Амосов А.А., Дубинский В.А., Копченова Н.В. Вычислительные методы для инженеров (1994) (1095853), страница 41
Текст из файла (страница 41)
209 Например, метод Эйлера приводит к процессу й( " = з'~' — (1Ь1 — 1а)(~' (в~Ь>, Ц))-1~' (з(1), 11), 1 — О 1 11 где в' ' = з (О), х<"' — приближение к я (ЮуД (рис. 7.6). Конечно, метод Эйлера приведен здесь только для удобства иллюстрации, а в реальной ситуации используется один из методов более высокого порядка точности. Полученное указанным способом значение я'®' можно использовать и как хорошее начальное приближение к з(1) в одном из итерационных методов решения системы (7.24).
3 а м е ч а н и е 1. Иногда метод дифференцирования по парамет' ру называют методом Давиденко. 3 а м е ч а н и е 2. Методы продолжения и дифференцирования по параметру нередко позволяют успешно преодолевать непростую ''' проблему локализации. Однако следует отметить, что эти методы ' далеко не всегда оказываются эффективными и их практическое ' '' 'применение требует определенной осторожности. ' " '$7%. Дополнительные замечания 1. Существенно более подробная и богатая информация о системах нелинейных уравнений и методах их решения содержится в книгах [бЦ, [32).
Рекомендуем также обратиться к учебнику [9!. 2. В последнее время значительный интерес проявляется к так называемым квазиньютоновским методам, которые получаются при специальных аппроксимациях матрицы Якоби. Часто такая аппроксимация сочетается с использованием гибридных алгоритмов подобно тому, как это делается для решения одного нелинейного уравнения (см, т 4.8), Полезные обсуждения таких методов можно найти в [321.
3. Иногда подходящим для решения задачи методом оказывается метод установления (см. [91). Чаще это бывает тогда, когда решение системы (7.1) описывает устойчивое стационарное состояние некоторой физической системы. 4. Рекомендовать. тот ити иной метод как наиболее подходящий для реш~ ния системы нелинейных уравнений невозможно без тщательного изучения конкретной задачи. Глава 8 МЕТОДЫ РЕШЕНИЯ ПРОБЛЕМЫ СОБСТВЕННЫХ ЗНАЧЕНИЙ Вычисление собственных значений и собственных векторов — одна из тех сложных вычислительных задач, с которой часто приходится сталкиваться инженеру или научному работнику, занимающемуся конструированием или анализом больших технических систем. В электрических и механических системах собственные числа отвечают собственным частотам колебаний, а собственные векторы характеризуют соответствующие формы (моды) колебаний. Знание собственных чисел позволяет анализировать многие процессы, исследовать и управлять ими.
Оценка величин критических нагрузок при расчете строи— тельных конструкций также основана на информации о собственных значениях и собственных векторах матриц. Собственные числа и собственные векторы являются важнейшими характеристиками, отражающими существенные стороны линейных моделей. Поэтому, конечно, дальнейшее расширение процесса математического моделирования приведет к тому, что владение методами решения проблемы собственных значений станет неотьемлемым элементом инженерного образования.
~ 8.1. Постановка задачи. Некоторые вспомогательные сведения 1. Постановка задачи. В данной главе мы ограничимся рассмотрением методов решения проблемы собственных значений только для квадратных матриц А порядка т с вещественными элементами а,1 (~, 1' = 1, 2, ..., ти). Будем всюду под ~~х~ понимать норму 1Ц2 и под (х, у) — скалярное произведение векторов х, у (см. ~ 5.2). Напомним, что число Л называется собствеянил знамением (собст- 211 венным числом) матрицы А, если существует ненулевой вектор х, удов— летворяющий уравнению (8.1) Ах= Лх и называемый собственным вектором матрицы А, отвечающим собственному значению Л. Запишем систему (8.1) в виде (А — ЛХ)х = О. Эта однородная система имеет ненулевое решение х тогда и только тогда, когда определитель матрицы системы равен нулю, т.е. (8.2) де$(А — ЛХ) = О.
Раскрытие этого уравнения приводит к так называемому характери- стическому (или вековому) уравнению (8.3) Л + р,Л + р,л - + ... + р„,Л+ р„= О, представляющему собой алгебраическое уравнение степени т. Известно, что характеристическое уравнение имеет в области комплексных чисел ровно т корней Л|, Л~, ..., Лн (с учетом их кратности). Таким образом, каждая квадратная матрица А порядка т обладает набором из т собственных значений Л~, Лг, ..., Л„. Если матрица А симметричная, то все ее собственные значения являются вещественными числами. Для несимметричных матриц возможно наличие комплексных собственных значений вида Л = а + Ц с ненулевой мнимой частью.
В зтом случае собственным значением мат- рицы обязательно является и комплексно~опряженное число Л = а— — 4. В ряде задач механики, физики, химии, техники, биологии требуется получение всех собственных значений некоторых матриц, а иногда и всех собственных векторов. В такой постановке задачу называют полной проблемой собственных значений. Довольно часто определению подлежат не все собственные значения и собственные векторы, а лишь небольшая их часть. Например, существенный интерес во многих приложениях представляют максимальное или минимальное по модулю собственное значение или же собственное значение, наиболее близко расположенное к заданному значению. Такие задачи являются примерами частичных пробле и собственных значений. Может показаться, что достаточно ограничиться только рассмотрением методов решения полной проблемы собственных значений, так 212 как все остальные проблемы являются ее частными случаями.
Однако такой подход неоправдан, поскольку ориентирует на работу по получению значительного объема заведомо ненужной информации и требует существенно-большего объема вычислений, чем это необходимо в действительности. Поэтому для решения различных частичных проблем собственных значений разработан ряд специальных методов. Пример 8.1 Найдем собственные числа матрицы 2 -9 5 1.2 -5.3999 6 1 -1 -7.5 (8.4) Запишем характеристический многочлен 2 — Л вЂ” 9 5 Рэ(Л) = с1еС(А — ЛЬ) = с1ей 1. 2 -5.3999-Л 6 1 -1 -7.5-Л Ла 10 8999Лг 26 49945Л вЂ” 21.002.
Используя один из итерационных методов решения нелинейных уравнений (например, метод Ньютона), нетрудно определить один из корней уравнения Рэ(Л) = О, а именно Л1 ~ — 7.87279. Разделив Рз(Л) на Л вЂ” Лн имеем Ра(Л) Л+ 7 .
87279 м Р~(Л) = Л + 3,02711Л + 2.66765. Решая квадратное уравнение Р2(Л) = О, находим корни Лт 3 ~ — 1.51356 т 0.613841 а. Таким образом, матрица А имеет одно вещественное собственное значение м — 7.87279 и два комплексно-сопряженных собственных значения Л2 а м ~ -1.51356 ~ 0.613841 а. Численные методы решения проблемы собственных значений, использовавшиеся до конца 40-х годов, сводились в конечном счете к решению характеристического уравнения (8.3). Этой классической схеме следовали и мы в примере 8.1.
При реализации такого подхода основные усилия были направлены на разработку эффективных методов быстрого вычисления коэффициентов характеристического уравнения. Методы такого класса получили названия прялмл; к ним относятся пользовавшиеся популярностью методы Крылова', Данилевского, Леверье и др. ~ Алексей Николаевич Крылов (1863 — 1945) — русский математик, меха— ник и кораблестроитель, является автором первого в мировой научной литературе курса по численным методам — изданных в 1911 г.
"Лекций о приближенных вычислениях". 213 Однако указанный подход становится неудовлетворительным, если речь идет о вычислении собственных значений матриц, имеющих порядок т в несколько десятков (и тем более сотен), т.е. матриц довольно скромных по современным понятиям размеров. Одна из причин состоит в том, что хотя задачи (8.1) и (8.3) формально эквивалентны, они имеют разную обусловленность. Так как корни многочлена Р (х) высокой степени чрезвычайно чувствительны к погрешностям в коэффициентах, то на этапе вычисления коэффициентов характеристического уравнения может быть в значительной степени потеряна информация о собственных значениях матрицы. С появлением ЭВМ широкое распространение получили итерационные методы решения проблемы собственных значений, не использующие вычисление характеристического многочлена. К началу 60-х годов эти методы практически полностью вытеснили прямые методы из практики вычислений.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
