Дерябина Г.С.++Чуев В.Ю.++Вектор-функция нескольких перменных. 2002г (1095691), страница 3
Текст из файла (страница 3)
Постаточным условием дифференпируемости координатных функций является непрерывность нх самих и всех их ду1 ду1 ду1 ди1 дгг ' ' ' дгь ду2 дуг ду2 дг1 дгг дгь ду1 дх1 дх1 д11 дгг дхг дхг д11 дгг дх~ ду2 дх„ дх„ дх„ дх„ д11 дгг ' " дг„ дх1 дхг дх„ Пример В. Найти матрицу Якоби и якобиан сложной ВФ- НП И" = Г(Х) = Г(х'(Т)), где И' =. (и; и); Я = (х;у); Т = (т,гр); 2 2, и = 1п(х + У )' ( х = т соз гр; у и = агсгб -; ~ у = т з1п гр.
х' 2х ди .г+ уг ду х2+ У2' 1 1 х2+ 2' дУ дУ дХ дТ дХ дТ' ду — = тсаз1о. дгр дх — = — тяпу, д1о дх ду — = соз гр, — = з1п 1а, дт ' дт илн, в развернутом виде, частных производных первого порядка, что следует из теоремы о достаточных условиях дифференцируемости скалярной ФНП. Прн этом а. = — (Х ) для Чу =. 1, 2,..., т. -о дху Определение.
Полным дифференциалам ВФНП У = Г(Х) называется главная или линейная относительно приращений всех аргументов Ьх1;Ьхг;...;гз,х„ часть полного приращения этой вектор-функции,т.е. дГ дГ дГ ИУ = — Их1+ — Ыхг+... + — г1х„, дхг дх, " ' дх„ где по-прежнему дифференциалы независимых переменных совпадают с их приращениями, т.е. Ыхг = Лх1; ганг = ~1хг',... ', ~хи = Гехи ° Определение. Частным дифференциалом ВФНП У = Г(Х) по у-й переменной называется главная или линейная часть частного приращения этой вектор-функции по переменной у, т.е. В заключение приведем теорему а частных производных композиции вектор — функций, доказательство которой непосредственно следует из теоремы о производных сложных скалярных ФНП и теоремы о частных производных ВФНП: матрица Якоби композиции ВФНП Х = С(Т) и У = Г(Х), т.е. функции У = Г(С(Т)), равна произведению матриц Якоби, составляющих эту композицию функций, т.е.
дг1 ду1 ду1 дхг дуг ду2 дх1 дхг Найдем соответствующие частные производные ( у~ у дх /у' 2 ~, хг/ х2+ у2 дх1 дгь дх2 дгь Тогда дх дх дт д~р ду ду дг др ди ди дх ду ди дю дгг' дЮ дН дт ы~т 2у х2 + у2 х2+ у2 2х х2» 2 с сов1р — тяп1р~ 81п <р т сов ~р / х2+ д2 (ут 81п 1р + хт сов у) 2 + д2 ( — у сов у+ х яп 1р) х2+ у2 Окончательно получаем ди д14г дг дТ ди дт д др ди д~р Вычислим якобиан: ди ди дт д1р ди ди 1' = 11е1 20 21 2(х сов р+ уяп~р) 2(-хтяп~р+ утсову1) 1 ~' 2(хсоз~р+ уз1п1р) 2( — хтв1пу+ утсо81р)~ х2+ д2 1,( — усову+ х81п~р) (утз1п~р+ хтсозу / 1 ~ 2(хсов1р+уз1п<р) 2( — хт81п1р+утсову)'~ х + у ( — усо81р+ х81п~О) (дтв1пф+ хтсозф) 2 2 2[(х сов ~р+ уяпу)(утяну+ хтсо81р)— (х2+ д2)2 -( — у сов у + х 81п ~р)( — хт яп 1р + ут соз у)] = 2 (хутсов увило+ у тяп у+ х т сов у+ 2 ° 2 2 2 (х2 + д2)2 +хут81п1рсо81р — хутв1п~рсо81р+ х тяп у+ д тсоз ~р— 2 ° 2 2 2 хут яп1рсозр) — [х т(яп <р+ соз 1р)+ 2 ° 2 2 (.2» у2)2 2т(у + х2) 2т 2т 2 +у т(яп у+ сов р)]— (х +у) (х +у) т т ЗАДАсвИ ДЛЯ САМОСТОЯТЕЛЬНОГО РЕШЕНИЯ 1.
Найти область определения ВФНП: а) и = 1п(бх — х2 — д2) д = ~у~-~ у б)и= х — х2 — —, Ф ху 4/2б 2 1 хух 1 С„41 — л ' ~У~ х2+ у2 ю = 1/дув1йтх, и1 = агсз1п-. у х 2. Вычислить предел ВФНП при данном стремлении аргу- мента: а) (х,у,х) -+ (0,0,0), 1 и = (хз + уз — гг) яп х4+ у4+ 84' 1 (1+ (х2+ 2)(2+ у+ )),24„2, б) (х, у, х) — ~ (оо, оо, со), 1 и = е "3+ю" +*~ 1 "= (азха+ 4~у)агсз'и х2 + У2 + хг ' в) (х, у, х) — (оо, О, 5), .22+ 3 2(2+ ) 1 и = — 1п(х+ у+ х). х 3. Найти точки, линии и поверхности разрыва следующих ФВНП: х+у а) и =— х2 У2' 1 и = соз— (х — 2)' + (у + 1)4' 1 б) и = ( 1)2+ (у+ 1)4+ б' 1 и= ! соз х соз у соз х 1 В)и 2 27 1 у)г 1 4- х2- У2' 1 ') и = 2 + уг + ( 1)г 1 г+уг+ 2 1 у)г + ,4 4. Вычислить матрицу Якоби ВФНП (и якобиан, где это возможна): а) и = аы х + агу у + а13х, и = а21х + а22у + агзх~ а31х + а32У + аззх~ б) и = хг — Зху — 4уг — х+ 2У+1 и = 2х + ху + у — 5х; 2 2 г в)и ех+у и = 2У,(х + Зуг Б~; г) (переход к обобщенным полярным координатам) х = атсозу, у = 6гз1п~р.
ОТВЕТЫ 1. а) Рис. 9; 22 б) Рис. 10; — -я х= — +яй,' у= — +т1,' х= — +яп; Й,1,пб Я; в) точка разрыва (О; 1) и линии разрыва — прямая у = х окружность хг + уг = 4; г) точка разрыва (О; 0; 2), линия разрыва — прямая (х — у = 1, х =- 0), и поверхность разрыва — сфера хг+уг+хг = 1. Рис. 10 ам а12 а12 4. а) а21 а22 агг в) Рнс. 11.
а21 агг аЗЗ 1 = а11а22азз+аггаггаз1+аггазга12 — а1заггаз1 — а12а21азз— аыагЗаЗ2' б) 2х — Зу — 1 -Зх — бу+ 2 4х+у — 5 х+2у 1 = 14хг+ Збху+ 2уг — 24 — 44у+ 10; 2 2 г 2хех +" 2уее +" 0 в) 2у2 х — 2~/х + бу ИГР з~— якобиан не существует; а сову — ат е1п у г) дяпу дтсоеу 1 = адт. Рис. 11 24 25 2. а) (и; ю) — (О;ег) б) (и, "е) — (1; О); в) (а;с)- (5;О), 3. а) Точка разрыва (2; — 1) и линии разрыва — прямые у = х ну= — х; б) точка разрыва (1; — 1; О) и поверхности разрыва — плоско- сти ОГЛАВЛЕНИЕ Вводные замечания 10 14 21 Галина Сергеевна Лерябвма Василий Юрьевич Чуев Ответы Редактор О.М.
Королева Корректор О.В. Калашниково Изд. лиц. Ня 020523 от 25.04.97 г. Глава 1. Основные определения Глава 2. Геометрическая интерпретация ВФНП Глава 3. Предел и непрерывность ВФНП Глава 4, Пифференцнруемость ВФНП Задачи для самостоятельного решения ВЕКТОР-ФУНКЦИЯ НЕСКОЛЬКИХ ПЕРЕМЕННЫХ Подписано в печать 28,02.02.
Формат 60х84/16. Бумага офсетная. Печ. л. 1,75. Усл. печ, л. 1,62. Уч,-изд. л. 1,45, Тирам'700 зкз. Изд. Жа 137. Заказ Ня 7~ Издательство МГТУ им. Н.Э. Баумана. 107005, Москва, 2-я Бауманская, 5. .
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
