Джон Ф.Уэйкерли Проектирование цифровых устройств. Том I (2002) (1095889), страница 15
Текст из файла (страница 15)
По традиции роль знакового бита в двоичной записи играет старший разряд (О = плюс, 1 = минус), а остальные биты используются для представления величины. Вот несколько 8-разрядных двоичных целых чисел, представленных в прямом коде со знаком, и их десятичные эквиваленты: 60 Глввв 2. Числовые системы и коды будет показано в дальнейшем. Одно обстоятельство компенсирует, пожалуй, сложность оперирования числами, представленными в прямом коде со знаком: коль скоро мы знаем, как собрать сумматор таких чисел, почти тривиальной оказывается задача построения вы читающего устройства (лгдпеи-тадпйийв зиьггашог); нужно только изменить знак у вычитавмого !виЬггаН«п4 и подать его вместе с уменьшаемым на входы сумматора. 2.5.2.
Системы представления чисел в форме дополнения Если при представлении чисел в прямом коде со знаком для изменения знака числа меняется значение знакового разряда, то в системе преаставл ения чисел в форме дотинвпил (сотр1етвпг питЬег гудет) для этого берется дополнение данного числа по правилам, действующим в пределах этой системы. Взятие дополнения — более сложная процедура, нежели изменение знака„однако два числа, представленные в форме дополнения, можно складывать н вычитать непосредственно, не проверяя их знаки и величины, как это требуется при представлении чисел в прямом коде со знаком.
Мы опишем две системы представления чисел в форме дополнения, которые называются «точным дополнением» («дополнительным кодом») и «поразрядным дополнением» («обратным кодом»). В любой системе представления чисел в форме дополнения обычно имеют дело с фиксированным числом разрядов, равным, скажем, и. (Однако можно увеличить число разрядов за счет «знакового расширения» или уменьшить число разрядов путем отбрасывания старших разрядов, как это делается в задачах 2.23 и 2.24 соответственно.) В дальнейшем будем предполагать, что основание системы счисления равно г, а сами числа имеют вид Точка разделения целой и дробной части пусть находится справа, так что числа являются целыми. Если в результате выполнения той илн иной операции требуется большее, чем п, число разрядов, то избыточные старшие разряды отбрасываются.
Если дополнение числа 1г берется дважды, то результат равен В. 2.5.3. Дополнительный код При точном дополнении (гагйх-сотр1«твпг вузгет) дополнение п-разрядного числа получается путем вычитания его из г". В случае десятичных чисел точное дополнение носит название дополнения в десятичной системе (!0 л сотрйгтвп0. В табл. 2 4 приведены несколько примеров 4-разрядных десятичных чисел и результат нх вычитания из 10000. По определению, точное дополнение п-разрядного числа 0 есть результат вычитания В из г". Если 0 находится между 1 и гл — 1, то в результате вычитания получим другое число, принадлежащее тому же интервалу значений.
Если О = О, то результат вычитания равен г" н имеет вид 100 - 00, где полное число разрядов равно п +1. Отбросим лишний старший разряд и получим О. Таким образом, в случае точного дополнения существует одно единственное представление нуля. Табл. 2.4.
Примеры точ- ного и поразрядного до- полнений в десятичной системе точное дополнение 1дополннтельный код! Число Пореэредное дополнение <обратный код> 8!50 7932 9899 9992 1848 9999 815! 7933 9900 9993 !849 10000 1= О) 1849 2067 100 7 8151 0 Исходя из определения, можно подумать, что для вычисления точного дополнения (сотриг!л8 Йе «аг!!х сотр!ете»и) числа В нужно производить вычитание.
Однако вычитания можно избежать, записывая ~л в виде (г" — 1)е!, а «" —  — в виде !(«" — 1) — В)е!.Всвоюочередьчислог"-1 имеетвид:тт . тт,гдет =« — 1 и символ т повторяется л раз. Например, число 10000 равно 9999 е 1. Если принять, по определению, что дополнением одноразрядного числа Ыявляется число «-1 — Ы, то (»" — 1) — В получается взятием дополнений в разрядах числа В. Поэтому точное дополнение числа В есть результат взятия дополнений в отдельных разрядах Р и прибавления 1. Например, дополнение числа 1849 в десятичной системе равно 8150 е 1, то есть 8151. Навыки применения этого правила стоит закрепить, убедившись в его справедливости на других примерах, приведенных в табл.
2 4. В табл. 2 5 перечислены дополнения одноразрядных чисел для двоичной, восьмеричной, десятичной и шестнадцатеричной систем счисления. Число Двоичное 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 А В С В Е 2 5. Представление отрицательных чисел 61 дополнение Табл. 2.5. Дополнения аднораз- Л „р 7 9 Р 6 8 Е 5 7 В 4 6 С 3 5 В А 9 8 7 6 3 2 0 62 Глава 2. Числовые системы и коды 2.5.4.
Представление двоичных чисел в двоичном дополнительном коде Точное дополнение для двоичных чисел носит название двоичного дополнительного кода (пса У сатр[етел[). В этой системе старший разряд ч иола служит битом знака; число отрицательно тогда и только тогда, когда старший бит равен 1. Десятичный эквивалент двоичного числа, представленного в дополнительном коде, вычисляется так же, как в случае числа без знака, за исключением того, что вес старшего бита (и е[я[2[ о~МБВ) равен-2" ', а не+2""'. Диапазон значений представляемых таким образом чисел простирается от — (2" ') до+(2" ' — 1).
Вот примеры 8-разрядных двоичных чисел: 000 1 000 1 2 ц г побнтное дополнение 17щс = -99[ = 1ОО) ПО1 ц 01100010 +1 побитное дополнение 11101111г = 17~о 011000112 = 99ц> 119ю = 011101112 ц побитное 10001000 дополнение +1 10001001г = -119ю -1271в = 100000012 ц побнтное дополнение 2 +1 01111111г = 127,о 010 = 000000002 ц побитное дополнение -128„= 1000000(Ь побитное 01111111 дополнение +1 000000002 Ою 100000002 = -128 1 о В левом нижнем примере возникает перенос из старшего разряда.
Здесь, как н повсюду при выполнении операций с двоичными числами, представленными в дополнительном коде, этот бит игнорируется и в качестве результата берутся только п младших разрядов. При представлении двоичных чисел дополнительным кодом ноль считается положительным числом, так как его знаковый бит равен О. Поскольку возможно только одно двоичное представление нуля в дополнительном коде, в нижней части диапазона представляемых чисел имеется еи[е одно атриг[ательнае числа (ех[га пейа[гке пит6сг) — 2" ', у которого нет положительного эквивалента. Представленное в дополнительном коде п-разрядноедвоичное числоХможно преобразовать в т-разрядное число, но при этом нужна определенная осторожность.
Если т > и, то мы должны добавить к числу Х слева т — п битов, являющихся копиями знакового бита числаХ(см. задачу 2.23). Другими словами, положительное число мы дополняем нулями, а отрицательное — единицами; такое действие называется знакавыт расш ирен ив и (х[8п сх[сгп[ап). Если т < п, то мы отбрасы наем п-т битов слева; однако результат будет справедливым только в том случае, 2.6.
Представление отрицательных чисел 63 когда все отбрасываемые биты имеют то же значение, что н знаковый бит остающегося числа (см, задачу 2 24) В большинстве компьютеров и в других цифровых системах используется представление отрицательных чисел в дополнительном коде. Однако, ради полноты, мы рассмотрим также поразрядное дополнение и двоичный обратный код. *2.5.5.
Представление в форме поразрядного дополнения В сисизеые с поразрядным дополнением (йт!пзю)зег1 райх-совр!етепг юуюгет) дополнение и-разрядного числа В получается путем его вычитания из и" -1. Это можно осуществить, беря дополнение в разрядах числа 0 порознь без добавления 1 в отличие от того, как зто делается при взятии точного дополнения. В случае десятичных чисел такое преобрюо ванне можно назвать поразрядным дополнением додевяти(9ю сотр!етепг) примеры таких дополнений приведены в правом столбце табл.
2.4. *2.5.6. Представление двоичных чисел в обратном коде -99ю = 100!1100г 8 011000! !г = 99ю !7щ = 00010001г 8 11101110г = -17!о -127ш — — 10000000г 8 0!ПП!1, = 127ю 119!о = 011101 11г 8 10001000г = 1!9зо (положительный ноль) о,о = 00000000 8 !!11!111з ою (отРицательный ноль) *Здесь и далее зеездачнпй помечены несрызательные разделы В случае двоичных чисел поразрядное дополнение называют обратным кодам (опез ' сопгр1етепг).
Как и в дополнительном коде, старший бит является знаковым: он равен 0 у положительных чисел и ! — у отрицательных. Таким образом, существует два представления нуля: положительный ноль (00 .. 00) н отрицательный ноль(11 1!). Положительные числа при их представлении в дополнительном коде и в обратном коде выглядят одинаково. Но представления отрицательных чисел различаются на!. При вычислении десятичного эквивалента числа, представленного в обратном коде, вес старшего бита равен — (2" '-1), а не — 2""'.
Диапазон чисел, которые могут быть представлены обратным кодом, простирается от — (2" ' — 1) до+(2" !-1). Приведем примеры 8-разрядных двоичных чисел и соответствующий им обратный код: Главным достоинством представления в обратном коде является его симметрия н легкость реализации. Однако построение сумматора чисел, представленных в обратном коде, требует большей изобретательности, нежели в случае сумматора чи- 64 Глава 2. Числовые системы и коды сел в дополнительном коде (см. задачу 7.72).
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
