Автоколебательная неустойчивость в газовых лазерах с поперечным протоком двухкомпонентной активной среды (1102300), страница 2
Текст из файла (страница 2)
Принималось, что диссипативные потери в резонаторе отсутствуют, а потери на расширение пучка (увеличение) θ = ln M / 2 L равномерно распределены по длине резонатора L ( M - коэффициент увеличения на двойной проход).Для активной среды использовалась упрощенная модель, в которой в каждой из компонент рассматривается по одному возбужденномууровню. Населенностью нижнего лазерногоуровня активной компоненты пренебрегается.Предполагается, что так же, как и в CO2 : N 2 лазере, обмен энергией между компонентами носитрезонансный характер.Исходная система уравнений для населенностей уровней компонент среды G2 (x, t ) , G3 (x, t )и интенсивности поля в резонаторе W (x, t ) в нормированных величинах имела вид:Рис.1.
Неустойчивый резонатор сдвижущейся активной средой.Направление потока показанострелками.∂G2 ∂G2−= −(γ 23 + γ 2 + W )G2 + γ 32G3 + q2∂t∂x(1)∂G3 ∂G3−= −(γ 32 + γ 3 )G3 + γ 23G2 + q3 ,∂t∂x(2)τc∂W∂W+x= (G2 − 1)W .∂t∂x(3)Здесь Gi = σ ni / θ - приведенные населенности уровней (i = 2,3) , где σ - оптическоесечение лазерного перехода, ni - населенности уровней.
Индекс i = 2 относится клазерно-активной компоненте смеси, индекс i = 3 – к “энергонесущей” компоненте,W = σIτ f , где I - интенсивность поля по числу квантов, τ f = h / u - время пролетасреды до оптической оси резонатора ( h – апертура резонатора, u – скорость потока); γ ik , γ i - нормированные на τ f −1 константы скоростей обмена и релаксациикомпонент(смеси;τ c = 2 L / cτ f ln M)qi = Siστ f / θ ,гдеSi-скоростинакачеккомпонент;- нормированное время затухания поля в НР.
Переменные t и xнормированы на τ f и h соответственно. Стационарные решения (1) - (3) дают распределения G2 s (x ) , G3s (x ) и Ws (x ) в непрерывном режиме генерации.Исследование устойчивости стационарных решений проводилось на основелинеаризованных уравнений для малых возмущений g~2 (x, t ) , g~3 (x, t ) и w~ (x, t ) , причемвозмущение поля нормировалось на Ws (x ) .
Путем подстановки g~2 (x, t ) = g 2 (x )eΓt ,~ ( x, t ) = w eΓt находятся уравнения для комплексных амплитудg~3 (x, t ) = g3 ( x )eΓt и w6g 2 ( x ) , g3 ( x ) и w ( x ) с комплексным инкрементом Γ = Γ + iΩ (чертой сверху обозна-чаются комплексные величины):dg 2= (Γ + γ 2 + Ws + γ 23 )g 2 − γ 32 g3 + Ps w ,dx(4)dg3= (Γ + γ 3 + γ 32 )g3 − γ 23 g 2 ,dx(5)⎛ dw ⎞x⎜⎟ = g 2 − Γτ c w ,⎝ dx ⎠(6)где Ps = G2 sWs - стационарная генерируемая мощность.В п.2.2 обсуждается выбор граничных условий при решении систем уравнений.
На входе потока в резонатор (x = 1) значение G2 s (1) выбиралось в пределах от 1до 4, при этом предполагалось наличие равновесия населенностей компонентγG3s (1) = 23 G2 s (1) . На оси НР из (6) находимγ 32g 2 (0 ) = Γ τ c w (0 ) .(7)На входе в резонатор граничное условие имеет видg 2 (1) = 0 , g3 (1) = 0 .(8)В разделе 2.3 рассматривается специальный выбор параметров смеси, который позволяет упростить интерпретацию результатов расчетов.
Происходящий всмеси обмен энергией возбуждения между компонентами заметно изменяет стационарные профили G2 s (x ) и G3s (x ) , которые существенно влияют на возбуждениерелаксационных колебаний (РК). Чтобы исключить влияние стационарных профилей и исследовать действие механизма обмена возмущениями нами в ряде расчетовпроизводился специальный выбор параметров двухкомпонентной среды, при которых изменение скоростей обмена не оказывает влияния на стационарные профили.В такой искусственно “согласованной” смеси соотношение стационарных населенностей компонент при всех значениях x соответствует равновесномуG3s (x ) / G2 s (x ) = γ 23 / γ 32 .
При этом происходит “зануление” стационарного потокаэнергии возбуждения J s = γ 23G2 s − γ 32G3s и стационарные уравнения для населенностей оказываются “развязанными”. В то же время обменный поток возмущениямиJ = γ 23 g 2 − γ 32 g3 не обращается в ноль. В рамках нашей модели эти условия могутбыть выполнены при специальном выборе профиля накачки второй компоненты ввиде(9)q3 ( x ) = (γ 23 / γ 32 )[q2 − (Ws + γ 2 − γ 3 )G2 s ] .В п.2.4 излагается аналитическая модель релаксационных колебаний в двухкомпонентных средах. Если стационарные профили Ws (x ) и G2 s (x ) медленно изменяются на масштабе пространственного периода автоколебаний Λ = 2π / Ω , то, как идля однокомпонентной среды, удается получить приближенные аналитические со7отношения, описывающие квазиоднородные частные решения g 2e (x ) и g3e (x ) уравнений (4), (5).
В типичных системах молекулярных БПЛ ( CO2 : N 2 , CO лазеры) время затухания поля в НР τ c намного меньше других характерных времен ( τ c << τ f ,Ω −1 , γ ik −1 и др.). Отсюда с учетом (6) и (7) следует, что нормированное возмуще-ние поля w является “медленной переменной” и мало меняется на апертуре резонатора. В большинстве случаев его можно с хорошим приближением считать постоянным. Для заданного w система уравнений (4)-(5) решалась методом итераций.
Впервом приближении формулы для g 2e (x ) и g3e (x ) имеют вид:⎡γ γ ⎤g 2e (x ) = − Ps w ⎢Γ + χ 23 − 23 32 ⎥Γ + χ 32 ⎦⎣−1,(10)g3e ( x ) = −γ 23 Ps w [(Γ + χ 23 )(Γ + χ 32 ) − γ 23γ 32 ] ,−1(11)(12)где χ 23 = γ 23 + γ 2 + Ws − (1 / Ps )(dPs / dx ) , χ 32 = γ 32 + γ 3 − (1 / Ps )(dPs / dx ) .Возмущения g 2e и g3e связаны соотношением(13)g3e = γ 23 g 2e / (Γ + χ 32 ) .Формулы 2-го приближения дают лишь небольшие поправки к (10)-(13), за исключением достаточно узкой области γ 32 ~ Ω , где эти поправки оказываются значительными. Соотношения (10) и (11) устанавливают связь возмущений среды с возмущениями поля. Подстановка (10) в (6) позволяет получить выражение для w вквадратурах. Общее решение системы уравнений (4)-(5) для среды является суммой найденного квазиоднородного частного решения и осциллирующего общегорешения однородной системы:(14)g 2 = g 2e + g 2u , g3 = g3e + g3u .Оно должно удовлетворять граничному условию на входе потока в резонатор.
Приэтом интерференция слагаемых в (14) приводит к явлению “краевой модуляции”.При использовании “согласованных” граничных условий(15)g 2 (1) = g 2e (1) , g3 (1) = g3e (1) ,осциллирующие члены в (14) обращаются в нуль и можно положить g 2 (x ) = g 2e (x ) ,g3 ( x ) = g3e ( x ) . Соотношение (10) с граничным условием (7) на оси НР приводит куравнению 3-ей степени для Γ .
Это уравнение позволяет получить соотношениядля Γ и Ω в предельных случаях слабого и сильного обмена и найти границы устойчивости системы по отношению к возбуждению РК. Так, в случае слабого обмена (γ ik << Ω 0 ) находим:(16)Ω = Ω 0 , Γ = − χ 23 (0) / 2 = Γ0 − γ 23 / 2 ,()где Γ0 = Ws0 + γ 2 − (1 / Ps )(dPs / dx )x = 0 / 2 - инкремент в отсутствие обмена, Ws0 = Ws (0) ,Ω 0 = Ws0 / τ c - релаксационная частота. В случае сильного обмена найдем:Γ = Γ∞ − ξ 2ξ3Ω 0 2 / (2γ 32 ) ,8(17)( ()()])75где Γ∞ = − ξ 2 Ws0 + γ 2 + ξ3γ 3 − (1 / Ps )(dPs / dx )x = 0 / 2 - значение инкремента при бесконечной скорости обмена. Здесь величины ξ 2 = γ 32 / γ Σ , ξ3 = γ 23 / γ Σ , где γ Σ = γ 23 + γ 32 ,в случае резонансного обмена соответствуют относительным содержаниям компоthнент в смеси. Порог возбуждения РК соответствует условию γ 32= ξ 2ξ3Ω 0 2 / (2Γ∞ ) .
Вслучае сильного обмена получаем для частоты:Ω = ξ2 Ω0 .(18)Из (16) и (17) видно, что РК могут возбуждаться при наличии достаточнобольших градиентов стационарного поля и усиления на оси НР. Необходимый дляэтого спадающий к оси резонатора профиль накачки задавался выражениемq2 ( x ) = qm 1 − exp − x 2 / h02 , где qm - скорость накачки на периферии НР, h0 - шириназоны неоднородности накачки (h0 << 1) (рис.1).В п.2.5 приведены результаты расчетов и анализ механизмов релаксационныхколебаний в смесях.
На рис.2 (а) и (б) показана пространственная структура модвозмущений в области, прилегающей к оси НР. Видно, что как амплитуды возмущений населённостей, так и их фазы (по отношению к фазе колебаний поля) достаточно быстро уменьшаются к оси НР, что является следствием спада стационарныхпрофилей населённостей и поля. Особую роль в механизме неустойчивости играетфаза усиления Φ 2 , поскольку согласно (7) она определяет инкремент колебаний[абРис.2. Амплитуды мод возмущений g 2 (4), g3 (1) и их фазы Φ 2 (2), Φ 3 (3) в приосевойобласти резонатора.
Условия расчета: смесь 1 : 3 , γ 2 = 2 , γ 3 = 4.5 , Ω 0 = 156 .Скорости обмена γ 32 = 10 (а), γ 32 = 103 (б).Γ ≈ Ω cosΦ 2 (0) . При движении среды через переменное поле с уменьшающейся ам-плитудой происходит задержка фазы колебаний усиления по отношению к фазеполя. Если при этом на оси резонатора оказывается Φ 2 (0) < π / 2 , то возникает неустойчивость (Γ > 0) . Передача возмущений от активной компоненты к неактивной9при малой скорости обмена γ 23 << Ω 0 приводит к возрастанию фазы Φ 2 (0 ) на величину ∆Φ 2 (0) = γ 23 / 2Ω 0 и к уменьшению инкремента ∆Γ = −γ 23 / 2 . Если при этом оказывается Φ 2 (0 ) > π / 2 (рис.2а), то происходит затухание колебаний.
Фаза Φ 3 запаздывает по отношению к Φ 2 . В области быстрого обмена ( γ 23 >> Ω 0 , рис 2б) фазыколебаний компонент сближаются, при этом Φ 2 (0) уменьшается ниже уровня π / 2 .Рассчитанные зависимости инкремента и частоты релаксационных колебанийв смесях различного состава от скорости обмена между компонентами активнойсреды показаны на рис.3. Можно выделить 3 области скоростей обмена, соответствующие слабому (γ 23 << Ω 0 ) , среднему (γ 23 ~ Ω 0 ) и сильному (γ 23 >> Ω 0 ) обмену. Качественные особенности поведения системы в указанных областях связаны с изменением соотношения прямого J 23 = γ 23 g 2 и обратного J 32 = γ 32 g3 потоков возмущений J 32 / J 23 = γ 32 / (Γ + χ32 ) . В области слабого обмена можно пренебречь влияниемобратного потока возмущений.
Действие прямого потока вызывает падение инкремента (см (16)). В средней области неполного обмена возрастающий обратный поток возмущений начинает компенсировать действие прямого потока. Уменьшениеинкремента прекращается и далее происходит его рост. В диапазоне скоростей обмена, соответствующих максимальному затуханию РК, наблюдается достаточнобыстрое изменение частоты колебаний в сторону ее уменьшения,которое наиболее значительно дляγ 23“бедных” смесей с малым содержанием активной компоненты. Влияние скорости обмена на частоту РКможно качественно объяснить эффективным “перемешиванием” населённостей уровней компонент, врезультате чего индуцированныйполем “сброс” населенности лазерного уровня распределяется на обекомпоненты смеси пропорциональРис.3. Частоты (1, 2, 3) и инкременты (4, 5, 6) рено их концентрациям. Заметим, чтолаксационных колебаний в смесях 1 : 10 (1, 4),соотношение (18) для частоты РК в1 : 3 (2, 5), 1 : 1 (3, 6) при разных скоростях обмесмесях носит достаточно общийна. Точки - расчет по аналитической модели.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
