Классификация локально минимальных плоских сетей с выпуклыми границами (1097579), страница 2
Текст из файла (страница 2)
Опреде,плм теперь обобщения кратчайших кривых следующим образом. Сеть Г с границей ЛХ называется абсолютно э>пни>>аленой, если длина сетзз Г наименыззая среди длин всех сетей, затягивающих ЛХ. Иными словами, вместо пространства Й(А, В) всех измеримых кривых, соединяющих А и В, мы рассматриваем пространство 11!ЛХ) всех измеримых сетей, затягивающих конечное подмножество ЛХ романова многообразия И', и из всех таких сетей выбираем сеть наименьшей длины (ес.ли, опять же, таковая существует). Итак, абголютпо минимальные ггтп можно рассматривать как разветвленные кратчайпзие геодезн зесьне. Накопсзь обобщим попятив произвольной ~пе обязательно, кратчайшей) геодезической. Для этого, воспользуемся свойством локальной минимальности последней.
Л именно, измеримая сеть Г в римановом ьзногообразззи И', затягивакнпая множес пю ЛХ = дГ, называется локально жизшжа,зьной, если для любой точки Р Е Г с:уществует такаяз замкнутая окреогность ХХ, что пересечение Г 0 ХХ является абсолютно минимальной сетью с естественной границей д!! Гз 1Х) = (!' й дВ) 0 (дГ Гз Хг~). Сравнивая это определение со свойством локальной минимальности геодезических, заключаем, что локсвн.во минимальные сетя можно рассматривать как ржпзетвлезшые геоде- эичсские. Отметим, что абсолютно минимальные сети являются с очевидностью лакаю но минимальными.
Однако, как и в случае кривых, локально минимальных сетей супзесгвешно болыпе. ."1окальное устрой< тво локально минимальных сетей описывает< я легко. ЛХы приведем общий результат, см. ~53], хотя в да.льнсйшем мы будем работать липп г плоским случаем И' = 2-', поэтому в следующей главе дадим Постановка задачи доказательство формулируемого ниже предложения только для этого слу- чая.
Предложение 1 1).Лгткальная структура) Сеть Г в ртнонооо,и,многообразии 11', затпягивающая коне шог мнозкество М точек из И', являстттся локально мииилтальной, если и только тели имеют мссп)о следующие свойстпва: ° все ребра гст,п Г ггодсзичгскиг: ° угол между любылпи двумя ребрами, вь)ходящими из одной осуишньт) ие „пгиьтие 120': в тагтиости, степень колодой вершины сети 1 не преоослодитп 3; ° всг) вгрптины стпгпгнт) 1 являюптся е7)ани')иыни) т.г.,тгзюатп в М; ° гели всртиииа стспгни 2 и) граничная, то угол .иезиду вьмодятиими из нее ребуа.яи уаосн 180'. Сеть, степени вершин которой не превосходят 3, называютгя сстялш Шгттсйнсра. Таким абра.эом, ка кдая локально минимальная сеть является остью Штейнсра. Замечание.
Легко ви„летти что из любой сети, нг меняя ег как подмножество многообразия И', можно получить другую сеть, выбрав па сг ребрах произвольные внутренние то"тки и добавив их к множеству неграничных вершин (тт1эи этом надо сделать очевидную перестройку ребер). По щ>едыдушсму предложению, при такой перестройке локально минимальная сеть Г остается локально минимальной. Обратно, выбрасывая из ьтножсства вершин локально минимальной сети Г неграничные вершины степени 2 и "укрупняя" пртл этом ребра, склеит)ни каждую пару ребер из Г, инцидснтных такой вершине, в одно ребро, получим, очевидно, новую сеть, совпадающую, как подмножество И', с Г.
Опять, если сеть Г локально минимальна, то 1эсзультат описанной только что перестронки также локально минимальная сеть. Вьппссказапное приводит к следующему соглашеникэ: в дальнейшем, не ограничивая обшнотлги, будем ьсегда считать, что рассмотт)7)иьасньтс сгти ие и.нгюпт негрино )т)ьтя верптин степени 2. Таким образом, можно считатт,) что все вершины степени 1 и 2 локально минимальной сети Г принадлежат ес границе. В отличие от локальной структуры, глоб;шьное устройство локально минимальных сетей достаточно стюжно. Извт с )но 17)3), ч т)т для як)бого конечного подмножества М полного риманова многообразия И' существует абсолютно минимальная и, значит, локально минимальная есть, затягивающая М, т.е.
имеет место теорема существования. Тем не менее) теоремы Исторический обзор Рис. 1: Две абсолкэтно минимальных ости, затягивающих вершины ква- драта единственности, вообще говоря, нет. Стандартный пример лля множества ЛХ С 'к~, являющегося всрпшнами квадрата, существует две абсолютно минимальных сети, см. рис. 1. И хотя в случае !Р = Р.з существуют алгоритмы еислзака [3!] и Хвапга [24], позволяющие для каждоэ о заданного множества М строить все локально минимальные деревья, затягивающие э11, а, значит. и абсолютно минимальную сеть [являющуюся, очевидно, деревом), однако построение абсо.потно минимальной сети с заданной границей М (не говоря уже об описании всех локюэьпо миээпмальнгях се гей,.'эаэигээээаюэээээх ЛХ] ого эх'Р-ээолпая зада эа, см.
[20] и [21]. 1!ричина этого чрезвычайно большое количество топологий плоских сетей Штсйнера. Поэтому возникает следующая проблема: как по свойствам граничного множества ЛУ можно повять, какие сети ЕПтсйнсра а 1ээлог! нс могут встречаться среди локально минимальных сетей, затягивающих Лй. Цель настоящей дпсссртапин исследовать взаимосвязь между свойствами граничных мно'ксгтв и затягивающих их локально минимальных сетей на примере локально минимальшях сетей па плоскости, границы которых множества вершин выпуклых мноэ оугольников. В дальнейшем мы будем заниматься только сетя ли на стандартной евклидовой плоскости д", поэтому, не оэ оварпвая каждый раз специально, мы будем понимать под сетью плоский связный граф, ребра которого измеримые кривые.
1 Исторический обзор Хотя проблема! Птейнера имеет долэ уэо историю, а первые ее постановки и варианты р~ щения возникли задо:и о до 11!тсйнера в работах таких ученых, как П. э1эерма, д. Торричелли, Б. Кавальсри, 'Х. Симпсон и, возмолсно, многих других, наибольшукэ известность она приобрела лишь после выхода в свет замечательной книги Ричарда Курапта и Герберта Е. 1'оббипса "Чэпо Исторический обзор зг(' ~:--..
'.г'1) '; "; з.'у',— ---.. Рис. 2: Точка Торричелли такое лчотсгиотпкоГ. В этой книге, вскоре ставшей чрсзнычайпо популярной, эта задача была названа именем 1Птейпера. Чтобы проследить лгсто!зию возникновения и развития проблемы Штсйнсра, обратимся к [42) и г(3(!]. Впервые этз проблема, в наиболее простой своей ъгодифглкацигл, появилась, по-видимоъгуд у г1эс1эага Лг1601 — 1665). Задача 1 (Фллрма) Нойлги на нзоскоспш точку, срлкна россгнолгшй от которой до трах данныгг точек наогиг.влагал из ггозлголсных. Еще до 1640 года Торричелли предложил гсомстри лесков решение задачи Ферма. Построим на сторонах произвольного треугольника ЛВС вне его три правильных треугольника и опишем вокруг них окружпостгл. '!огда, как утверждал '1'орричелли, построенные трн окружности пересекутся в одной точке, причем эта точка и является искомой в задаче Ферма.
'!очку пересечения этих трех окружностей называгот то той Горрггчегг,.гц см. рис. 2. Отметим, однако, забегая немного вперед, что точка '1орричслли является решением задачи Ферма только в случае, когда все углы треугольналка у!РС нс превосходят 120'.
В случае, когда один из углов, скажем Л, больше 120', точка Торричел:вг лежит вне треугольника ЛРС и больше не минимизирует суммарное расс совпис до вершин Л, Р и С. Па сей раг, оказывается, решение задачи Ферма это вершина А. Этот факт был обнаружен лглшь в 1834 голу Хейлленоэг, и, позднее, в 18о3 году Вертраном. В 1647 году выходит книга Каваггьсри кЕхссгсг!с!гоггел СеотеЬ гсое", в которой отмечается важное свойстгло то галл Торричелли, если последняя лежит внутри треугольника ЛРС. Оказывается, вес углы между отрезками, соединяющими точку Торричелли с вершинами треугольника ЛВ6, равны между собой и равны 120', см.
рис. 3. Этот замечательный факт будет сщс не раз появляться во многих обобщениях рассматриваемой проблемы. Приблизительно через сто лет, в !750 году, в свет выходит книга Симпсона г Рос!гте апй Арр!гси!гогг о) Г!ис!гоггз". В ней Симпсон предлогкил другой способ построения точки Торричелли. й именно, вновь построим Исторический обзор Рис.
3: Свойство 120' 1'ис. 4:,'1шпли Симпсона пересекаклс я в точке Торричелли на сторонах треугольника АВС вне его правильные треугольники. Теперь, вместо того, чтобы описывать вокруг построенных треугольников окружности, рассмотрим произвольную сторону л треугольника АВС, верпплну И из ЛВС, противоположную стороне и, вершину " из правильного треугольника, построенного на стороне и, лежащую напротив и, и соединим точки У и И. Так поступим для каждой стороны треугольника ЛВС.
В результате мы получим три отрезка, называемые теперь ливонии Сттсоис. Оказывается, как доказал Симпсон, зти три отрезка или их продо:ьксния пересекаются в одной точке, которая, в действительности, совпадает с точкой '1орричелли, рис. 4. Еще через 80 лет, в 1834 году, Хейнса обнаружил, что длины всех трех линий Симпсона раипн между собои и равны сумме расстояний от точки Торричелли до вершин треугольника. Таким образом, собирав воедино все сказанное вылив, и замечая, что в 'пограничном" случае, когда один из углов треугольника АВС, скажем А, равен 120'.искомая точка точка Торричелли совпадает с вершиной А, мы получаем следующее решение задачи Ферма.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
