Дерябина Г.С.++Чуев В.Ю.++Вектор-функция нескольких перменных. 2002г (1095691)
Текст из файла
Московск~й государственньй технжеск~й университет имени Н.3. Наумана ВВОДНЫЕ ЗАМЕ~4АНИЯ УДК 517(075.в) ББК 22.161 дуюшее выражение: )х! = 1БВХ 5-7038-2013-8 © МГТУ им.Н.Э. Баумана, 2002 УДК 517(075.8) ББК 22.161 ЛЗ6 Рецензенты: А.Н. Выборное, А.В. Коласа Дерябина Г.С., г1уев В.Ю. Д36 Вектор-функция нескольких переменных: Методическое пособие. — М.: Изд-ва МГТУ им. Н.Э. Баумана, 2002. — 27 с., ил, 18ВХ 5-7038-2013-8 Изложены основные определения и геометрическая интерпретация вектор-функции нескольких переменных (ВФНП). Рассмотрены понятия предела и непрерывности, диффереицнруемости н частных производных ВФНП, связь между этими панятиями, а также правило вычисления частных производных композиций ВфНП, изложены основные теоремы.
Приведены примеры, а также задачи для самостоятельнага решения. Цля студентов 1-го курса всех факультетов М)ТУ им. НзЭК Баумана, изучающих курс мДифференцивльнае исчисление функций нескольких переменных»ч Нл. 11. Определение. п-мерным вектором называется упорядоченный набор и действительных чисел, т.е.
х = (х1, хз,..., х„). Числа, составляюшие этот упорядоченный набор, назовем координатами вектора. Определение. Упорядоченный набор и чисел, состоящий из одних нулей, назовем нуль-вектором, т.е. О = (О, О,..., 0). Определение. Ллиной и-мерного вектора х назовем сле- Очевидно, что длина вектора )х) > О, причем )х) = О сз х = О. Определение. Суммой двух и-мерных векторов х = (х1, х2,, х„) и у = (у1, уз,..., у„) называется вектор х+ у = = (х1 + у1, хз + уз,..., х„+ у„), т.е. и-мерный вектор, каждая координата которого равна сумме соответствующих координат векторов-слагаемых.
Определение, Произведением н-мерного вектора х на действительное число гг называется и-мерный вектор ггх = (ГГХ1,ГГХ2,...,ГГХп), т.Е. и-МЕРНЫЙ ВЕКТОР, КажлаЯ КООРДИ- ната которого равна произведению числа сг и соответствуюшей координаты исходного вектора.
Определение. Множество всех гз-мерных векторов Ьв с введенными выше операциями сложения векторов и умножения вектора на число назовем п-мерным векторным пространством. Определение. Множество Л" называется п-мерным пространством, а его элементы — точками, если задан закон, сопоставляющий каждой упорядоченной паре точек А, В Е Ли единственный вектор АВ = х Е В" таким образом, что: 1) для любой точки А Е Л" н любого вектора х Е В" существует единственная точка В Е Л", такая, что АВ = х, 2) для любых трех точек А, В., С Е Л" выполнено равенство АС = АВ+ ВС. В дальнейшем точки и-мерного пространства будем обозначать большими буквами латинского алфавита, для и-мерных векторов во избежание путаницы будем использовать стрелку сверху, т.е.
Х, У, х", — точки п-мерного пространства, ах, у, г,... или ХУ, ХЯ,... — и-мерные векторы. Зафиксируем некоторую точку О п-мерного пространства. Эту точку назовем началом координат. Определение. Радиусом-вектором точки и-мерного пространства А е Л" называется и-мерный вектор, соединяющий эту точку с началом координат, т.е.
вектор ОА. Определение. Координатами точки в и-мерном пространстве называются координаты ее радиуса-вектора. Очевидно, что все координаты точки О равны пулю. Учитывая равенство ОУ = ОХ+ ХУ или ХУ = ОУ вЂ” ОЛ, получаем, что координаты п-мерного вектора равны разностям соответствующих координат его конца и начала, т.е.
если Х(х1, х2,...,х„), У(у1, У2,..., у„), то г = ХУ = (У1 — х1, У2— *2.: Уп Хп) ° В да.тьнейшем для обозначения точек будем использовать также верхние индексы, а нижние индексы будем применять для обозначения соответствующих координат точек. Например х2 з обозначает третью координату точки Х2. Определение. Расстоянием между точками в и-мерном пространстве называется длина вектора, соединяющего эти точки, те. если Х(х1,х2,,хп)~ У(У1 У2 .>Уп) р(Х, У) = ~ХУ~ = Определение. Открытым и-мерным шаром У(Х,к) ра-о диуса к с центром в точке Х называется множество точек о Х, расстояние от которых до точки Х меньше числа е, т.е. У(Хо ) (Х. (Х Хо) < Определение.
Множество В С Л" точек п-мерного пространства называегся открытым, если каждая точка этого ъшожества входит в пего вместе с некоторым открытым шаром не- нулевого радиуса. Определение. Окрестностью точки и-мерного пространства Х е Л" называется произвольное открытое множество сг(ХО) С Л", содержащее эту точку. Определение. Проколотой окрестностью точки и-мерного пространства Хо Е Л" называется множество б" (Х~) = о'(Хо) 1, (Хо), где у(ХО) — некоторая окрестность этой точки. Таким образом, проколотая окрестность точки Х вЂ” окрест- О ность точки Х без самой этой точки.
Отметим, что пересечение любого конечного числа окрестностей точки Х является окрестностью этой точки, а пересе- О чение любого конечного числа проколотых окрестностей точки Л О является проколотой окрестностью этой точки. Глава 1. ОСНОВНЫЕ ОПРЕДЕЛЕНИЯ Определение. Если каждой точке Х = (х1,хз,...,х„) подмножества Ю и-мерного пространства Х = Л" ставится в соответствие единственная точка У = (у1., У2,, у,„) т-мерного пространства У = Л™, то говорят, что задана т-мерная вектор- функция нескольких переменных (ВФПП) У = 1."(Х) = г'(х1: х2,,хп). где У = (У1(Х),уя(Л),...,Ут(Х)). Определение (равносильное). Если каждой упорядоченной совокупности независимых переменных Х = (х1, х2,..., х„) ставится в соответствие единственная упорядоченная совокупность переменных У = (У1, у2,..., У,„)., то говорят, что задана ВФНП "1' = Г(Л).
Рис. 2 Рис. г Рис. 3 Определение. Функции у, = Яхы хз,..., х„), 1,...,ж, называются координатными функциями вектор- функции У = Е(Х) = (~1(х),Ях),...,~,„(х)). Определение. Множество 0 точек Х = (хг, хз,..., х„) в-мерного пространства Х = В" (или множество упорядоченных совокупностей (хыхг,..., х„)), для которых определена функция У = Г(Х), называется областью определения или областью существования данной функции, а множество Е С Гг~ всех точек т-мерного пространства У = Р(Х)„таких, что Х б .О, называется областью значений этой функции.
Отметим, что важным частным случаем ВФНП является рассмотренный в курсе линейной алгебры линейный оператор А: Ь" — 1."', который каждому вектору и-мерного линейного пространства Ь" ставит в соответствие единственный вектор ти-мерного линейного пространства Ь'а и при этом выполнены свойства линейности, т.е. 1) А(х+ у) = А(У)+ А(у) для Ч У,у Е ь"; 2) А(ах) = аА(х) для Ча Е В, Ч У Е ХР Глава 2. ГЕОМЕТРИ'ЧЕСКАЯ ИНТЕРПРЕТАЦИЯ ВФНП Лля двумерных и трехмерных пространств вектор-функция допускает геометрическую интерпретацию. Пусть Х = (хмхз), У = (ум уз). Вектор-Функция У = = Е(Х) отображает одно двумерное пространство (плоскость) в другое, также двумерное, т.е.
Е : Л~ — ~ гг~. В этом случае каждой области Л в плоскости (хм хз) соответствует, как правило, область Е в плоскости (уы уг) (рис. 1). Пример 1. Пусть в плоскости Х задан прямоугольник хг Е (0,1), хг Е [0,2я) и пусть у1 = Зхг созх2, уз = 2х1зшхг, У = (уы уз). Панная ВФНП У = Г(Х) отображает этот прямоугольник в область, ограниченную эллипсом с центром в начале координат, с большой полуосью а = 3 и малой полуосью Ь = 2, 2 2 задаваемым уравнением — 1 + 2 = 1 (рис.
2). 9 4 Пусть Х = (хы х2), У = (уг,у2; уз) Вектор-Функция У = Е( Х) отображает двумерное пространство в трехмерное, т.е. Е: Гсг -~ Лз. При этом каждой области .0 в плоскости Х соответствует, как правило, часть некоторой поверхности 5 трехмерного пространства У (рис. 3). Рис. 6 Рис. 4 Рис. 7 Рис. в Пример 2. Пусть в плоскости Х задан круг хг + хг < 1 1 2— и задана вектор-функция У = Г(Х): У1 = х1 Уг = х21 г г уз = х1 + хг.
Эта вектор-функция отображает данный круг в часть эллиптического параболоида, описываемого уравнением УЗ = У21 + Угг (УЗ < 1) (рнс. 4). Пустз' Х вЂ” (х1 *2 хз) У = (У1, У2). Вектор-функция = Г(Х) в этом случае отображает трехмерное пространство в двумерное, т.е, Г: Гс — ~ Гс . При этом каждая область Ю 3 2 трехмерного пространства отображается, как правило, в плоскую (двумерную) область Е (рис.5). Пример 3. Пусть в трехмерном пространстве Х задан куб х1 Е [О, Ц,. хг с [О, Ц, хз Е [О, Ц и задана вектор-функция У = = Г(Х): У1 = х1 + хг, У2 = хз. Образом этого куба является прямоугольник в плоскости У: У1 Е [0,2], уг Е [О, Ц (рис. 6).
Пусть Х = (х1,хг,хз), У = (у1„уг,уз). Вектор-функция У = Г(Х) отображает в общем случае одно трехмерное пространство в другое, также трехмерное, т.е. Г: В~ — ~ Л~. При этом каждой области тг трехмерного пространства соответствует, как правило, область Е также трехмерного пространства (рис. 7). Пример 4.
Пусть в трехмерном пространстве Х задан х прямоугольный параллелепипед х1 Е [О, Ц, хг Е [О, я], хз Е [О,-] '2 Рис. В и залана вектор-функция У = Г(Х): уг = хг соя хз соз хз, уз = = х1 з1ц хз соя хз, уз = хзз1п хз. Образом этого параллелепипеда является четверть шара у1~+ у~я + уз~ < 1; уз > О; уз > О (рис. 8).
Глава 3. ПРЕДЕЛ И НЕПРЕРЫВНОСТЬ ВФНП Определение 1. Точка т-мерного пространства У~ = (уою у~6,,,уо ) называется пределом ВФНП У = Г(Х) при Х вЂ” ~ Х = (хоыхо~,...,х~), т.е. Уо = 1пц Г(Х), если фУнк- Х вЂ” ~Хо ция У = Г(Х) опрелелена в некоторой проколотой окрестности о'(Х ) точки Х и для 'й > О существует такое 6 > О, что для о о ЧХ, удовлетворяющего неравенству О < /Х вЂ” Х ) < 6, выполняется неравенство )Г(Х) — У~! < к. Определение 2 (эквивалентное). Точка т-мерного пространства У~ = (у~,уз~,...,у~ ) называется пред лом ВФНП = Г(Х) при Х вЂ” Хо =- (хо,хою...,хо), если для любой окрестности У(Уо) точки У~ найлется проколотая окрестность 1)(Х~) точки Хо, такая, что для ЧХ е У(Хо) У = Г(Х) Е Е У(УО) Покажем эквивалентность этих определений. Пусть У = 1иц Г(Х) согласно определению 2.
Характеристики
Тип файла PDF
PDF-формат наиболее широко используется для просмотра любого типа файлов на любом устройстве. В него можно сохранить документ, таблицы, презентацию, текст, чертежи, вычисления, графики и всё остальное, что можно показать на экране любого устройства. Именно его лучше всего использовать для печати.
Например, если Вам нужно распечатать чертёж из автокада, Вы сохраните чертёж на флешку, но будет ли автокад в пункте печати? А если будет, то нужная версия с нужными библиотеками? Именно для этого и нужен формат PDF - в нём точно будет показано верно вне зависимости от того, в какой программе создали PDF-файл и есть ли нужная программа для его просмотра.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
