Ортега Дж., Пул У. Введение в численные методы решения дифференциальных уравнений. Под ред. А.А.Абрамова (1986) (1095855), страница 27

Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла (страница 27)

Он также высказал предположение, что в этом случае я < и. Вопрос о справедливости этой гипотезы пока остается открытым. Для диагонально доминирующих (по столбцам) матриц множитель роста я огра- ничен значением 2, независимо от того, используется или нет какая-либо стратегия перестановок.

Для симметричных положительно определенных матриц я = 1. Этим объясняется, почему для двух указанных важных классов матриц никакой стратеги перестановок не требуется. Одним из способов, посредством которого можно пытаться найти точное решение плохо обусловленных систем, а также установить сам факт плохой обусловленности, является меюд итерационною уточнения, к описанию которого мы переходим. Пусть х, — приближенное решение системы Ах = Ь и г, = Ах, — Ь. Если я, не является точным решением, то г, Ф О.

Решим теперь систему Аг, = -г, .' Если бы з, было точ- ным решением этой системы, то А (х, +я, ) ь Ах, — г, ='Ь и вектор х, + з, являлся бы точным решением исходной системы. Разумеется, мы не в состоянии вычислить з, точно, но надеемся, что х, = х, + з, будет лучшим прибли- жением к точному решению, чем х,. Чтобы это действительно было так, необходимо вычислять вектор невязок, выполняя операции с более высокой точностью.

Если при решении линейной системы используется одинарная точносп, то вектор невяэок, вообще говоря, следует вычислять с двойной точностью. Эту процедуру можно повторить: формируем г, Ах, — Ь, решаем систему Ах, = -г„полагаем х, = х, + а, и т.д. Если задача не является очень плохо обусловленной, то одной или двух итераций обычно оказывается достаточно для получения точного решения. Техника решения линейных уравнений сейчас достигла очень высокого уровня. Особенно зто относится к заполненным и ленточным матрицам, которые умещаются в оперативной памяти ЭВМ. Вероятно, наилучшим пакетом для решения линейных систем в настоящее время является пакет Ыл раск, состоящий из подпрограмм, написанных на фортране.

Разработка этага пакета финансировалась Национальным научным фондам и министерством энергетики ОВА. Пакет 1.1лраск включает также метод оценки числа обусловленности матрицы, который позволяет избежать больших затрат, связанных с вычислением 1А '1. Описание пакета содержится в руководстве для пользователя 123].

УПРАЖНЕНИЯ 3.5 3.5.1. Вычислите определитель и нормированный определитель (3.5.10) матрицы 1 2 3 А= 2 3 4 3 4 4 н матрицы системы (3.5.6) . 3.5.2. Используя свойства матричных норм, докажите, что сапа (А) э 1. 3.5.3. Вычислите сапб (А) для матриц нз упражнения 3.5.1, используя нормы 1, и 1 (определение этих норм смотрите в приложении 3) . 3.5 4. Решите систеыу (3.5.1) при различных правых частях. Используя норму 1 сравните разности этих решений с оценкой (3.5.22) . 3.5.5. Докажите тождество (3.5.25) . 3.5.6.

Решите численно систему с матрицей коэффициентов (3.5.32) н векторам правых частей (3.5.33) при л = 10 и л = 20. Рассмотрите вопрос а точности ваших приближенных решений. 3.5.7.Выполните снова упражнение 3.5.6 для систем (3.5.35) — (3.5.36) н (3.5.38)— (3.5.39) Глава 4 ЖИЗНЬ, В ДЕЙСТВИТЕЛЬНОСТИ, НЕЛИНЕЙНА 4.1. Решение методом стрельбы В этой главе мы рассмотрим вопросы, связанные с решением нелинейных задач. Вспомним, что математической моделью проблемы, описанной в разделе 3.1, была нелинейная двухточечная краевая задача (г'и ) +гэВ(и) =О, 0<г<1, и'(0) = О, и (1) = Д, (4.1.1) (4.1.2) где я (и) = -си/(и + с1) .

(4.1;3) Имеются два основных подхода к решению таких задач. Один подход заключается в дискретизации дифференциального уравнения, как это было сделано в предыдущей главе для линейных уравнений; мы исследуем этот подход в разделе 4.4. В настоящем разделе мы рассмотрим метод, основанный на решении задач Коши, и для этой цели сначала в качестве примера разберем задачу о полете снаряда из гл. 2. Напомним, что эта задача о полете снаряда описывалась уравнениями (2.1.15), (2.1,17) и (2.1,18) ст=Он Т=О: х = исоаВ, у=ияпд, (4.1.41 — 1 й= сртй — ВяпВ, В = — — соаВ.

2т и 111 Как и ранее, имеем начальные условия х (0) = у (0) = О, и (0) = и. (4 4.5) В гл. 2 мы, кроме того, задавали условие В (0) = В, (4.1.6) так что задача (4.1.4) — (4.1.6) являлась задачей Коши. Поставим теперь вместо (4.1.6) условия х (Т) = х; у (Т) = О, (4.1.7) т.е. мы хотим, чтобы место падения снаряда. находилось на заданном расстоянии х. Соотношения (4.1.4), (4.1.5) и (4.1.7) определяют теперь краевую задачу. Отметим, что Т здесь является свободным параметром, т.е.

не задаем время полета снаряда, а только требуемое расстояние. Мы можем получить численное решение'этой задачи на основе метода проб и ошибок, которым мог бы воспользоваться. артиллерист: выбирается некоторый угол стрельбы, например, В„и производится выстрел, что математически означает решение задачи Коши с начальными условиями (4.1.5) — (4.1.6), где й (О) = О, . (4.1.8) Отслеживаем траекторию до тех пор, пока у (высота) не обратится в нуль, и фиксируем соответствующее значение х, которое мы обозначим через х,. Если хз < х, то произошел недолет и при следующем выстреле увеличиваем угол д(0) до йг.

Если на этот раз произойдет перелет, то нужное х г~аксинальная .и дальность 1~ ~г х~ и '~г Рис. 4.1. Метод стрельбы Рис. 4.2. Два возможных решения 112 значение д (0) лежит между д~ и ог. Зта ситуация изображена на рис. 4.1. Если же х, < х г < х, то снова увеличиваем о (0) и т.д. Очевидно, эта задача имеет решение только в том случае, если х задано в радиусе действия орудия; максимальная дальность полета снаряда зависит как от начальной скорости ио, так и от значений гл, с и з.

Однако единственным решение будет только тогда, когда х равно максимальной дальности. В противном случае получим ситуацию, изображенную на рис. 4.2. Конечно, время полета Т для этих двух решений окажется разным. Мы могли бы применить ту же самую процедуру к краевой задаче (4.1.1) — (4.1.2), даже если бы она не имела никакой физической аналогии со стрельбой.

В этом случае мы бы выбрали некоторое пробное значение й~ для и (0) и, решив задачу Коши (гги') +г~~(и) =О, и(0) = из, ь (0)=0, (4.1.9) на отрезке [О, 1], получили значение и при г = 1. Для численного решения мы бы, вероятно, с помощью описанной в приложении 2 замены предварительно свели дифференциальное уравнение второго порядка к системе первого порядка и' = и~, (гги~)'+г~а(и) = О. Тогда начальное условие и (0) = 0 перейдет в и~(О) = О. Затем сравниваем полученное значение и в точке г = 1 с заданным в этой точке граничным условием и (1) = р, изменяем значение и (0) и снова решаем задачу Коши.

(Здесь имеются трудности, связанные с интегрированием этой системы вблизи точки г = О. Этот вопрос будет рассмотрен. позднее.) Метод стрельбы, как он описан выше, выглядит как предложенный для данного случая, но его можно систематически развить, если понять, что математическая проблема, решением которой мы занимаемся, является, по существу, нахождением корня нелинейного уравнения с одним неизвестным. Чтобы убедиться, что это действительно так, давайте рассмотрим метод стрельбы для уравнения (4.1.9) и обозначим через х значение и (0) в начальном условии.

Пусть и(г; а) — решение задачи Коши при и(О) = я и Дя) =и(1-;т) — 11. Тогда идея метода стрельбы заключается просто в нахождении значения а, при котором Дт) = О. Мы теперь, в принципе, можем применить любые численные методы отыскания корней уравнений, Некоторые из этих методов будут рассмотрены в следующем разделе. Метод стрельбы можно также применять и для решения двухточечной краевой задачи в случае систем первого порядка общего вида. Рассмотрим систему и' = Я(и, т), 0 < г < 1, с граничными условиями и(0) = 1, и(1) =О. (4.1.12) Легко проверить, что точным решением этой краевой задачи является функция 1 е-то ц(г) -то 1 -зо (4.1.13) Попытаемся получить это решение методом стрельбы, полагая и (0)=т.

(4.1.14) 8. дж. Ортега где и(г) — вектор с л компонентами и;(г) (1= 1,..., л). Предположим, что при г =1 нам заданы значения лт функций из и,,...,ил, а при г = 0 заданы значения и — и функций. Таким образом, имеем ровно л граничных условий. Пусть Уо и У~ — множества функций, значения которых заданы при г = 0 и г = 1 соответственно. Эти множества могут пересекаться. Например, значения и~ могут быть заданы при г = 0 и при г = 1, а значения ит могут быть не заданы ни в одной из граничных точек. Теперь применим метод стрельбы следующим образом.

Присвоим гл не заданным при г = 0 функциям некоторые начальные значения з~,..., т„, и решим численно задачу Коши и =М(и, г), и (0) определяется граничными условиями или (т,,..., я,„) . Для и; Е 0~ сравним заданные граничные значения с соответствующими координатами проинтегрированного решения и(1;а), где а = (а,,..., а ).

Чтобы и(1; а) было решением краевой задачи, значения г,,..., т„, должны быть такими, чтобы выполнялись условия и;(1; а) -заданное значение, и; Е У~ . Эти условия представляют собой систему т нелинейных уравнений с и~ неизвестными т~,..., з„,. Методы решения систем нелинейных уравнений мы рассмотрим в разделе 4.3. Хотя метод стрельбы идейно прост, он может страдать от неустойчивости, возникающей при решении задачи Коши. Неустойчивости такого рода уже рассматривались в гл. 2, и здесь приведем еще один простой пример, сходный с примером, разобранным в разделе 2,5. Рассмотрим уравнение и — 100 и = О (4.1.11) Точное решение соответствующей задачи Коши дается выражением 10 — з 10+ з ц(т, з) — е ! ОГ е10т 20 20 (4.1.15) откуда видно, что значение и(1;т) очень чувствительно к изменению з.

Характеристики

Список файлов книги