Модели теоретической физики с интегро-дифференцированием дробного порядка (1097744), страница 2
Текст из файла (страница 2)
Эти уравнения позволяют в широком диапазоне частот точно описывать свойства материалов с низкимипотерями на излучение, которые имеют важное значение для стелс-технологий.Дискретные отображения с памятью, полученные из уравнений движения спроизводными дробных порядков, могут быть использованы в компьютерном моделировании физических систем с долговременной степенной памятью, что позволяет исследовать новые типы регулярных и странных аттракторов.Полученные в диссертации модели описания физических систем со степенной пространственной нелокальностью, со степенной долговременной памятью, ифрактальными свойствами во многом расширяют существующие представления одинамических свойствах этих систем и могут стать важной частью учебных курсов по теоретической физике.Личный вклад автора.
Две монографии на английском языке, одна переведена на русский язык, и 41 статья, опубликованная по теме диссертации в ре-8цензируемых российских и зарубежных журналах, являются единоличными публикациями автора диссертации. В 14 статьях, выполненных с соавторами и опубликованных в рецензируемых зарубежных журналах, вклад автора диссертацииявляется определяющим, как на этапах постановки задач, так и на этапах проведения аналитических расчетов, а также интерпретации полученных результатов.Апробация работы. Материалы диссертации докладывались и обсуждалисьна научных семинарах НИИ ядерной физики МГУ, физического факультета и института математических наук им. Куранта Нью-Йоркского университета (США),физического факультета университета Барселоны (Испания), математическогофакультета Сингапурского университета (Сингапур), а также на международныхконференциях: XIX-ая Международная конференция по физике высоких энергийи квантовой теории поля (2010, Москва); Международная конференция "Динамический хаос и неравновесная статистическая механика: От точных результатов к применениям в нано-системах"(2006, Сингапур); Международная конференция по хаотическим явлениям переноса и сложности в жидкостях и плазме(2004, Карри ле Роует, Франция); XVII-ая Международная конференция по физике высоких энергий и квантовой теории поля (2003, Самара-Саратов); Первыймеждународный симпозиум по квантовой информатике (2002, Липки, Московская область); XVI-ая Международная конференция по физике высоких энергийи квантовой теории поля (2001, Москва); XV-ая Международная конференция пофизике высоких энергий и квантовой теории поля (2000, Тверь); XIV-ая Международная конференция по физике высоких энергий и квантовой теории поля(1999, Москва); 37 Международная университетская конференция по физике ядра и частиц (1998, Шладминг, Австрия); XII-ая Международная конференция пофизике высоких энергий и квантовой теории поля (1997, Самара); XI-ая Международная конференция по физике высоких энергий и квантовой теории поля (1996,9Санкт-Петербург); Международная конференция по квантовой диссипации и ееприменениям (1996, Триест, Италия).Исследования, результаты которых вошли в настоящую диссертацию, былиподдержаны Московским государственным университетом имени М.В.
Ломоносова: грант 2006 года за цикл статей "Физика фрактальных сред и процессов" игрант 2009 года за монографию "Квантовая механика негамильтоновых и диссипативных систем"; Российским фондом фундаментальных исследований в 20022003 годах: грант No. 02-02-16444-а "Исследования теорий с дополнительнымиизмерениями и нетривиальной структурой пространства-времени"; в 2000-2001 годах - грант No. 00-02-17679-а "Изучение физических эффектов в моделях с дополнительными измерениями и нетривиальной структурой пространства-времени";Министерством энергетики США (U.S. Department of Energy): грант No. DEFG02-92ER54184; Офисом Военно-морских Исследований США (US Office of NavalResearch): грант No.
N00014-02-1-0056; Национальным научным фондом США(U.S. National Science Foundation): грант No. DMS-0417800.Публикации. Основные результаты диссертации изложены в 3 монографиях и в 55 статьях, опубликованных в рецензируемых российских и зарубежныхжурналах. Из них 53 статьи опубликованы в журналах, включённых в системуцитирования Web of Science: Science Citation Index Expanded. Список статей и монографий приведен в конце автореферата.Структура и объем диссертации. Диссертация состоит из введения, четырех глав, заключения, приложений и списка литературы.
Она содержит 298страниц машинописного текста, в том числе основной текст 255 страниц. Приведенная библиография содержит 330 наименований.10СОЖЕРЖАНИЕ РАБОТЫВо введении дан краткий обзор различных подходов к проблеме описанияфизических систем, обладающих свойствами степенной нелокальности, фрактальности и степенной памятью, использующих методы интегро-дифференцированиядробного порядка.
Формулируются тема и основные цели диссертации, обосновывается их актуальность, схематично излагается содержание каждой главы.В первой главе рассматриваются основные понятиядробно-интегральныхмоделей фрактальных распределений и сред. Интегрирование нецелого порядкаиспользуется для описания фрактальных распределений массы, заряда, полей,частиц и вероятности. В первой главе рассмотрены дробно-интегральные моделифрактальных сред и распределений в гидродинамике, в механике абсолютно твердого тела, в теории случайных процессов, в электродинамике, в статистическоймеханике. Выводятся уравнения движения и описываются свойства фрактальныхсред и распределений.В первом параграфе первой главы рассматриваются основные понятиядробно-интегральных моделей фрактальных сред.
У реальных сред и физическихсистем фрактальная структура не может наблюдаться на всех масштабах. Средыи системы обладают наименьшим характеристическим размером таким, как радиус частицы (например, атома или молекулы). Фрактальная структура обычносуществует при тех масштабах R, для которых R > R0 , где R0 - характерныйразмер частицы среды. В силу этого используется физический аналог размерности Хаусдорфа, для которого не требуется предельного перехода к бесконечномалым диаметрам покрывающих множеств.
В качестве такой размерности используются массовая размерность, зарядовая размерность и размерность числачастиц. Под фрактальными средами в диссертации подразумеваются среды, распределенные в пространстве Rn , где n = 1, 2, 3, массовая размерность D которых11меньше размерности пространства n. Размерность D фрактальных сред можетбыть эмпирически получена методом поклеточного счета (box-counting method).Интегрирование нецелого порядка используется для описания фрактальных распределений массы, заряда, частиц и вероятности. Порядок интегрирования равенсоответствующей (массовой, зарядовой, частичной) размерности фрактальногораспределения или среды.
Для описания фрактальных сред и распределений спомощью дробно-интегральных моделей используются два основных понятия такие, как плотность состояний cn (D, r) и функция распределения ρ(r, t). Функцияcn (D, r), являющаяся плотностью состояний, описывает то, как плотно упакованыразрешенные состояний в пространстве Rn . При этом свойства симметрии функции плотности состояний cn (D, r) должны определяться свойствами симметриифрактальной среды, то есть симметрией распределения разрешенных состоянийв ней. Функция ρ(r, t), являющаяся функцией плотности распределения, описывает распределение физических величин (например, таких как масса, электрический заряд, вероятность, число частиц) на множестве разрешенных состояний вRn в момент времени t.
Приводятся модели фрактальных распределений частици разрешенных состояний. Обсуждаются методы описания массы, заряда, числачастиц и вероятности для фрактальных сред и распределений.Во втором параграфе первой главы рассматривается гидродинамика фрактальных сред, описываемых в рамках дробно-интегральной модели. В дробноинтегральной модели характеристики фрактальных сред определены везде внутри области, при этом они подчиняются дробно-интегральным уравнениям, порядок которых равен массовой размерности среды, то есть предлагается рассматривать фрактальные среды как особый тип сплошных сред, описываемых с помощьюспециальных (дробно-интегральных) моделей.
В общем случае фрактальные среды не могут рассматриваться как сплошные среды, поскольку существуют точкии области во фрактальной среде, которые не заполнены частицами среды. Реаль-12ные фрактальные среды с нецелой массовой размерностью описываются не какфрактальные множества, а как особые сплошные среды, для описания которыхприменяется интегрирования дробного порядка, равного массовой размерностифрактальной среды.
Интегралы дробного порядка применяются для полученияобобщений уравнений законов сохранения на фрактальные среды. Выводятся интегральные уравнения дробного порядка, описывающие законы сохранения массы, импульса и внутренней энергии во фрактальных средах. Используя дробноинтегральную модель, получаем соответствующие дифференциальные уравненияс производными целого порядка для описания законов сохранения массы, импульса и внутренней энергии в дифференциальной форме для фрактальных сред.Рассматриваются обобщения уравнений Навье-Стокса и уравнений Эйлера дляфрактальных сред.
Предлагаются уравнения равновесия для фрактальных среди обобщения интеграла Бернулли. Рассматриваются звуковые волны во фрактальных средах с использованием дробно-интегральной модели.В третьем параграфе первой главы рассматривается динамика фрактальных неупругих твердых тел. В рамках дробно-интегральной модели предлагаются интегральные уравнения дробного порядка для вычисления моментов инерции фрактальных твердых тел. Рассматриваются примеры вычислений моментовинерции для фрактальных твердых тел в форме шара и цилиндра. Доказывается,что уравнения движения фрактальных твердых тел имеют тот же вид, что и уравнения для нефрактальных твердых тел. При этом моменты инерции фрактальныхтел отличаются от моментов инерции обычных твердых тел той же формы и массы. В качестве примеров движения фрактальных твердых тел рассматриваютсядинамика маятника Максвелла с фрактальным твердым телом и задача о скатывании по наклонной плоскости недеформируемого шарообразного фрактальноготвердого тела.
Полученные уравнения позволяют экспериментального определятьмассовые размерности фрактальных твердых тел путем измерения периодов ко-13лебаний и скоростей движения этих тел.В четвертом параграфе первой главы рассматривается электродинамикафрактальных распределений зарядов и полей. В общем случае распределения заряженных частиц могут быть фрактальными с нецелой зарядовой или частичнойразмерностью. Для описания электрических и магнитных полей фрактальныхраспределений частиц применяются дробно-интегральные модели, в которых используются непрерывные распределения электрического заряда, описываемые интегральными уравнениями дробного порядка.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
