, ∞) по z, на временах τ = O(1).
Обратная замена переводит его в формальное асимптотическоерешение для исходной задачи (0.7), (0.8) с переменной границей xmin (t) – в классеS[xmin (t), ∞) по x, на временах t = O(1).С помощью построенных асимптотических формул и точных решений специального вида для линейных уравнений мелкой воды рассмотрено отражение волныот берега в случае нелинейной системы (см. Рис. 2). Как показано, для уравнениймелкой воды фазовый сдвиг связан со скачком индекса Маслова при прохожденииособой точки специального типа, в которой вырождается скорость распространения волны.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
