Интерференционные явления в слоистых структурах и их применение в задачах приема сигналов и диагностики неоднородных сред (1097557), страница 12
Текст из файла (страница 12)
Параметры импульса в (6) выражены через величину T/qτ =1/N, где N –число колебаний(периодов), укладывающихся в длительности фронта qτ. Очевидно, что эта величинапропорциональна скорости изменения амплитуды падающего импульса или крутизне егофронта. Из (6) видно также, что амплитуда импульса увеличивается с ростом величиныконтрасности χ обрамляющих плёнку сред. Этот вывод справедлив для импульсов спроизвольной формой огибающей.Для трапециедального импульса с экспоненциальным нарастанием фронта A(t)=exp(-t/qτ) выражение для U(t), если воспользоваться в (4) первой производной, отличается от (6)наличием множителя exp(-t/qτ ). В этом случае огибающая отражённого сигнала (увеличенана рисунке в 7 раз), так же как и в падающем импульсе меняется экспоненциально современем, как это видно из рис.10.E1б1220-120,5t/ τ3,5Рис.10Учёт высших производных в (4) практически не влияет на амплитуду и формуотражённого импульса.Для импульса с гауссовой огибающей выражение для отражённого сигнала имеет вид:⎞ t1⎛ 1U (t ) = − ⎜− χ ⎟ 2 exp[−1 / 2(t / τ ) 2 + iω t ]( 7)⎟τ4 ⎜⎝ χ⎠В отличие от рассмотренных выше, гауссов импульс не имеет плоской вершины и U(t)обращается в 0 лишь в центре гауссовой кривой то есть при t=0, как это видно из рис.10 исоотношения (7) (амплитуда отраженного импульса на рисунке увеличена в 20 раз).E1в120-101234567t/ τРис.11Наличие растянутого фронта, включающего множество периодов несущей частоты,43обуславливаетE1гвданномслучаеотносительно малую интенсивность отражённых1220-101234импульсов.
Вt/ τРис.12отличие от гауссова импульс с супергауссовой огибающей A(t) = exp[-(t/τ)2p],где p – целое число >1, характеризуется большей крутизной фронта и наличием плоскойвершины. На рис.12 (амплитуда отраженного импульса на рисунке увеличена в 10 раз)приведены данные для этого импульса с параметром p=3.С ростом p крутизна фронта возрастает и вместе с тем уменьшается его длительность.При p→∞ форма импульса приближается к прямоугольной, а длительность фронта t1 → 0.Длянекоторого значенияpможет реализоваться случай t1 ≤ ∆t, для которогопроведённое рассмотрение оказывается неприменимым. В этом случае форма отражённогоимпульса описывается выражением (3), которое в пределе для прямоугольного импульсапереходит в U(t)=r0 exp(iω0t).Рассмотренные примеры показывают, что отражённые от согласующей структурыимпульсы с достаточно хорошей точностью описываются выражением (4), если в нёмограничиться лишь первым членом разложения, то есть первой производной по времени отогибающей падающего импульса.Как видно из рис.10 и соотношения (4) длительность отражённых импульсовопределяется длительностью фронта огибающей падающего импульса.
Минимальнаядлительность достигается для прямоугольного импульса и составляет 1/2T. При этом, какотмечено выше, достигается и максимальная амплитуда, равная r0.2.Преобразование импульсов с помощью слоистых согласующих структур.Поскольку баланс интерферирующих в многослойной структуре волн нарушается и приналичии фазовой модуляции волны, то нами был также рассмотрен случай амплитуднофазовой модуляции последней. Выражая комплексную амплитуду падающей волны в видеA(t ) exp [− iϕ (t )] , где A(t) и ϕ(t) –изменяющиеся во времени действительные амплитуда и фаза иучитывая, что в условиях согласования на частоте ω0 r0=r1 и ω0∆t = π, нетрудно получитьследующее выражение для комплексной амплитуды отражённой волны:E 0 ( t ) = r0A( t ) exp [− iϕ ( t ) ] − A( t − ∆ t ) exp [− iϕ ( t − ∆t ) ],21 − r0 exp [iφ ( t ) ](8)где φ(t) = ϕ(t) - ϕ(t-∆t) – дополнительный набег фазы, связанный с фазовой модуляцией.Огибающая отражённой волны или ФМ импульса (модуль E0(t)) имеет вид:4412⎡ A ( t ) − 2 A( t ) A( t − ∆ t ) cos φ ( t ) + A ( t − ∆ t ) ⎤E 0 r ( t ) = r0 ⎢⎥ .241 − 2 r0 cos φ ( t ) + r0⎣⎦22(9)В отсутствие фазовой модуляции (ϕ(t)=const) и после разложения A(t-∆t) в ряд по степеням ∆t(предполагается, что такое разложение существует) получим следующее выражение дляогибающей:E 0 r (t ) =r021 − r0( −1) n +1 d n A( ∆t ) n ,∑nn!dtn =1∞(10)которое детально проанализировано выше.
В дальнейшем будем полагать n0=1. Заметимтакже, что формулы (8)-(10) справедливы и для полуволнового фильтра, для которого n0=nsи ∆t=T, а также и для ТИФ, в этом случае, как было показано выше, ∆ t=T/2.Рассмотрим условия применимости полученных выражений (8)-(10).
Как показано выше, формула (10), для волн без фазовой модуляции справедлива для времён t »∆t, где время tотсчитывается от начала падения импульса на структуру (начала взаимодействия), то естьдля установившегося режима интерференции. Очевидно, что появление разрыва наамплитуде A(t) или её производной в любой момент времени t приведёт к нарушению этогорежима и его новому установлению за тот же промежуток времени. В действительности, дляреально используемых в оптике диэлектриков с ns ‹ 3.5 , как показывает расчёт, неравенствоt »∆t можно с большой точностью заменить на менее жёсткое t › 3∆t, которое, как нетрудновидеть, эквивалентно условию медленно меняющейся амплитуды. Аналогичные аргументысправедливы и для изменяющейся во времени фазы ϕ(t).
Таким образом, формулы (8)-(10)справедливы для относительно гладких импульсов без резких изменений (скачков) фазы иамплитуды.По этой причине было рассмотрено взаимодействие с ТИС ФМ импульсов с гауссовойA(t)=exp[-(t/τ)2/2] и с супергауссовойA(t)=exp[-(t/τ)2p]формой огибающей, где τ-длительность импульса и p = 2,3,4,.
Последний является хорошей моделью ФМ импульса сплоской вершиной. Используем наиболееинтересную с точки зрения приложенийквадратичную фазовую модуляцию в виде ϕ(t)=-αt2/2, где α - скорость частотной модуляции.На рис.13 представлены результаты расчёта спектральным методом формы отражённых ФМимпульсов от ТИС, нанесённой на подложку с ns=3.42.Длительность импульсов в обоих случаях составляла τ = 7T, длина волны несущей λ = 1.5мкм; величина ατ2=6 для гауссова импульса и ατ2=25 для супергауссова импульса, параметрp=3. Огибающая отражённых импульсов E0r построена по формуле (10).Eа1120-1-3-2-1012345Eб1120-1-2-1012Рис.13Данные, приведённые на рис.13, получены с помощью фурье- преобразования падающегоимпульса, взятого ввиде:E(t)=A(t)exp[-i(ω0t+ϕ(t))].
Временной профиль отражённогоимпульса определялся как:+∞Er (t) = ∫ f (ω)r(ω) exp(−iω t)dω,−∞(11)где f(ω) – фурье-спектр падающего импульса и r(ω) - коэффициент отражения от согласующейплёнки (ТИС). На рис.13 нанесены также профили отражённых импульсов, построенныхнепосредственно по формуле E (t ) = E0 (t ) exp( −iω 0t ) , где E0(t) определено в (8). Из рисункавидно, что временные профили обоих импульсов практически полностью совпадают срассчитанными с помощью спектрального метода по (11), что свидетельствует о высокойточности временного описания по формулам (8),(9).На рис.13а фазовая модуляция включается в интервале времени -1.5τ < t < 1.5τ. Внутри этогоинтервала огибающая описывается выражением (2), вне его – как по (9) с φ(t)=0, так и поформуле (10), в которой достаточно взять лишь первый член разложения.Полученные аналитические выражения позволяют выделить временной ход фазовоймодуляции ФМ импульсов. Это следует из того обстоятельства, что в аналитическомвыражении (9) для амплитуды (и интенсивности) сохраняется информация о фазовоймодуляции в виде функции φ(t).
Если с помощью корреляционных или прямых методовполучены огибающие падающего импульса A(t) и отражённого E0r(t), то, используя (9), можноопределить фазовую функцию φ(t).На практике часто встречаются ситуации, когда ФМимпульсы приобретают плоскую или почти плоскую вершину. В области плоской вершиныA(t) = A(t-∆t) = A0 (в данном рассмотрении A0=1), и из (9) следует, что форма огибающейотражённого импульса определяется лишь фазовой функцией φ(t).
Этим объясняется близкая клинейной зависимость E0r(t) в области центральной части отражённого импульса (см. рис.13б).Действительно, для малых значений φ(t) можно упростить (9), полагаяcosφ(t) ≅1. Тогдаполучим:E0r (t) =r0φ (t)21 − r0(12)Для квадратичной ФМ φ(t) = αt∆t – 0.5α(∆t)2, откуда и следует линейная зависимость E0r(t)от времени. В этих выражениях время отсчитывается от центра импульса. При малой ФМможно использовать разложение φ(t) в ряд по степеням ∆t, тогда из (12) получим дляогибающей ФМ импульса в области постоянной амплитуды выражение:E0 r (t ) =r021 − r0( −1) n +1 d nϕ( ∆t ) n ,∑nn! dtn =1∞(13)аналогичное выражению (10) для импульсов с постоянной фазой. Для малых φ(t) во многихслучаях можно положить φ(t)=(dϕ/dt)∆t =δω(t)∆t и, используя (12) или (13), сразу получить46временной ход частотной модуляции δω(t) в области плоской вершины импульса.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
