Солонина А., Улахович Д. Алгоритмы и процессоры цифровой обработки сигналов (2002) (1095891), страница 5
Текст из файла (страница 5)
ФЧХ такого фильтра имеет постоянную составляюшую я/2 (рис. 1.4, а, б). Антисимметричность означает л(л) = — п(/у — 1 — и) . Рис. 1.4. Частотные характеристики ЦПГ: а — АЧХ, б — ФЧХ Глава 1. Методы и алгоритмы цифровой обработки сигналоа Структурная схема ЦПГ изображена на рис. 1.5, тле кажлый второй коэф- фициент (или отсчет импульсной характеристики) равен нулю, Козффици- енты ЦПГ рассчитываются по формулам: и качестве СЛЗ используются первые (/У вЂ” 1)/2 регистров всей линии за- держки фильтра, солержашей /и' регистров. Рис.
1.б. Структурная схема цифрового преобразователя Гильберта Дифференциаторы — это КИХ-фильтры с линейной ФЧХ„имеющие анти- симметричную импульсную характеристику четной длины, линейно возрас- таюшую АЧХ в рабочем диапазоне частот О < то ~ ст и постоянную состав- ляюшую ФЧХ, равную л/2 (рис. !.6).
Свое название такие КИХ-фильтры получили благодаря свойству диффе- ренцирования сигнала. Покажем зто. На рис.!.б видно, что отношение приращения АЧХ оА(го) к приращению частоты дго постоянно К = — =связь ЬА(го) Ьго При устремлении дго -я О получаем А'(от) = —, я/А(го) т/го 1Б (1.261 Х(х) = Я х(тк))(т"„", 0 ~ К 5 Аг — 1; прямое ДПФ (1.27) (1.28) )г(е«1 деаяьнвд кара««врасти«в ,2я -1 тел 11'м =е еаяьная «арактеракпкнв (1.29) ад /2 Юр Раоаннй лнаяаввн Рис. ! .6. Ачх днфференцнатора !К(а) [ ал =д )ь Х(й)=Х1(тлд ) (1.31) Алгоритмы и процессоры цнбкровой обработан сигналов Аналогично можно записать лля сигнала 4а): Жа) = з'(а)«1а.
Последнее равенство означает, что сигнал на вы«олс рассматриваемого фильтра представляет собой производную входного сигнала, задержанного на некоторое время, определяемое фазочасготной характеристикой, т. е. такое устройство действительно обладает свойством дифференцирования. В системах управления часто требуется линейное изменение коэффициента управления К(а) (например, усиление или ослабление нагрузки) в зависимости от частоты а воздействия. Для этой цели исгюльзуют днфференциаторы, линейно возрастающую АЧХ которых можно истолковать как частотнозависнмый коэффициент управления К(а) в этом же диапазоне частот: подавая на вход дифферецциатора гармонические колебания, подучаем линейно зависимые от частоты коэффициенты управления, рассчитываемые согласно (1.15, о).
Зал~етиль что вычисление огибающей сигнала и часготнозависимого коэф- фициента управления в дополнение невозможно без многократных вычис- лений тригонометрических функций и извлечения кпалратцого корня пз суммы двух величин. 1.3. Цифровой спектральный анализ к(кт(рровой слектролытый лнопгз — это совокупность разнообразных методов обработки цифровых сигналов, которые позволяют оценить частотный состав (спектр) исследуемого сигнала. Залача спектрального анализа может (лава 1. Методы и алгоритмы цифровой обработки снтналое носить как самостоЯтсльный хаРактеР (напРимеР, в сейсгаолоп1н Длн опРеделения типа ссйслщческого события, в геофизике для поиска месторожлеиий полезных ископаемых н разработки новых методов поиска и т. и.), так н вспомогательный (в системах компрессии речи и изображений, компенсации помех и фильтрации).
В ЦОС важнейшими сигналами являюгся периодические последовательности с периодом отсчетов 1у и последовательиости конечной длины в )у отсчетов. Ддя периодических последователыюстсй вводится дискреглное лреобразоеонле Фурье (ДЦФ): обратное ДПФ н ~ (ОДПФ) х(л) = — ~~~~~ Х(К)))'„вь, 0 < л ~ Аг — 1, ~ ь=с где Х(К) — л-я комплексная амплитуда (составляющая) спектра (ДПФ); х(л) — отсчеты дискретного сигнала (периодического с периодом Ю или ко- нечной плицы А); и'Абк — поворачивавший множитель (или ядро преобра- зования).
равный Составляюпще спектра Х(х) имеют период 1«' и располагаются по частотной оси с интервалом да=2 1лтГ, т=)~7„. (1.30) Этот интервал называется чосглоглой лреоорозованил. Составляющая с номером л располагается на частоте Говорят, что ДПФ якьзяется 2«'-точечным, сслп оцо содержит 1«' составляющих спектра. Модуль ДПФ [Х(йл называется слеюлрод одгллгтауд (часто просто слехглроы, если нет каких-либо оснований для уточнения), аргумент ДПФ называется спектром фаз Ск(11) = агя Х(й). Это же преобразование можно применить и к послеловательности конечиои длины, рассматривая ее как один период повторяющейся последовательности.
Алюригмы и процессоры цифровой обработки сигнвков ( Замечание Следует иметь в виду, что смысл ДПФ для дискретных периодических сигналов и синилов конечной длины различен. Спектр периодического дискретною сигнала с периодом И является также периодическим и дискретным, имеющим на одном периоде ровно И комплексных составляющих, поэтому ДПФ гпачно еырвжаегп еэо слеюпр.
С дискретным сигналом конечной длины И дело обстоит нескопько сложнее: его спектр, являясь периодическим с периодом ык, представляет собой непрерывную функцию частоты, однако по И равноотстоящим отсчетам спеюра Хйг), т. е. по ДПФ. гарантируется воэможность гпочного еоссгланоелвния как непрерывного спектра Х(е ге ), так и последовательности х(п). 1.3.1.
Быстрое преобразование Фурье Прямое вычисление ДПФ по формулам (1.27) и (1.28) для больших гт' (например, при обработке речевых сигналов длина одного фрагмента гт' достигает значения 2'е = 1024) крайне неэффективно и может стать прспятствиелг для обеспечения реального времени. Действительно, для вычисления гт'-точечного преобразования требуется произвести (гу — 1)з комплексных умножений и И(йà — 1) колгплекспых сложений, т. е.
объсьг вычислений нмсег порядок гуз операций сложения и умножения компггсксныт чисел. Для уменьшения вычислительных затрат разработаны пыорггггигы быстрого вычисления ДПФ, называемые йысглрым лреобрцзовошгем Ярве Гб//Ф). Этн алгоритлгы основаны на периодичности ядра преобразования ИЯ». Идея БПФ состоит в том, чтобы разделить гт'-точечную последовательность на две, нз ДПФ которых можно получить ДПФ исходной последовательности, н продолжать такое деление каждой новой последовательности ло тех пор, пока не останутся последовательности.
состояпше только из лвух элементов. Конечно, такое деление возможно лишь при /т'= 2ы. Глава Г. Методы и алгоритмы цифровой обработки сил алов где верхняя строка дает первые гу/2 составляющих ДПФ Х(й), а нижняя строка — вторые И/2 составляющих, 0 < й < Л/2 — 1. Далее аналогичным образолг гу/2-точсчггые ДПФ заменяются двумя У/4-точечиыии каждое, и г. л. Такая сортировка осуществляется до тех пор, пока не образуготся И/2 последовательностей по лва элемента в каждой. В результате И-точечное ДПФ сводится к гп = 1ойзйг этапам, на каждолг из которых требуется вычислить ~Ч коэффициентов. Выражения (!.33) показывак>т, что на каждом этапе требуется И комплексных сложений н гт/2 комплексных уьпюжений.
Это легко видеть нз направленного графа (рнс. 1.7), напоминающего крылья бабочки. чем и объясняется название "баоочяа" самой операции (1.33) и графа, на котором стрелкой обозначено умножение на )ук . Использование базовой операции "бабочка" снижает количество требуемых для вычисления гт'-точсч- 3 ного ДПФ комплексных сложений с г(д до — И1ойз Ж, что является сушест- 2 венной экономией вычислительных, а потому и временных ресурсов.
Х, (!г) х,(й) +и~йх,(й) Хг (гг) — Игы Хз (гг) Х В) Рис. 1.7. Операция "бабочка" с прорвживвнивм по времени Хг(к) + й',тХз(к) Х(й) = ~Х,(/г) — Ь'~(Хт(й), (1.ЗЗ) Алгоритм БПФ с прореживанием по времени Исхолиая И-точечная последовательность х(в) делится на две гт/2-точечных послеловательпости, олна из которых содержит отсчеты с нечетными номе- рами, а другая — с четными пол1ерамн: (3 четная последовательность х,(л) = х(2л): 13 нечетная последовательность хз(л) = х(2гг+!) прн и = О. 1,, (И/2)-1. Тогда гт'-точечное ДПФ исходной последователь- ности х(л) преобразуется в два гу/2-точечных ДПФ: В результате сортировки отсчетов х(л) по нечетным и четным номерам входные данные записьгваготся в необычном порядке, который называется двоичной инверсией, или йит-ревергггей: например, если трехразрядное двоичное представление номера и отсчета х(п) имеет ввд и = (пт пг ло», то отсчет «(пз и, ло), должен располагаться на месте .т(ггв л, лз).
Это означает, что для правильного выполнения БПФ необходимо в нсходноги двоичном номере заменить порядок расположения разрядов на обратный (инверсный). Например, входной отсчет х(6) = х(!! 0) должен разместиться на 011=эЗ третьем месте. а третий отсчет х(3) окажется на шестом месте. При двоичной инверсии входной последовательности составляющие Х(й) ДПФ будут расположеНы в естественном порядке. и-! Н(Л) = ~~ л(л)сак Г 2/о//г 1 (1.35) лл//) = — ~/ Н(Л)савв Х,(/г)+ Х,(Х); Х(/г) = (Х/ (/г) Хз (/( ))11глл (1.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
