Модели теоретической физики с интегро-дифференцированием дробного порядка (1097744), страница 3
Текст из файла (страница 3)
Предлагается дробно-интегральнаямодель для описания электрических и магнитных полей, создаваемых фрактальными распределениями. Приводятся формулы полного электрического заряда исилы тока фрактальных распределений зарядов. В рамках дробно-интегральноймодели формулируются теоремы Гаусса и Стокса для фрактальных распределений. Рассматриваются простые примеры полей, создаваемых гомогенными фрактальными распределениями. Законы Кулона и Гаусса, Био-Савара и Ампера формулируются для фрактальных распределений в рамках дробно-интегральной модели. Предлагаются методы вычислений электрического дипольного и квадрупольного моментов фрактальных распределений зарядов.
Обсуждаются уравнения магнитогидродинамики фрактальных распределений заряженных частиц.В рамках дробно-интегральной модели фрактального распределения полученыинтегральные уравнения Максвелла дробного порядка. Показано, что фрактальное распределение может быть представлено как некоторая эффективная среда.Уравнения для электромагнитных полей фрактальных распределений интерпретируются как эффекты поляризации и намагниченности, создаваемые фрактальным распределением. Более того, и само электромагнитное поле также изменяетсяфрактальным распределением. Из обобщенных уравнений Максвелла виден эффект изменения фрактальным распределением свободных электрических зарядови плотности тока. Это изменение существует в дополнение к эффекту появления14поляризации и токов намагниченности.
Эффективная электрическая проницаемость ε и эффективная магнитная проницаемость µ фрактального распределенияопределяются плотностью состояний и зарядовой размерностью распределения.Уравнения для электромагнитного поля в этом случае могут рассматриваться какуравнения с некоторым эффективным магнитным монополем.В пятом параграфе первой главы предлагается обобщение принципа стационарности действия для фрактальных сред. В качестве примера выводятсяуравнения Гинзбурга-Ландау для фрактальных сред с использованием соответствующего обобщения функционала свободной энергии и вариационного уравнения Эйлера-Лагранжа.В шестом параграфе первой главы рассматриваются уравнения ЧепменаКолмогорова и Фоккера-Планка для фрактальных сред. Предлагается обобщение уравнения Чепмена-Колмогорова на случай фрактальных распределений вероятности, описываемых в рамках дробно-интегральной модели. Под фрактальным распределением вероятности подразумевается такое распределение вероятности во фрактальной среде, при котором вероятность найти частицу вне этойсреды равна нулю.
Предложенное уравнение Чепмена-Колмогорова представляет собой интегральное уравнение дробного порядка по координатам. УравнениеЧепмена-Колмогорова дробного порядка призвано описывать марковские процессы во фрактальных средах в рамках дробно-интегральной модели.
Из дробноинтегрального уравнения Чепмена-Колмогорова выводится обобщенное уравнение Фоккера-Планка, описывающее динамику фрактальных распределений в рамках дробно-интегральных моделей.В седьмом параграфе первой главы рассматривается статистическая механика фрактальные распределения в фазовом пространстве.
Для описания такихраспределений применяется дробно-интегральная модель, в которой используются интегральные уравнения дробного порядка для средних значений и нормиро-15вочных условий. Ядрами дробно-интегральных уравнений по координатам являются плотности состояний в фазовом пространстве. При получении обобщенийуравнений Лиувилля и Боголюбова для фрактальных распределений разрешенных состояний в фазовом пространстве используются дробно-интегральные нормировочные условия и выражения для средних значений классических наблюдаемых. В этих обобщениях используются интегралы дробного порядка, позволяющие учитывать степенную плотность состояний.
Порядок дробного интегрирования равен фрактальной размерности числа состояний.Во второй главе рассматриваются модели физических систем и сред с нелокальными свойствами и с нелокальными взаимодействиями степенного типа, дляописания которых применяются методы интегро-дифференцирования дробногопорядка по координатам.В первом параграфе второй главы рассматриваются модели цепочек и решеток с нелокальным взаимодействием, а также их непрерывные пределы. Определяется отображение моделей дискретных систем в модели специальных сплошных сред, описываемых интегро-дифференциальными уравнениями дробного порядка. Описывается широкий класс нелокальных взаимодействий в решетках ицепочках, которые в непрерывном пределе приводят к дифференциальным уравнениям с производными дробного порядка. Показано, что существует взаимосвязьмежду уравнениями движения систем с нелокальным взаимодействием частиц иуравнениями дробного порядка для сплошных сред.
Рассматривая решетку связанных нелинейных осцилляторов, и переходя к непрерывному пределу, мы выводим дробные дифференциальные уравнения, описывающие динамику сложныхсплошных сред. Уравнения движения для цепочки с нелокальным взаимодействием отображаются в уравнения с дробными производными Рисса. Нелинейныенелокальные взаимодействия для дискретных систем используются для получе-16ния обобщений уравнений Бюргерса, Кортевега-де Фриза и Буссинеска, содержащих производные дробного порядка.
Описывается нелокальное взаимодействиетипа Грюнвальда-Летникова-Рисса и соответствующие ему уравнения среды, являющиеся интегро-дифференциальными уравнениями дробного порядка.Во втором параграфе второй главы рассматриваются взаимно согласованные определения дифференциальных и интегральных векторных операций с интегродифференцированием дробного порядка. На основе предложенных определенийдифференциальных и интегральных векторных операций нецелого порядка формулируются и доказываются обобщения теорем Грина, Стокса, Гаусса.
Методывекторного интегро-дифференцирования дробного порядка развиваются для исследования моделей физических систем в электродинамике, аналитической механике, статистической физике. Развиваются также методы дробного внешнегоисчисления дифференциальных форм, дается взаимно согласованое построениедифференциальные и интегральные операций дробного порядка для обобщениядифференциальных форм с использованием производные Капуто и интегралыРимана-Лиувилля дробного порядка. Определяются векторные операции нецелого порядка через дробные дифференциальные формы, операцию звезда Ходжа ивнешнюю производную дробного порядка.Во третьем параграфе второй главы используются взаимосогласованныеопределения дифференциальных и интегральных векторных операций с интегродифференцированием дробного порядка для описания электромагнитных полей.В рамках нелокальной электродинамики рассматриваются дифференциальныеуравнения Максвелла с производными дробного порядка с использованием дробного векторного анализв и дифференциальных форм нецелого порядка.В четвертом параграфе второй главы предлагаются обобщения некоторых основных уравнений статистической механики, в которых используются интегродифференцирования дробного порядка.
Для получения этих уравнений использу-17ется закон сохранения вероятности в дробно-дифференциальном элементе объемафазового пространства. Из законов сохранения вероятности получаем уравненияЛиувилля с дробными производными по координатам и импульсам. Дробное уравнение Лиувилля используется для получения дробных уравнений Боголюбова икинетических уравнений с дробными производными. Рассматриваются уравнения статистической механики для дробных гамильтоновых систем. УравненияЛиувилля и Боголюбова с дробными производными по координатам и импульсам рассматриваются как базис для получения обобщенных кинетических уравнений. Получены уравнение Власова с производными нецелого порядка.
УравненияФоккера-Планка с дробными производными в фазовом пространстве получаютсяиз уравнения Боголюбова с производными дробного порядка.В пятом параграфе второй главы предлагаются обобщения понятий градиентной и гамильтоновой систем с использованием дифференциальных форм ивнешних производных дробных порядков. В общем случае дробные гамильтоновы(градиентные) системы являются негамильтоновы (неградиентными) системами.Предлагаемый класс дробных градиентных и гамильтоновых систем значительношире, чем класс обычных градиентных и гамильтоновых динамических систем.Обычные гамильтоновы и градиентные системы фактически являются частнымислучаями дробных гамильтоновых и градиентных систем. Дробные градиентныесистемы используются для рассмотрения нового типа бифуркаций для широкогокласса неградиентных систем.В третьей главе рассматриваются модели физических систем и сред с эредитарными свойствами и с долговременной памятью степенного типа с использованием методов интегро-дифференцирования дробного порядка по времени.В первом параграфе третьей главы показывается, что электромагнитныеполя и волны для широкого класса диэлектрических сред должны описываться18дифференциальными уравнениями с производными нецелого порядка по времени.Порядок этих производных равен 2 − α и 2 + β, где параметры 0 < α = 1 − n < 1и 0 < β = m < 1 определяются показателями n и m, фигурирующими в экспериментально измеримых частотных зависимостях диэлектрической восприимчивости, называемых законами универсального отклика.
Получены уравнения, описывающие обобщения закона Кюри - фон Швейдлера и закон Гаусса для диэлектрических материалов с универсальным откликом. Получены дробные интегродифференциальные уравнения для электромагнитных волн в диэлектрическихсредах. Эти уравнения являются общими для широкого класса сред независимоот их физической структуры, химического состава и природы поляризации, будьто дипольная, электронная или ионная.Во втором параграфе третьей главы рассматриваются неинтегрируемые(неголономные) связи с долговременной степенной памятью, описываемой интегродифференцированием дробного порядка по времени. Производные нецелого порядка позволяют описывать неголономные связи со степенной памятью с использованием методов дробного математического анализа.Для системы, описываемых лагранжианом L = T − U , непотенциальными силами Qk , и неинтегрируемыми связями fs = 0, s = 1, ..., m, рассматриваютсяследующие два частных случая неголономной динамики систем с памятью:а) Динамические системы с памятью, на которые наложены неголономные связибез памяти:L = L(q, a Dtα q, t Dbα q),fs (q, Dt1 q, t) = 0,s = 1, ..., r < n.б) Динамические системы, на которые наложены неголономные связи с памятью:L = L(q, Dt1 q),Здесьαa Dtfs (q, a Dtα q, t Dbα q, t) = 0,s = 1, ..., r < n.обозначает производную дробного порядка α по времени t.Используя принцип Даламбера-Лагранжа, мы выводим дробные дифференциальные уравнения из лагранжиана и гамильтониана, которые содержат только19производные целого порядка, при условии наложения на систему неголономныхсвязей со степенной памятью.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
