Быстроменяющиеся асимптотические решения некоторых нелинейных эволюционных уравнений в частных производных (1102451)
Текст из файла
На правах рукописиМиненков Дмитрий СергеевичБЫСТРОМЕНЯЮЩИЕСЯ АСИМПТОТИЧЕСКИЕ РЕШЕНИЯНЕКОТОРЫХ НЕЛИНЕЙНЫХ ЭВОЛЮЦИОННЫХ УРАВНЕНИЙВ ЧАСТНЫХ ПРОИЗВОДНЫХ.Специальность 01.01.03 – Математическая физикаАВТОРЕФЕРАТдиссертации на соискание ученой степеникандидата физико-математических наукМосква, 2014Работа выполнена в лаборатории механики природных катастрофИнститута проблем механики имени А.Ю. Ишлинского РАННаучный руководительдоктор физико-математических наук,профессор Сергей Юрьевич ДоброхотовОфициальные оппонентыдоктор физико-математических наук,профессор Леонид Анатольевич Калякиндоктор физико-математических наук,профессор Владимир Григорьевич ДаниловВедущая организацияСанкт-Петербургское отделение Математическогоинститута имени В.А.
Стеклова РАНЗащита состоится 20 февраля 2014 г. в 15 ч. 30 мин. на заседании диссертационного совета Д 501.002.10 при Московском государственном университете имениМ.В. Ломоносова по адресу: 119991, г. Москва, Ленинские горы, МГУ, дом 1, стр. 2,физический факультет, СФА.С диссертацией можно ознакомиться в фундаментальной библиотеке МГУ имени М.В. Ломоносова.Автореферат разослан “....” .................
2014 г.Ученый секретарьдиссертационного совета Д 501.002.10доктор физико-математических наукпрофессорП.А. ПоляковОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОТЫАктуальность темы диссертационного исследования. Асимптотические методы широко используются при решении различных задач. Потребность в них возникает, во-первых, когда точное решение задачи неизвестно, и во-вторых, когдас известным точным решением по тем или иным причинам трудно работать, ивозникает потребность в простых для приложений асимптотических формулах.С появлением и развитием таких программных пакетов, как Mathematica,MathLab и им подобные, возникла возможность компьютерной реализации быстрых аналитико-численных алгоритмов для моделирования волновых процессов,что позволяет анализировать зависимость решения от параметров в режиме “онлайн”. Однако, существующие формулы для асимптотических решений не всегдаподходят для подобных целей, и есть потребность в модификации существующихи получении новых формул для асимптотических решений.Целью работы является построение однофазных асимптотических решенийв форме анзаца Кузмака-Уизема для задачи Коши для ангармонического осциллятора, нелинейного уравнения Клейна-Гордона и уравнения Кортевега-де-Фриза,причем окончательный ответ ищется в виде, который является равномерным относительно перехода от “сильнонелинейного” случая к “слабонелинейному” (независит от величины начальных данных).
Кроме того строятся асимптотическиерешения для одномерной нелинейной системы мелкой воды с вырождающейсяскоростью общего вида вблизи точки вырождения (соответствующей берегу). Построенные асимптотические решения эффективно реализуются на компьютере.Общая методика исследования основана на сочетании адиабатического и квазиклассического приближений, методов осреднения и теории возмущений.Научная новизна определяется следующими основными результатами:1. Для задачи Коши для уравнения ангармонического осциллятора с малымнеконсервативным членом построено однофазовое формальное асимптотическое решение. Доказано, что фазовый сдвиг в анзаце Кузмака-Уизема определяется из задачи на систему уравнений, из которых определяется эволюцияфазы и переменных типа действия, с соответствующим образом подобранныминачальными условиями; Доказана равномерность полученного представленияотносительно перехода от “сильнонелинейного” случая к “слабонелинейному”.2.
Построены однофазовые (формальные) асимптотические решения для нелинейного уравнения Клейна-Гордона и уравнения Кортевега-де-Фриза, которыеявляются регулярными относительно перехода от “сильнонелинейного” случаяк “слабонелинейному”; Доказано, что для этих уравнений фазовый сдвиг в анзаце Кузмака-Уизема определяется из задачи для системы уравнений Уизема ссоответствующим образом подобранными начальными условиями;3. Для нелинейной системы мелкой воды в одномерном случае с вырождающейсяскоростью получены (формальные) асимптотические решения вблизи точки3вырождения и предложена замена переменных, которая переводит эту системув нелинейную с малой нелинейностью.4.
Получено представление в виде точечных преобразований для преобразований, связывающих три одномерные системы: уравнений мелкой воды на ровном дне, на дне постоянного уклона и линеаризованных уравнений мелкойводы. С помощью этих преобразований исследовано решение в виде бегущейволны с переменной скоростью для уравнений мелкой воды на дне постоянного уклона и соответствующее решение для уравнений мелкой воды на ровномдне.Научная и практическая ценность. Работа носит теоретический характер.Асимптотические методы решения задач математической физики сами по себепредставляют теоретический интерес. Асимптотические решения часто объясняютключевые свойства точных решений, получаемых численно или экспериментально.
Рассматриваемые задачи описывают несколько практически важных явлений,например, поведение жидкости в каналах или динамику волн цунами. Полученное представление, равномерное относительно перехода от “сильнонелинейного”случая к “слабонелинейному”, позволяет описывать динамику цуга волн, когда нахвосте цуга амплитуда решения небольшая и ситуация “слабонелинейная”, а у пика – “сильнонелинейная”.Личное участие автора. Задача построения асимптотических решений одномерной нелинейной системы уравнений мелкой воды с вырождающейся скоростьюизучена автором самостоятельно. Некоторые результаты получены совместно с научным руководителем С.Ю.
Доброхотовым (Институт Проблем Механики РАН,Московский Физико-Технический Институт) и С.Б. Медведевым (Институт вычислительных технологий СО РАН, Московский государственный университет). Здесьвклад автора заключается в проведении конкретных вычислений и доказательств,а также в реализации полученных асимптотических формул на компьютере.Апробация работы. Основные результаты работы были представлены наМеждународных конференциях “Дни дифракции” (в 2010-2012 годах, СанктПетербург), на международной конференции “Mathematical analysis of Asymptoticand Applications” (в 2010 году, IIMAS, UNAM, Mexico City, Mexico), на научнойконференции МФТИ (2012, Москва), на международной конференции “Нелинейный анализ и спектральные задачи” (2013, Уфа) и на международной конференции“Дифференциальные уравнения.
Функциональные пространства. Теория приближений”, посвященной 105-летию со дня рождения С.Л. Соболева (2013, Новосибирск). Также результаты били представлены и обсуждались на научных семинарах под руководством В.М. Бабича в ПОМИ РАН (2012, Санкт-Петербург) и подруководством Л.А. Калякина в Институте Математики с ВЦ УНЦ РАН (2013, Уфа).Публикации. Основное содержание работы отражено в четырех публикациях,список которых приведен в конце автореферата.
Работы опубликованы в изданиях, входящих в утвержденный ВАК перечень ведущих рецензируемых научных4изданий и журналов, в которых должны быть опубликованы основные научныерезультаты диссертации на соискание ученой степени киндидата и доктора наук.Структура и объем диссертации. Диссертация состоит из введения, 2 глави списка литературы.
Материал диссертации изложен на 105 страницах. Списоклитературы содержит 68 наименования.5КРАТКОЕ СОДЕРЖАНИЕ РАБОТЫВо введении проводится обоснование актуальности темы диссертации, содержится постановка целей исследования, формулируются задачи и основные результаты работы.Фазовый сдвиг в анзаце Кузмака-УиземаВ первой главе проводится обзор методов осреднения, разработанныхН. М. Крыловым, Н. Н. Боголюбовым, Ю. А. Митропольским и другими, и приводятся результаты, связанные с процедурой определения фазового сдвига в анзацеКузмака-Уизема при построении быстроосциллирующих асимптотических решений в нелинейных уравнениях.Согласно стандартной схеме, примененной Г. Е.
Кузмаком (в 1959) для обыкновенных дифференциальных уравнений и Г. Б. Уиземом (1965) для уравнений вчастных производных, главный член асимптотического разложения определяетсяиз нелинейного уравнения, а поправки к нему из линейных уравнений. Главный, I(t), t), где фаза S,член разложения может быть представлен в форме X( S(t)+εϕ(t)ε“медленно меняющийся” параметр или параметры I и так называемый фазовыйсдвиг ϕ определяются из системы “осредненных” уравнений – условий совместности уравнений для поправок. Вопрос о вычислении фазового сдвига возник давно и обсуждался для уравнений в частных производных С. Ю. Доброхотовым иВ. П.
Масловым (1981), а также Р. Хаберманом (1988). Для обыкновенных дифференциальных уравнений этот вопрос обсуждался в работах Р. Хабермана и соавторов.Основная сложность при определении фазового сдвига состоит в том, что в“сильнонелинейном” случае для вычисления фазового сдвига достаточно рассмотреть уравнение на первую поправку к главному члену разложения, а в линейноми “слабонелинейном” случае необходимо также исследовать уравнение для второй поправки и для этого необходимо определить первую поправку, что являетсянетривиальной задачей.
Это препятствие имеет топологический характер: при переходе от “сильнонелинейного” случая к “слабонелинейному” размерность коядрасоответствующего линейного оператора в вариациях уменьшается на 1. Практический результат, основанный на идеях работ С. Ю. Доброхотова и В. П. Маслова, иработ Р. Хабермана, заключается в том, что можно учесть фазовый сдвиг ϕ, еслирассмотреть его как часть фазы S, и при этом соответствующим образом изменить начальные данные для уравнения на I. Построенные представления для главного члена асимптотического разложения являются инвариантными относительноперехода от “сильнонелинейного” случая к “слабонелинейному”. Это позволяет,например, описывать динамику цуга волн, когда на хвосте цуга ситуация “слабонелинейная”, а у пика – “сильнонелинейная”.6В пункте 1.1 первой главы рассматривается одномерный нелинейный осциллятор с потенциалом V (x, ετ ), медленно зависящим от времени τ , и малым неконсервативным членом εg(ẋ, x, ετ ), описывающим трение или (и) “накачку”, где ε ≪ 1– малый параметр.
Соответствующий математический объект – задача Коши длянеизвестного положения x(τ, ε) и скорости (момента) p(τ, ε) = ẋ = dxdτ :ṗ = −Vx (x, ετ ) − εg(p, x, ετ ),⇐⇒ẋ = p,x|τ =0 = x0 ,ẍ + f (x, ετ ) + εg(ẋ, x, ετ ) = 0,p|τ =0 = ẋ|τ =0 = p0 .(0.1)(0.2)Здесь f = Vx ≡ ∂VV (x, t), g – гладкие функции, g(p, x, ετ ) – нечетная∂x (x, t),функция p. Обычно переменную τ называют “быстрым” временем в противоположность “медленному” времени t = ετ .1 Задачу (0.1), (0.2) можно переписать,используя медленное время t, тогда она примет форму так называемой сингулярновозмущенной задачи:ε2d2xdx+ f (x, t) + εg(ε , x, t) = 0,2dtdtx|t=0 = x0 ,εdx|t=0 = p0 .dt(0.3)Мы предполагаем, что по крайней мере локально, потенциал V имеет формупотенциальной ямы на интервале (xl , xr ) с минимумом в точке x = xmin ∈ (xl , xr ).Потенциал V , функция f так же как и начальные значения x0 , p0 могут зависеть регулярным образом от некоторого действительного параметра (или параметров) µ ∈ [0, µ0 ], например, можно рассмотреть потенциал V = ω(t)x2 /2 +µV 1 (x, t), V 1 (x, t) = O(x3 ).
Характеристики
Тип файла PDF
PDF-формат наиболее широко используется для просмотра любого типа файлов на любом устройстве. В него можно сохранить документ, таблицы, презентацию, текст, чертежи, вычисления, графики и всё остальное, что можно показать на экране любого устройства. Именно его лучше всего использовать для печати.
Например, если Вам нужно распечатать чертёж из автокада, Вы сохраните чертёж на флешку, но будет ли автокад в пункте печати? А если будет, то нужная версия с нужными библиотеками? Именно для этого и нужен формат PDF - в нём точно будет показано верно вне зависимости от того, в какой программе создали PDF-файл и есть ли нужная программа для его просмотра.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
