Амосов А.А., Дубинский В.А., Копченова Н.В. Вычислительные методы для инженеров (1994) (1095853), страница 38
Текст из файла (страница 38)
В отличие от случая решения систем линейных алгебраических уравнений использование прямых методов здесь исключается. Единственно реальный путь решения системы (7.1) состоит в использовании итерационных методов для получения приближенного решения х' = (х,', ю', с„')т, удовлетворяющего при заданном е > 0 неравенству ~х' — в~ < е. Прежде чем перейти к изучению методов решения системы (7.1), подчеркнем важность понимания того факта, что эта задача может вообще не иметь решения, а в случае, когда решения существуют, их число может быть произвольным. В общем случае весьма сложно выяснить, имеет ли система решения и сколько их.
Пример 7.1. Рассмотрим систему уравнений 4х~+ а~=4, т -я~+ 1=0. Здесь х~, гг — неизвестные, 1 — параметр. Первое уравнение задает на плоскости х~йв~ эллипс, второе уравнение — параболу. Координаты точек пересече— д) Рис 7.1 192 „„я этих кривых дают решения системы. Если значения параметра т изменяся от -2 до 2, то возможны следующие ситуации (рис. 7.1): а) т = — 2— ешений нет; б) $ = -1 — одно решение; в) т = Π— два решения; г) 1 = 1— ри решения; д) 1 = 2 — четыре решения. Для дальнейшего удобно использовать сокращенную векторную форму записи систем.
Наряду с вектором неизвестных х = (х1, хт, ..., „)т рассмотрим векторфункцию 7 = Я, ~, ..., Д,)т. В этих обозначениях система (7.1) примет вид у(х) = О. (7.2) Будем считать функции Дх) непрерывно дифференцируемыми в неко- торой окрестности решения х. Введем для системы функций Я, ~~, ..., У„.иатрии у Якоби дЯ(ф <ЩИ д~~(х) дх1 дх2 "' дх„ дЯ(х) дЯ~(х) дХг(х) дх1 дхт " дх~ (7.3) дЯ„Я дух) дД,„(х) дх~ дхг " дх~ которая будет использована в дальнейшем. 2. Основные этапы решения. Как и в случае уравнения с одним неизвестным (см. гл. 4), отыскание решений начинают с этапа локализации. Для каждого из искомых решений х указывают множество, которое содержит только одно это решение и расположено в достаточно малой его окрестности.
Часто в качестве такого множества выступает параллелепипед или шар в ш-мерном пространстве. Иногда этап локализации не вызывает затруднений; соответствующие множества могут быть заданными, определяться из физических соображений, из смысла параметров х, либо быть известными из опыта решений подобных задач. Однако чаще всего задача локализации (в особенности при больших тл) представляет собой сложную проблему, от успешного решения которой в основном и зависит возможность вычисления решений системы (7.1).
На этапе локализации особое значение приобретают квалификация исследователя, понимание им существа решаемой научной или инженерной проблемы, опыт решения этой или близких задач на ЭВМ. Во многих случаях полное решение задачи локализации невозможно и ее можно считать решенной удов- летворительно, если для х удается найти хорошее начальное прибли- 7-28 193 условию 1я — в~ < 6. Пример 7.1. Произведем локализацию решений системы ха+ ~ =8та,, х11п х~ = х~1пх~. (7.4) На плоскости т1О~ построим графики уравнений системы. График первого уравнения — это лист Декарта~ (рис. 7.2, а). График второго уравнения состоит из луча — биссектрисы первого координатного угла и кривой, пересекающей эту биссектрису в точке (е, е)т (рис.
7.2, б). Из рис. 7.3 видно, что эти кривые пересекаются в трех точках А, В, С, т.е. система имеет три решения. Так как оба графика симметричны относительно прямой а = щ то координаты точки В равны и их легко вычислить: г1 = 4, з~ = 4. В силу этой же симметрии достаточно определить только координаты х~, з~ точки С, так как точка А имеет координаты з1 = з~ и х~ = з~. Из рис.
7.3 замечаем, что точка С содержится в прямоугольнике П = 1(х, у): 3.5 ( ( х1 ( 4, 1.5 ~( зг ~ 2.5) и т~ ~ 3.8, х~ м 2, Подчеркнем, что только по виду уравнений системы (7.4) без использования графического метода установить число решений и найти приближения к ним было бы весьма трудно. К сожалению, при числе уравнений ш > 3 геометрические иллюстрации теряют свою эффективность. 3 а м е ч а н и е. Иногда удается понизить порядок т системы, выразив одно или несколько неизвестных из одних уравнений системы и подставив соответствующие выражения в другие уравнения.
~ Рене Декарт (1596 — 1650) — французский философ, математик, физик, физиолог. Впервые ввел понятие переменной величины и функции. В аналитической геометрии создал метод прямоугольных координат. 194 жение Ыс'. В простейших случаях (например, для системы двух уравнений с двумя неизвестными) могут быть использованы графические методы (см. пример 7.1), На втором этапе для вычисления решения с заданной точностью е используют один из итерационных методов решения нелинейных систем.
Будем считать, что определения 3 4.1, связанные с характеризацией сходимости итерационных методов, остаются в силе, причем в неравенствах (4.5) и (4.6) знак модуля заменен на знак нормы, а б-окрестность решения я понимается как множество точек я, удовлетворяющих Пример 7.2.
Система уравнений ~з+ у~=8ху, т1пу = 1пт 1+- з 1 ~водится к одному нелинейному уравнению хе + х~ = 8 г т после того, как 1 "а второго уравнения выражается у = хс. 3. Корректность н обусловленность задачи. Будем считать, что система (7.1) имеет решение в, причем в некоторой окрестности этого 195 неопределенности Ю, содержащей решение системы (7.1) такой, что для всех х б З вектор ное уравнение у(х) = О удовлетворяется с точностью до погрешности.
Область В может иметь довольно сложную геометрическую структуру (рис. 7.4). Мы удовлетворимся толь- х Рис. 7.4 ко лишь оценкой радиуса е этой области. Предположим, что для близких к х значений х вычисляемые значения у'(х) удовлетворяют неравенству $~(х) — Х'(х) ~ ~ Ь(У'). Тогда е можно приближенно оценить с помощью неравенства е < < ~ (Г(х)) 1~ Ь(~'). Таким образом, в рассматриваемой задаче роль абсолютного числа обусловленности играет норма матрицы, обратнол матрице Якоби у (х).
$7.2. Метод простой итерации 1. Описание метода Предположим, что требуется найти решени8 х = (х1, хр, ..., х~)т системы (7.1) с заданной точностью > О. Преобразуем систему (7.1) к следующему эквивалентному виду (к виду, удоб. ному для итераций): х1 — — <р1(х~, х~, ..., х ), хз 'Р2(Ч~ х~~ -"~ %в)> (7.6) решения матрица Якоби у'(х) невырождена. Выполнение последнего условия гарантирует, что в указанной окрестности нет других решени~ системы (7.1). Случай, когда в точке х матрица ~"(х) вырождена, явля.
ется существенно более трудным и нами рассматриваться не будет. О одномерном случае первая ситуация отвечает наличию простого корня уравнения У(х) = О, а вторая — кратного корня. В $ 4.2 было установлено, что погрешность вычисления функции ! приводит к образованию вокруг корня уравнения ~(х) = О интервал неопределенности, внутри которого невозможно определить, какая щ точек является решением уравнения. Аналогично, погрешности в вычислении век. тор-функции ~приводят к появлению обхасщ1 Если ввести вектор-функцию 1о = (1о1, 1о2, ..., 1р,„)~, то система (7.5) запишется так: (7.6) Пусть начальное приближение х<о1 = (х11о>, х21в1, ...! х1о1)т задано.
Подставляя его в правую часть системы (7.6), получим х1 '1 = 1в(х1 ш ). Подставляя х"1 в правую часть (7.6), найдем х<21 = 1о(х111) и т.д. Продолжая вычисления по формулам х< ~'11 = ( '1 Х1 ) (7.7) получим последовательность х1о1, х111, ..., х1 "1, ... приближений к решению х. Запись (7.7) означает, что очередное приближение х< ""1 вычисляется через предыдущее приближение х1 "1 следующим образом: Х! !С 1) У1(Х(1Й), Х21!"1 ... Х'Й) ) 1О2(х1 ! х2 '"! х )! х1 "+11 = ~р (х1"' х1"' ... х< "1).
т 1 ' 2 '"' и Отметим существенную аналогию с методами простой итерации для решения одного нелинейного уравнения (см. гл. 4) и системы линейных алгебраических уравнений (см. гл. 6). 2. Сходимость метода. Пусть 1о'(х) — матрица Якоби, отвечающая вектор-функции 1в(х) (см. ~ 7.1). Сформулируем теорему о сходимости метода простых итераций, являющуюся аналогом теорем 4.2 и 6.1. Т е о р е и а 7.1. Пусть в некоторой о-окрестности решения х функции ~р,(х) (1 = 1, 2, ..., т) дифференцируелы и выполнено неравен- ство Ь'(х)1 < В (7.8) ~Х(п) Х~ С Дп1Х10) Ц (7.9) 197 1де О ~ в ( 1, д — постоянная.
То1да неэависиао от выбора начально1о.приближения х1в1 иэ укаэанной а-окрестности корня ип1ерационная последовательность не выходит иэ этой окрестности, метод сходится со скоростью ьеолетРической про1рессии и справедлива следующая оценка по1решности: 3 а м е ч а н и е 1. Условие (7.8), грубо говоря, означает, что )) д((г, окрестности решения производные — для всех ( и )' должны быть дх "достаточно малы по модулю".
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
