Автоколебательная неустойчивость в газовых лазерах с поперечным протоком двухкомпонентной активной среды (1102300), страница 3
Текст из файла (страница 3)
Усхарактер и остается справедливымловия расчета: “согласованная” смесь, γ 2 = 2 ,в случае неподвижных сред и дляγ 3 = 4.5 , q2m = 10 , Ω 0 = 156 .других типов резонаторных систем.В области сильного обменапо мере увеличения γ ik прямой и обратный потоки выравниваются по величине истановятся синфазными. Предельнаявеличинарезультирующего потока))J = J 23 − J 32 составляет J ∞ ( x) = −ξ3 (Ps w + Ws g 2 ) , где Ws = Ws + γ 2 − γ 3 . Порог неустойчи10вости раньше достигается для более “богатых” смесей.
Результаты расчетов для несогласованных смесей качественно не отличаются от приведенных на рис.3. Этоговорит о том, что основной механизм затухания РК в смесях связан с обменомвозмущениями между компонентами, в то время как изменение стационарныхпрофилей играет меньшую роль.Таким образом, результаты расчетов показывают, что процессы обмена возмущениями вызывают эффективное подавление релаксационных колебаний. Последние могут возбуждаться только при очень высоких скоростях обмена(γ ik >> Ω 0 ) .
В типичных условиях CO2 : N 2 БПЛ порог возбуждения РК соответствует давлениям смеси выше 100 Тор. Следует ожидать, что взаимодействие РК с другими типами автоколебаний при определенных условиях может приводить к снижению порога неустойчивости.Глава 3 В данной главе исследуется другой тип неустойчивости генерации вБПЛ с НР, связанный с возбуждением пролетных колебаний (ПК).В п.3.1 излагается используемый в работе подход к описанию пролетных колебаний.
Расчеты проводились на основе тех же исходных уравнений и уравненийдля возмущений, как и в главе 2. На оси НР вместо (7) ставилось нулевое граничное условие для возмущения активной компоненты g 2 (1) = 0 , соответствующее квазистационарной модели резонатора. (Для удобства расчетов ПК здесь изменено направление оси x .
Значение x = 0 соответствует входу потока в резонатор, а x = 1 оптической оси резонатора.) Как и в п.2.4, в аналитической модели ПК решениесистемы уравнений для возмущений записывается в виде g 2 (x ) = g 2e (x ) + g 2u (x ) ,g3 (x ) = g3e ( x ) + g3u ( x ) , где g 2e ( x ) , g3e ( x ) даются (10, 11). В отличие от РК осциллирующие решения g 2u (x ) , g3u (x ) , описывающие волны краевых возмущений (ВКВ),играют важную роль в механизме ПК. В предположении слабой неоднородностистационарного поля Ws (x ) функции g 2u (x ) и g3u (x ) на малых интервалах∆x = xk +1 − xk аппроксимировались “локальными” решениями однородной системыуравнений с постоянными коэффициентами(1)(2 )⎞⎛ g 2u ( x )⎞ ⎛⎜ g 2u ( xk )⎟ λ1 ( xk )( x − xk ) ⎛⎜ g 2u ( xk )⎞⎟ λ2 ( xk )( x − xk )r⎟⎟ =.+⎜egu ( x ) = ⎜⎜⎟e⎜⎜ g (2 ) ( x )⎟⎟⎝ g3u ( x ) ⎠ ⎜⎝ g3(1u) ( xk ) ⎟⎝ 3u k ⎠⎠(19)При этом g3(1u) (xk ) = p1(x )g 2(1u) (x ) , g3(2u) (xk ) = p2 (x )g 2(2u) (x ) .
Значения λ1(x ) и λ2 (x ) как иp1( x ) , p2 ( x ) известным образом выражаются через коэффициенты системы уравнеvний. В (19) вектор возмущений смеси gu (x ) представлен в виде суперпозиции “модвозмущений смеси”, соответствующих собственным векторам матрицы коэффициентов однородной системы уравнений на малом интервале ∆x с собственными значениями λ1(xk ) , λ2 (xk ) .
“Сшивание” локальных решений производится путем матричного преобразования, учитывающего перемешивание мод в неоднородном полеWs ( x ) . Детали расчета вынесены в Приложение 2.11Показано, что в нашем случае p1 (x ) > 0 и p2 (x ) < 0 - действительные функции.Таким образом, в первой моде с λ = λ1 осцилляции возмущений компонент происходят синфазно, а во второй моде с λ = λ2 - в противофазе.В п.3.2 приведены аналитические соотношения, описывающие пространственную структуру мод возмущений и их частоты и инкременты.
Показано, что впредельном случае слабого обмена (γ ik << Ws ) происходит “расщепление” решений:синфазная мода с p1 >> 1 описывает среду с преимущественным возмущением неактивной компоненты (g3u >> g 2u ) , а противофазная мода, для которой p2 → 0 - активной компоненты (g3u << g 2u ) .В типичном для CO2 : N 2 лазера случае быстрого обмена γ ik >> Ws (скоростьколебательного обмена значительно превосходит скорость индуцированных переходов) пролетные автоколебания связаны с возбуждением синфазной моды краевых возмущений. Обменные процессы в смеси не оказывают влияния на затуханиесинфазных ВКВ. В то же время они приводят к гашению противофазных колебаний, увеличивая их коэффициент затухания на величину γ Σ = γ 23 + γ 32 .
Комплекснаяамплитуда волны краевого возмущения активной компоненты на оси НРg 2u (1) = g 2(1u) (1) + g 2(2u) (1) , определяющая величину инкремента ПК, зависит как от коэффициентов затухания возмущений в среде, так и от начальных амплитуд g 2(1u) (0) ,g 2(2u) (0 ) синфазной и противофазной мод, которые определяются граничными усло-виями на входе потока в резонатор g 2 (0) = 0 , g3 (0) = 0 . Их величины удобно характеризовать коэффициентами, которые определяются граничными условиями на входепотока в резонатор g 2 (0) = 0 , g3 (0) = 0 .ρ10 = − g 2(1u) (0) / g 2e (0) , ρ 20 = − g 2(2u) (0) / g 2e (0) , (ρ1 + ρ 2 = 1) .(20)Полученное общее выражение для комплексного инкремента пролетных автоколебаний упрощается в случае быстрого обмена γ Σ >> Ws , γ Σ >> 1 ∆ , ( ∆ - характерный масштаб неоднородности системы). В этом случае можно пренебречь эф2фектами перемешивания мод, имеющими порядок ⎛⎜Ws γ ⎞⎟ .
Тогда получаем⎝Γ = ln)Σ⎠ξg 2e (0))+ ln ρ10 − γ − ξ 2 ∫ Ws ( x )dx + 3 [Ws (0) − Ws (1)]γΣg 2e (1)01(21)где γ = ξ 2γ 2 + ξ3γ 3 - эффективная константа релаксации смеси.Дальнейшее упрощение получим, пренебрегая малыми членами порядкаWsγ Σ . Выражение для действительного инкремента Γ записывается в виде:12⎛Γ = Γ∞ + ln⎜⎜ ξ 2⎝гдеΓ∞ = ln1 + Ω 2 γ Σ 2 ⎞⎟,ξ 2 2 + Ω 2 γ Σ 2 ⎟⎠1Gs (0 )Ws (0 ) )− γ − ξ 2 ∫ Ws dxWs (1)0(22)(23)- инкремент в предельном случае бесконечно быстрого обмена.
Как видно из (22),величина инкремента зависит от частоты моды. Для мод высокого порядка сΩ >> γ Σ достигается минимальное значение инкремента Γ = Γ∞ + ln ξ 2 . Выражение(23) согласуется с ранее известным соотношением, приведенным в главе 1. В этомпредельном случае двухкомпонентная среда оказывается подобной однокомпонентной и описывается одним уравнением с эффективными значениями величин)th, гдеq′ = ξ 2 (q2 + q3 ) , γ ′ = γ , Ws′ = ξ 2Ws . Неустойчивость возникает при γ 32 > γ 32th=Ωγ 32e − 2Γ ∞ − ξ 2 2.1 − e − 2Γ ∞(24)Отметим, что использованный подход, основанный на разложении краевоговозмущения среды по модам смеси, может быть обобщен на случай многокомпонентных сред с несколькими активными компонентами.В п.3.3 представлены результаты численного моделирования мод возмущений ПК и анализируются особенности механизма возбуждения пролетных колебаний в двухкомпонентных смесях.
На рисунке 4 показана пространственная структура мод возмущений ПК в двухкомпонентной смеси. Анализ кривых на рис.4 показывает, что за исключением узкой области вблизи x = 0 они соответствуют синфазной моде краевого возмущения. Сдвиг максимумов кривых на рис.4 обусловленразностью фаз колебаний ∆Φ = Φ 2e (x ) − Φ 3e (x ) .На рис.5 показано изменение начальных амплитуд и фаз мод краевых возмущений активной компоненты на входе потока в резонатор в зависимости от γ 32 .Видно, что при малых скоростях обмена доминирует противофазная мода.
Однакос увеличением скорости обмена ее амплитуда падает, и в области γ 32 > Ω основнойвклад в возмущение вносит синфазная мода. При γ 32 >> Ω амплитуда синфазной(1) близка к амплитуде g , а их фазы отличаются на π . Поэтому синфазнаямоды g 2u2eмода практически полностью обеспечивает выполнение входного граничного условия. Для данных рис.4 (γ 32 = 20) противофазная мода на входе в резонатор имеетпреимущество, однако она быстро затухает на длине ∆x ≈ 10−2 .13Рис.4. Амплитуды мод возмущений g 2 (1), g3(3) и квазиоднородное решение g 2e (2) для ПКпорядка m = 11 в смеси ξ 2 : ξ3 = 1 : 3 .
Условиярасчета: “согласованная” система, γ 2 = 0.2 ,γ 3 = 1 , γ 32 = 20 , Γ = 0.5 .γ 23Рис.5. Начальные амплитуды возмущений синфазного и противофазного типов для пролетной моды порядка m = 5 g 2(1u) (1) и g 2(2u) (3) исдвигифаз∆Φ 2 = Φ 2(1u) − Φ 2e(2),∆Φ 3 = Φ 2(2u) − Φ 2e (4) на входе в резонатор приразных скоростях обмена.14На рис.6 показаны рассчитанные зависимости инкрементовПК от скорости обмена для наборасмесей. Параметры системы выбирались таким образом, чтобы в отсутствие обмена имел место положительный инкремент ПК.
В области слабого обмена γ 32 << Ws , Ω ,когда обратный поток возмущенийJ 32 не играет заметной роли, действие прямого потока сводится кувеличению скорости релаксации.В этой области преимущественновозбуждается противофазная модакраевых возмущений, для инкрементакоторойрасчетдаетΓ = Γ0 − γ 23 , где Γ0 - инкремент вотсутствии обмена.
В средней областинеполногообменаWs < γ 32 ≤ Ω начинает влиять обратный поток возмущений и одновременно возрастает вклад медленнозатухающей синфазной моды. В результате этого уменьшение инкремента сменяется его ростом и достигается порог неустойчивости. Вобласти сильного обмена γ 32 >> Ωинкременты принимают предельные значения Γ∞ . Для “согласованных” смесей с одинаковыми Ws (x ) ,G2 s (x ) значения Γ ∞ в соответствиис (23) оказываются более высокимиу “бедных” смесей (ξ 2 < ξ3 ) .
В расчетах без согласования принималось γ 2 = γ 3 , поэтому для всех смесей величины Γ∞ одинаковы.Таким образом, как и в случае РК характерным для смесей является наличие достаточно широ-кой области скоростей обмена Ws < γ 32 < Ω , в которой передача возмущений от активной компоненты ко второй компоненте приводит к сильному затуханию ПК.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
