В.А. Кондратьев, Ю.С. Ильяшенко - Программа экзамена (1097105), страница 3

Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла (страница 3)

Экзамен 28 июня 2004 г.9.1. Вариант 1Задача 1. (2+2+2): Найти и нарисовать фазовые кривые системы(ẋ = x − x2 ,ẏ = y 2 .(1)Найти все начальные условия, при которых решение системы определено на всей оси времени.Задача 2. (2+2+1): Дана система(ẋ = y,ẏ = x(x − 1)(x − 2).(2)Нарисовать фазовые кривые системы. Есть ли у системы особые точки, устойчивые по Ляпунову? Есть лисреди особых точек асимптотически устойчивые?Задача 3. (4): При каких ω все решения уравнения x(4) + 5ẍ + 6x = sin ωt ограничены на всей оси времени?Задача 4. (5): Сформулировать и доказать теорему Ляпунова об устойчивости для отображений в случае, когда линейная часть отображения в точке имеет попарно различные собственные значения. Доказыватьтолько достаточность условий устойчивости.10.

Экзамен 4 июня 2009 г.10.1. Вариант 110.1.1. Часть перваяЗадача 1. (3): Нарисовать фазовый портрет системы(ẋ = y,ẏ = 5x + x2(1)Задача 2. (3): Найти общее решение уравненияux y + uy (5x + x2 ) = 0.(2)Задача 3. (4): Существует ли решение задачи Коши для уравнения (2) с начальными условиями u|y=1 =sin x, определённое во всей полуплоскости y > 1?Задача 4. (4): В системе (1) найти периоды малых колебаний и углы наклона сепаратрис.Задача 5.

(6): Будет ли полная энергия системы (1) убывать вдоль фазовых кривых возмущенной системы(ẋ = y,(3)ẏ = 5x + x2 − 0.1y ?Нарисовать фазовый портрет системы (3).10.1.2. Часть втораяЗадача 6. (5): Теорема об искажении фазового объема.Задача 7. (5): Найти преобразование фазового потока для системыẋ = x + y,ẏ = y + 2z,ż = zЗадача 8. (4): Найти производную по параметру ε при ε = 0 решения системы(ẋ = x2 + y 2 + εt sin t,ẏ = 2xy + ε2 sint t(4)(5)с начальным условием x(0) = y(0) = 0.Задача 9. (6): Найти судьбу точки ( 14 , 34 ) под действием отображения подковы из лекции 6 мая 2009 г.1110.2.

Вариант 210.2.1. Часть перваяЗадача 10. (3): Найти и нарисовать фазовые кривые системы(ẋ = 2x + y,ẏ = −x + 2yЗадача 11. (4): Найти особые точки системы(ẋ = sin(2x + y),ẏ = sin(−x + 2y)(6)(7)и исследовать их на устойчивость.Задача 12. (3+2): Найти частное решение уравненияẍ − 4ẋ + 5x = e2t sin t.(8)а) Неопределённые коэффициенты не находить.б) Найти неопределённые коэффициенты.Задача 13. (4): Найти производную в точке 0 преобразования фазового потока за время π системы (7).Задача 14. (4): Выпрямить векторное поле системы (6) в окрестности точки (1, 1).10.2.2. Часть втораяЗадача 15. (5): Сформулировать теорему о решении линейной системы с постоянными коэффициентамии правой частью в виде квазимногочлена.

Дать доказательство в нерезонансном случае.Задача 16. (4): Нарисовать фазовые кривые системы(ẋ = x2 (1 − x)2 ,ẏ = y(9)Задача 17. (5): Верно ли, что все первые интегралы системы (9), непрерывные на всей плоскости, постоянны?Задача 18. (6): Нарисовать замыкание на плоскости траектории системы(ẍ = −y,ÿ = 2x − 3y(10)с начальным условием x(0) = 1, y(0) = 0, ẋ(0) = ẏ(0) = 0.Последняя компиляция: 18 июня 2010 г.Обновления документа — на сайтах http://dmvn.mexmat.net,http://dmvn.mexmat.ru.Об опечатках и неточностях пишите на dmvn@mccme.ru.12.

Характеристики

Список файлов ответов (шпаргалок)