Модели теоретической физики с интегро-дифференцированием дробного порядка (1097744), страница 4
Текст из файла (страница 4)
Обсуждается применимость принципа стационарности действия для неголономных систем с долговременной памятью.В третьем параграфе третьей главы рассматриваются модели дискретныхсистем со степенной памятью, которые следуют из уравнений движения, содержащих производные дробного порядка по временим. Эффект памяти в дискретныхсистемах означает, что эволюция данного состояния зависит от всех прошлыхсостояний. Дискретные отображения со степенной памятью выводятся из дифференциальных уравнений с производными дробного порядка по времени без использования каких-либо аппроксимаций дробных производных. Рассматриваютсядробные дифференциальные уравнения, описывающие движение систем с памятью и периодическими толчками. Из этих уравнения получены соответствующиедискретные отображения с памятью, являющиеся обобщениями хорошо известных отображений таких, как стандартное и универсальное отображения, отображения Амосова, Заславского и Хенона.
Для получения дискретных отображенийс памятью из дробных дифференциальных уравнений используются два метода.В первом методе применяются вспомогательные переменные. Вторым методомдискретные отображения с памятью выводятся из дифференциальных уравненийс производными Капуто и Римана-Лиувилля с использованием эквивалентностизадачи Коши и нелинейных интегральных уравнений Вольтерра второго рода.Наличие памяти у дискретных систем приводит к тому, что эволюция данногосостояния зависит от всех предыдущих состояний.
При этом влияние этих состояний определяется степенными весовыми функциями Vα (z), Sα (z) и Wα (a, b, c).Полученные модели дискретных систем с памятью выводятся из соответствующих уравнений движения с интегро-дифференцированием дробного порядка безиспользования какие-либо аппроксимации производных дробного порядка.20В четвертой главе рассматриваются модели квантовых гамильтоновых и негамильтоновых систем, взаимодействующих со своим окружением и описываемыхдробными степенями инфинитезимальных производящих генераторов. Описываются динамические свойства экранированных квантовых систем. Используя вейлевское квантование и представление производных нецелого порядка в виде рядаи в виде интеграла Фурье, мы строим квантовые аналоги производных РиманаЛиувилля и производных Лиувилля.В первом параграфе четвертой главы рассматриваются модели гамильтоновых квантовых систем, взаимодействующих с окружением и описываемыхдробными степенями дифференцирований на операторной алгебре.
Для гамильтоновых систем уравнение Гейзенберга определяется некоторой формой дифференцирования на операторной алгебре. Инфинитезимальный генератор L = (i/~)[H, . ],используемый в уравнении Гейзенберга, является дифференцированием наблюдаемых, то есть линейным отображением L, которое удовлетворяет правилу Лейбница. Дробное дифференцирование на множестве квантовых наблюдаемых рассматривается как дробная степень дифференцирования L = (i/~)[H, . ], что позволяетобобщить понятие гамильтоновой квантовой системы. В этом случае операторное уравнение для квантовой наблюдаемой будет (дробно-дифференциальным)обобщением уравнения Гейзенберга. Предлагаемое обобщенное уравнение Гейзенберга точно решается для гармонического осциллятора.
Решения задачи Кошидля дробно-дифференциального уравнения Гейзенберга представляются через су(α)пероператоры Φt , t > 0, которые образуют однопараметрическую полугруппу.В силу этого эволюция наблюдаемых дробно-дифференциальных квантовых систем является марковской. Дифференцирование нецелого порядка рассматривается как один из способов описания взаимодействия между квантовой системой иокружающей средой.
Эта интерпретация обусловлена тем, что формула БохнераФиллипса представляет собой некоторое сглаживание (усреднение) гамильтоно-21вой эволюции Φt по времени t > 0. Это сглаживание интерпретируется как влияние окружающей среды на квантовую систему. Показатель степени инфинитезимального генератора характеризует меру интенсивности взаимодействия междусистемой и окружением.Во втором параграфе четвертой главы рассматриваются модели открытых и негамильтоновых квантовых систем, взаимодействующих с экранированным окружением с использованием дробных степеней вполне-диссипативных супероператоров. Доказывается, что предлагаемые супероператоры являются инфинитезимальными генераторами вполне положительных полугрупп.
Описываютсяосновные свойства квантовой дробно-динамической полугруппы. Нецелая степеньквантового марковского производящего супероператора рассматривается как параметр для описания меры экранирования окружающей среды. Квантовые марковские уравнения с вполне диссипативными супероператорами являются наиболее общим видом марковских уравнений, описывающих неунитарную эволюциюоператора плотности, сохраняющую след и являющуюся вполне положительнойпри любых начальных условиях. Показатель нецелой степени инфинитезимального генератора рассматривается как параметр, описывающий меру экранированияокружения системы, то есть окружающей ее среды.
Используя представление взаимодействия для квантового марковского уравнения, мы рассматриваем дробнуюстепень негамильтоновой части инфинитезимального генератора с показателем α.В пределе α → 0 получается уравнение Гейзенберга для гамильтоновых систем. Вслучае α = 1 получается обычное квантовое марковское уравнение. Выделяютсяследующие случаи: (а) отсутствие влияния окружающей среды (α = 0); (б) полное влияние окружающей среды (α = 1); (в) степенное экранирование влиянияокружающей среды (0 < α < 1).В отличие от гамильтоновых квантовых систем инфинитезимальные генераторы открытых и негамильтоновых систем не является дифференцированиями22на алгебре квантовых наблюдаемых.
Для широкого класса квантовых негамильтоновых систем инфинитезимальный генератор L является вполне диссипативным. Рассматривается обобщение квантового производящего уравнения для негамильтоновых систем на случай дробной степени производящего супероператораи на случай системы со степенной долговременной памятью. Формула БохнераФиллипса позволяет выразить дробно-динамическое описание в терминах обычной динамики. Предложенные квантовые марковские уравнения с дробными степенями супероператоров уравнения решены для линейного гармонического осциллятора, являющегося открытой системой.В третьем параграфе четвертой главы рассматриваются методы вейлевского квантования для интегро-дифференцирования Римана-Лиувилля и Лиувилля.
Для нахождения квантового аналога производных Римана-Лиувилля используется представление этих производных на множестве аналитических функций.В этом представлении производная Римана-Лиувилля является степенным рядом с производными целого порядка, что позволяет использовать соответствиемежду производными целого порядка и самосопряженными коммутаторами. Дляопределения квантового аналога производной Лиувилля, которая определена навсей действительной оси, используется представление вейлевского квантованиячерез Фурье-преобразование.
Предлагаемые квантование производных РиманаЛиувилля позволяют сформулировать квантовые аналоги дробных гамильтоновых систем.В приложении приводятся основные сведения об интегрировании дробногопорядка.В заключении формулируются основные результаты, полученные в диссертации. Они сводятся к следующим:231. Построены принципиально новые модели описания динамики фрактальныхсред и распределений, в которых они представляются специальными сплошными средами, при этом их характеристики и динамические законы описываются интегральными уравнениями дробного порядка. Порядок интегрирования определяется нецелыми (массовой, зарядовой, частичной и др.) размерностями среды и распределения.
Описаны способы расчета масс, зарядов,потоков, полей, мультипольных моментов, моментов инерции, энергий, импульсов и других характеристик фрактальных сред и распределений.2. Впервые построены теоретические модели дискретных систем, таких как линейные цепочки и кристаллические решетки, с нелокальными взаимодействиями степенного типа, приводящие в непрерывном пределе к моделям нелокальных сплошных сред, описываемых уравнениями с интегро-дифференцированиями нецелого порядка по координатам. Показано, что степенная нелокальность в непрерывных средах связана с межчастичным взаимодействиемдробно-степенного типа.3. Впервые взаимно согласовано определены дифференциальные и интегральные векторные операции дробного порядка, на их основе сформулированыи доказаны интегральные теоремы, построены новые модели статистическоймеханики и электродинамики со степенными нелокальностями.
Впервые построены модели градиентных и гамильтоновых систем дробного порядка, позволяющие сводить изучение широкого класса неградиентных и негамильтоновых систем к исследованию свойств обобщенных потенциалов и гамильтонианов.4. Предложен принципиально новый подход к описанию электромагнитных полей в диэлектрических средах, подчиняющихся законам универсального отклика. В основе этого подхода лежат интегро-дифференциальные уравнения,дробный порядок которых явно выражается через экспериментально измери24мые показатели степенной зависимости универсального отклика.5.
Впервые построены модели неголономных систем со степенной памятью, использующие интегро-дифференцирования Римана-Лиувилля и Капуто дробного порядка. Показано, что эффекты памяти могут возникать вследствиеналожения на систему неголономных связей.6. Впервые построены без каких-либо аппроксимаций модели дискретных систем (отображений) с памятью, эквивалентные моделям физических системс периодическими толчками и со степенной памятью, описываемой интегродифференцированием дробного порядка.7. Впервые построены модели квантовых гамильтоновых и негамильтоновыхсистем со степенным экранированием окружения и описаны динамическиесвойства таких систем. Впервые реализовано вейлевское квантование интегродифференцирования Римана-Лиувилля и Лиувилля дробного порядка, позволяющее описывать квантовые аналоги классических систем со степенныминелокальностями.25Список опубликованных работОсновные результаты диссертации опубликованы в следующих работах:1.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
