Амосов А.А., Дубинский В.А., Копченова Н.В. Вычислительные методы для инженеров (1994) (1095853), страница 42
Текст из файла (страница 42)
2. Преобразование подобия. Говорят, что матрицы А и В аодо6ньс, если существует невырожденная матрица Р (л~атрссс1а подобия) такая, что В = Р'АР. Само преобразование матрицы А к виду В = Р'АР называется преобраэооаниелс подобия. Преобразование подобия матрицы возникает естественным образом как результат замены переменных (или перехода к новому базису) в пространстве т-мерных векторов. Действительно, пусть у — результат применения матрицы А к вектору х, т.е.
у = Ах. Произведем замену переменных х = Рх', у = Ру'. Тогда равенство у = Ах примет вид у' = Р'~АРх'. Это означает, что в новых переменных то же самое преобразование осуществляется уже не матрицей А, а матрицей Р'АР, подобной А. Важно то, что и полученная в результате преобразования подобия матрица имеет тот же набор собственных чисел. В самом деле, рассмотрим характеристический многочлен для матрицы Р'АР и воспользуемся тем, что определитель произведения квадратных матриц равен произведению соответствующих определителей: с1еС(Р'АР— ЛВ) = с4еС(Р'(А — ЛЛ)Р) = = с1еСР'с1еС(А — ЛЕ~АеСР = с$еС(А — ЛВ).
Таким образом, характеристические многочлены, а следовательно, и собственные числа матриц А и Р'АР совпадают. Соответствующие собственные векторы х и ю' не совпадают, но, как нетрудно установить, они связаны равенством х = Рх . Если бы матрицу А с помощью преобразования подобия или последовательности таких преобразований удалось привести к верхнему треугольному виду, то проблему вычисления собственных значений 214 можно было бы считать решенной. Дело в том, что у верхней треуголь- ной матрицы ь, ь ... ь, о ь„...ь, (8.5) о о ...
ь собственными числами являются элементы главной диагонали 6;;. В этом нетрудно убедиться, если записать характеристический много- член: с$е1( — ЛЮ) = (Ьп — Л)(Ь22 — Л) ... (Ь~~ — Л). Оказывается, что преобразованием подобия матрицу А можно привести к еще более простому виду, чем (8.5). Справедлива (см. 123]) следующая теорема. Т е о р е и а 8.1.
Любую квадратную матрииу А с помощью преобразования подобия можно привести к следующему виду: л,, о о ... о о 0 Лэ о2 0 ... 0 0 0 0 Лэ оэ ... 0 0 (8.6) Р'АР= Л= о о о о ... л 0 0 0 0 ... 0 Л Здесь Л1, Л2, ..., Л вЂ” собственные числа матрицы А. Числа о, принимают одно из двух значений О или 1, причем если о, = 1, то обязательно Л; = Лм.
Матрица (8.6) называется жордановой формой матрииьс А. 3 Матрицы простой структуры. В этой главе особое внимание будет уделено матрииал простой структуры, т.е. матрицам, которые с помощью преобразования подобия можно привести к диагональному виду: л, о ... о о л,...о Р'АР= В= О О Запишем равенство (8.7) в виде АР = ЭР и заметим, что оно верно тогда и только тогда, когда каждый у-й столбец матрицы Р является собственным вектором матрицы А, отвечающим собственному значению Лр Таким образом, верна следующая теорема.
215 Т е о р е м а 8.2. Матрица А является латрицей простой структуры тогда и только тогда, когда она и.иеет т линейно независимых собственных векторов еь е2, ..., е,„, отвечающих собственныл значениям Лн Л2, ..., Лггг соотоетственно. Указанные в теореме собственные векторы еь е2, ..., е образуют базис в пространстве т-мерных векторов. Поэтому каждый т-мерный вектор х может быть однозначно представлен в виде линейной комбинации этих векторов: х = сге] + С2е2 + ...
+ С,„еп. Какие же матрицы заведомо могут быть приведены к диагональному виду? Следующие два предложения частично отвечают на этот вопрос. Т е о р е м а 8 3. Если осе собственньге значения матрицы А различны, пго она является иатрицей простой струкгпуры. Т е о р е м а 8.4. Если А — вещественная симметричная матрица, то она подобна диагональной матрице, причем матрица подобия Р может быть выбрана ортогональной (т.е.
удовлетворяющей условию Р-1 — Рт) 4.Локализация собственных значений. С помощью так называемых теорем локализации иногда удается получить грубые оценки расположения собственных чисел. Изложим самый известный из этих результатов — теорему Гершгорина'. Пусть г; = Х ~ а;~~ — сумма модулей внедиагональных элементов г-й г'=-1 Фг строки матрицы А. Обозначим через Я; круг радиуса гг. на комплексной плоскости с центром в точке агь т.е, Я; = (х ЕС: ~з — а;;~ < гг).
Будем называть круги Яг кругали Гершгорина. Имеет место следующее утверждение. Т е о р е м а 8 5 (теорема Гершгорииа). Все собственные значения латарицы А лежат в объединении кругов Яг, 52> ..., Яп. и Возьмем произвольное собственное значение Л матрицы А и соответствующий собственный вектор х. Пусть х; — максимальная по модулю координата вектора х. Запишем ге уравнение системы (8.1) в следующем виде: (ап — Л) х;= — Х а;х. Рг г Семен Аронович Гершгорин (1901 — 1933) — российский математик. Результат, о котором идет речь, был опубликован им в 1931 г. 216 Из этого равенства с учетом оценки ~ х /х,~ ~ 1 следует неравенство )ан — Л~ К Е )а;з~ -1 Кт;. Таким образом, ЛЕВ,.
° Пример 8.2. Для матрицы -2 0.5 0.5 -0.5 -3.5 1.5 0.8 -0.5 0.5 круги Гершгорина изображены на рис. 8.1, Здесь тг = 1, тт = 2, тз = 1.3. Следующий результат является полезным дополнением к теореме Гершгорина. Т е о р е м а 8.б. Если к кру~ов Гериггорина образуют замкнутую область 6, изолированную от других кругов, то в гт' находится ровно 1' собственных значений матрицы А (с учетом их кратности). С л е д с т в и е. Если какой-либо круг Гериморина ггзолирован, то он содержит ровно одно собственное значение матрицы А. Пример 8.3.
Для матрицы А из примера 8.2 в объединении кругов 5г и 52 находится ровно два собственных значения Лг и Л2, а круг Яз содержит ровно одно собственное значение Лз. Ь. Отношение Рэлея. При вычислении собственных чисел и собственных векторов симметричных матриц важную роль играет функция 217 (Ах,х) рх называемая отноигением Рзлеяг. Следующее предложение частично объясняет значение этой величины. Т е о р е м а 8.7. Пусть А — симметричная лагприца. Тогда справедливы следующие утверждения: 1в) минимальное и лаксилальное собственные значения матрицы А вычисляются по форлулал Лкгп = пг1п р (х), Лгпак = гпах р (х); х 1 О х ФО элементами а,*..
и а,... Обозначим через Л ' (г' = 1, 2, ..., т) собственные числа матрицы А,. Рассмотрение вопроса о том, как влияет погреш- ность задания матрицы на погрешность искомых собственных значений, начнем с формулировки следующего известного результата. Т е о р е м а 8.8. Пусть А и А, — симметричные матрицы, а Л и Л *, — их собственные числа, упорядоченньге по возрастанию. Гогда справедливы оценки погрешности гпах ~Лз — Л' ( ч <~А — А,!)г, 1( г'1т (8.10) Е (Л вЂ” Л*)'! < 1А — А,1е. (8.11) Теорема 8.8 означает, что э~дача вычисления собственных значений симметричных матриц очень хорошо обусловлена.
Следовательно, в г Джон Уильям Рэлей (1842 — 1919) — английский физик и математик. 218 2в) вектор х является стационарной точкой функции р (х) (т.е. удовлетворяет условию 8гас1 р (х) = О) тогда и только тогда, когда х — собственный вектор матрицы А. При построении методов решения проблемы собственных значений существенно используется то обстоятельство, что если х — хорошее приближение к собственному вектору е, то р (х) — хорошее приближение к собственному числу Л .
6. Обусловленность задачи вычисления собственных значений и собственных векторов. Пусть А, — матрица с приближенно заданными ззэ ° ° этом случае собственные числа надежно определяются заданием элементов матрицы. К сожалению, для несимметричных матриц дело обстоит совсем иначе. Хотя задача вычисления собственных значений и в этом случае является устойчивой, для многих несимметричных матриц собственные значения чрезвычайно чувствительны к погрешностям задания коэффициентов.
Пример 8.4. Приведем принадлежащий Дж.Х.Уилкинсону 183] пример мат— рицы, очень плохо обуословленной по отношению к проблеме собственных значений. Собственными числами верхней треугольной матрицы 20-го порядка 202000...00 019200...00 001820...00 0000...220 0 0 0 0 ... 0 1 являются числа Лг = 1, Л2 = 2, ..., Лзо = 20. Заметим, что для этой матрицы характеристический многочлен Р2о(Л) = (20 — Л)(19 — Л)...(1 — Л) только лишь знаком отличается от многочлена, рассмотренного в примере 3.8 в связи с плохой обусловленностью его корней.
Добавим малое е к элементу а2о з = О. В результате характеристическое уравнение примет вид (20 — Л)(19 — Л) ... (1 — Л) = 20зэе. При е = 10 ш собственные значения возмущенной матрицы таковы: Л * зз 0.998, Л * зз 2.11, Л * н 2.57, Л * ь н 3.97 * 1.09 з, Лб г м 5.89 ~ 1.95 з, Л ' 9 и Э и 8.12 + 2.53 з, Лг*о и и 10.5 + 2.73 з, Лгг гэ = 12.9 ~ 2.53 з, Л гх г5 ~ 15.1 + 1 1.95 з, Лг*6 г7 ~ 17.0 т 1.09 з, Л,*, ~ 18.4, Л,*„~ 18.9, Л,*, зз 20.0 Как нетрудно видеть, большинство значений оказались позпзостью искаженными. Отметим, что число обусловленности сопг1 (А) матрицы А не харак— теризует обусловленность матрицы по отношению к проблеме собственных значений, Оказывается, что такой характеристикой чувствительности собственных значений относительно погрешности задания матрицы для матрицы простой структуры служит число обусловленности матрицы Р, столбцы которой являются собственными векторами матрицы А.
В подтверждение сказанного приведем следующий результат. Т е о р е м а В.У.Пусть Р'АР = Р, где  — диагонаяъная язатригга 219 из собственных значений матрицы А, и пусть Н = совхоз(Р)1А — А,~ Тогда каждое собственное значение, матрицы А, удалено от некоторо- го собственного значения матрицы А не более чем на г1. Пусть х — собственный вектор матрицы А, отвечающий собственному значению Л, а х* — собственный вектор приближенно заданной матрицы А „отвечающий собственному значению Л '. Прежде чем обсуждать обусловленность задачи вычисления собственного вектора х, заметим, что здесь вопрос о выборе меры близости векторов х* и х не является тривиальным. Выбор в качестве такой меры величины ~х — х'~ неудачен. Дело в том, что собственные векторы х' и х не определяются однозначно.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
