В.А. Кондратьев, Ю.С. Ильяшенко - Программа экзамена (1097105), страница 2
Текст из файла (страница 2)
Вариант 4Задача 23. (4): Найти и нарисовать фазовые кривые уравнения Ньютона(ẋ = y,ẏ = sin x + 21 .(4)Задача 24. (3): Найти особые точки системы (4) и исследовать их на устойчивость.Задача 25. (3): При каких значениях параметра ω система(ẋ = −y + sin ωt,ẏ = x.(5)имеет хотя бы одно периодическое решение?Задача 26. (4): Найти общее решение системы (5) при ω = 2.Задача 27. (3): Доказать теорему о выпрямлении векторного поля.Задача 28. (4): Найти мультипликатор предельного цикла уравнения, записанного в полярных координатах:(ϕ̇ = 1,ṙ = 1 − r.Нарисовать этот предельный цикл и фазовые кривые в его окрестности.56. Экзамен 30 августа 2002 г.6.1. Вариант 1Задача 1.
Найти преобразование фазового потока системы(ẋ = −y,ẏ = x.Задача 2. Найти все значения a, для которых начало координат является устойчивой по Ляпунову особойточкой векторного поля(ẋ = −ax,ẏ = (a − 1) sin y.Задача 3. В окрестности какой из точек а) (0, 1) б) (1, 0) задача Коши для уравнения(1 + x2 )∂u∂u− 2xy=0∂x∂yпри начальных условиях, задаваемых на кривой x2 + y 2 = 1, имеет единственное решение для любого гладкогоначального условия?Задача 4. Найти решение предыдущей задачи при u|x2 +y2 =1 = y|x2 +y2 =1 в окрестностях а) и б).Задача 5. Выпрямить векторное поле(ẋ = x2 ,ẏ = eyна R2 в окрестности точки (1, 1).Задача 6. Найти производную по параметру µ при µ = 0 решения системы((ẋ = sin x − y + µ sin t,x(0) = cos µ − 1,с начальным условиемẏ = x − ln(1 − y)y(0) = sin µ.Задача 7.
Найти и нарисовать фазовые кривые системы(ẋ = y,ẏ = x − x3 .(1)Задача 8. Найти все особые точки системы (1) и указать их тип.Задача 9. Сформулировать и доказать теорему о равномерном распределении иррационального поворотаокружности.6.2. Вариант 2Задача 10. Найти преобразование фазового потока системы(ẋ = 2y,ẏ = − 12 x.Задача 11. Найти все значения a, для которых начало координат является неустойчивой по Ляпуновуособой точкой векторного поля(ẋ = a tg x,ẏ = −(1 + a)y.Задача 12.
В окрестности какой из точек а) (0, 1) б) (1, 0) задача Коши для уравнения(x2 − y 2 ) · ux + 2xy · uy = 06при начальных условиях, задаваемых на кривой x2 + y 2 = 1 имеет единственное решение для любого гладкогоначального условия?Задача 13. Найти решение предыдущей задачи при u|x2 +y2 =1 = y|x2 +y2 =1 в окрестностях а) и б).Задача 14. Выпрямить векторное поле(на R2 в окрестности точкиπ2,1ẋ = sin x,ẏ = y 3.Задача 15.
Найти производную по параметру µ при µ = 0 решения системы((ẋ = x2 + y − µ sin t,x(0) = 1 − cos µ,с начальным условиемẏ = sin x + y 3y(0) = sin µ.Задача 16. Найти и нарисовать фазовые кривые системы(ẋ = y,ẏ = x2 − 1.(2)Задача 17. Найти все первые интегралы системы из задачи (2), указать их тип.Задача 18. Сформулировать и доказать формулу Лиувилля – Остроградского.6.3. Вариант 3Задача 19.
Найти фазовую траекторию векторного поля на плоскости, проходящую при t = 0 черезточку (0, 1):(ẋ = y,ẏ = −4x + 4y.Задача 20. Найти все особые точки векторного поля(ẋ = y,ẏ = x2 − 1.Задача 21. В окрестности какой из точек а) (0, 1) б) (1, 0) задача Коши для уравненияx2∂u∂u+ (y + 1)x=0∂x∂yпри начальных условиях, задаваемых на кривой x2 + y 2 = 1 имеет единственное решение для любого гладкогоначального условия?Задача 22. Найти решение предыдущей задачи при u|x2 +y2 =1 = y|x2 +y2 =1 в окрестностях а) и б).Задача 23.
Выпрямить векторное поле(ẋ = y,ẏ = y 2в окрестности точки (1, 1).Задача 24. Найти производную по параметру µ при µ = 0 решения системы((ẋ = cos x − 1 + y,x(0) = cos µ − 1,с начальным условиемytẏ = x + e − 1 + µey(0) = sin µ.Задача 25. Найти и нарисовать фазовые кривые системы(ẋ = −x(y + 1),ẏ = x2 − y.Задача 26.
Найти все первые интегралы системы (3), определённые на всей плоскости.Задача 27. Экспонента коммутирующих операторов.7(3)7. Экзамен 2003 г.7.1. Вариант 17.1.1. Часть перваяЗадача 1. (2): Нарисовать фазовые кривые системы(ẋ = y,ẏ = 1 − x2 .Задача 2. (3): Найти все особые точки системы(ẋ = y,ẏ = 1 − x2 − y,(1)(2)исследовать их на устойчивость и определить их тип.Задача 3. (5): Нарисовать фазовый портрет системы (2).Задача 4. (4): Найти решение системы (1) с начальным условием (2, 0).Задача 5.1◦ (3): Найти все непрерывные первые интегралы системы (2) в окрестности точки (0, 1).2◦ (6): Найти производную ∂x∂a при a = 0 первой компоненты решения системы (1) c начальным условием(x(0) = 2,y(0) = a.7.1.2.
Часть втораяЗадача 6. (3): Найти частное решение с неопределёнными коэффициентами уравненияx(6) + 64x = sin 2t.и общее решение соответствующего однородного уравнения.Задача 7. (4): При каких значениях ω уравнениеx(6) + 64x = sin ωt.имеет хотя бы одно ненулевое решение, ограниченное на всей оси?Задача 8. (6): Пусть f (x) = sin2 x + cos2003 x. Найти пределn−11Xf (k).n→∞ nlimk=0Задача 9. (3): Доказать теорему об искажении фазового объёма.
Формулу Лиувилля – Остроградскогоможно считать известной.Задача 10. (6): Найти все периодические точки периода 2 для отображения подковы из лекции 14.7.2. Вариант 27.2.1. Часть перваяЗадача 11. (2): Найти все 2π-периодические решения уравненияẋ = 2x + sin t.(3)Задача 12. (3): Найти преобразование монодромии уравнения (3) за период.Задача 13. (2+3): Для любого m ∈ N найти m-е пикаровское приближение к решению начальной задачиẋ = Ax,x(0) = x0 ,8где A : Rn → Rn — линейный оператор, а x ∈ Rn .
Вывести из полученной формулы теорему о существовании eAt при малых t.Задача 14. (6): Пусть ϕ(t, x) — решение системыẋ1 = −2 sin x1 + 3 sin x3 ,ẋ2 = −2 sin x2 + sin x3 ,ẋ3 = −2 sin x3 + sin2 x2(4)с начальным условием ϕ(0, x) = x. НайтиX(t) =∂ϕ(t, x) ∂x x=0(5)Задача 15. (5+4): Судьба точки p под действием отображения подковы (лекция 14) имеет видω = . . . ω−n . .
. ω0 . . . ωn . . . ,(6)причём ωn = 1 при |n| > 5. Найти предельные точки орбиты точки p под действием отображения подковы.Сколько точек удовлетворяют условию задачи?7.2.2. Часть втораяЗадача 16. (3): Нарисовать фазовый портрет системы(ẋ = x + x2 ,ẏ = −y.(7)Задача 17. (6): Найти хотя бы один непостоянный первый интеграл системы (7), определённый на всейплоскости.Задача 18. (5): Разрешима ли задача Коши(x + x2 )в окрестности точки∂u∂u−y= 0,∂x∂yu|x+y=1 = x√√ 2 − 1, 2 − 2 .Задача 19.
(3): Доказать принцип сжимающих отображений.Задача 20. (4): Останется ли верным принцип сжимающих отображений, если в его формулировке отказаться от условия полноты?8. Основной экзамен 14 июня 2004 г.8.1. Вариант 18.1.1. Часть перваяЗадача 1. (4): Найти общее решение системы(ẋ = 1,ẏ = −y + sin x.(1)Задача 2. (3+1): Найти фазовый поток системы (1). Сохраняет ли он объём?Задача 3. (2+1): Выпрямить векторное поле системы (1) в окрестности точки (0, 0). Ответ проверить.Задача 4. (5): Сколько 2π-периодических решений имеет уравнениеẋ = −ax +sin t?2 + sin tОтвет исследовать в зависимости от a.Задача 5.
(5): Вывести теорему Ляпунова об устойчивости для векторных полей из теоремы Ляпуноваоб устойчивости для отображений.98.1.2. Часть втораяЗадача 6. Пусть10 ,1a+1 22A(a) = 2a11ẋ = A(a)x.(2)1◦ (6+1): При каких значениях a уравнение (2) имеет непостоянные периодические решения? С какимпериодом?2◦ (4): Найти решение уравнения (2) при a = 4 с начальным условием ~x(0) = (4, 0, 4).Задача 7. (5): Исследовать на устойчивость особую точку 0 уравнения (2) при a = −5.√Задача 8. (6+2): Рассмотрим арифметическую прогрессию, разность которой равна 3 a.
Верно ли, чтопри a = 19 в множество[1E=n, n +2004n∈Zпопадает бесконечно много членов этой прогрессии? Верно ли аналогичное утверждение при a = 18 ?8.2. Вариант 28.2.1. Часть перваяЗадача 9. (2): Найти общее решение уравненияẋ = 1 + a2 x2 ,a ∈ R,x ∈ R.(3)Задача 10. (5): При каких значениях вещественных параметров a и b фазовый поток уравненияẋ = 1 + a2 x2 + bx4определён на всей прямой для всех значений времени? Найти этот поток для этих значений параметра.Задача 11. (2+1): Выпрямить векторное поле уравнения (3) при a = 2 на всей прямой. Ответ проверить.Задача 12. (5): Может ли уравнение Ньютона(ẋ = y,ẏ = f (x)иметь предельные циклы, если f ∈ C1 ?Задача 13.
(5): Доказать основную теорему теории линейных автономных уравнений. Все нужные длядоказательства свойства нормы линейных операторов можно считать известными.8.2.2. Часть втораяЗадача 14.1◦ (3): Найти экспоненту линейного оператора0 1A = 0 00 0π2 .0(4)2◦ (5+1): Найти экспоненту оператора Лапласа ∆ в пространстве Pn тригонометрических многочленовстепени не выше n, то есть в пространстве функций видаp(x) =nX(ak sin kx + bk cos kx),k=0ak , bk ∈ R.(5)Какова размерность этого пространства?Задача 15.1◦ (4): Исследовать на устойчивость особую точку 0 уравнения ẋ = Ax, где A — оператор (4).2◦ (6): Будет ли устойчивой особая точка 0 уравненияṗ = ∆p,p ∈ Pn ?Задача 16. (1+7): Сколько периодических точек имеет отображение подковы из лекции 14? Может лихотя бы одна из этих точек иметь хотя бы одну иррациональную координату?109.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
